上海师范大学第四附属中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析

上海师范大学第四附属中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，若在(0,+∞)上为增函数，则称f(x)为“一阶比增函数”；若在(0,+∞)上为增函数，则称f(x)为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为．若函数，且，，则实数h的取值范围是（

）（A）(0,+∞) （B）[0,+∞) （C）(－∞,0) （D）(－∞,0]参考答案：C2.已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣参考答案：A【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣2）=（）﹣2=4，从而f（f（﹣2））=f（4），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣2）=（）﹣2=4，f（f（﹣2））=f（4）=log24=2．故选：A．3.已知，则的大小关系为（

）

参考答案：D4.设集合R，，集合，则下列关系中正确的是

（

）A．

B．C．

D．参考答案：C5.已知实数x，y满足不等式组，z=3x-y，则下列结论成立的是(

)A．z没有最大值，有最小值为-2B．z的最大值为一，没有最小值C．z的最大值为-2，没有最小值D．z的最大值为一，最小值为一2参考答案：C6.已知m＞1，x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为3，则+（）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．有最大值参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得a+5b=3，然后利用基本不等式求得+有最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，5），化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a+5b=3．∴+=（+）（）=．当且仅当a=5b，即a=，b=时，上式等号成立．故选：A．7.如果数列满足：首项那么下列说法正确的是

（

）

A．该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列

B．该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列C．该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列

D．该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列参考答案：C8.已知数列的通项公式是，则＝(

)A．70 B．28 C．20 D．8参考答案：C9.执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（） A．120 B． 105 C． 15 D． 5参考答案：考点： 循环结构．专题： 算法和程序框图．分析： 据题意，模拟程序框图的运行过程，得出程序框图输出的k值是什么．解答： 解：第一次循环得到：k=1，i=3；第二次循环得到：k=3，i=5；第三次循环得到：k=15，i=7；满足判断框中的条件，退出循环∴k=15故选C点评： 本题考查了求程序框图的运行结果的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出结论，是基础题．10.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题意平移AA1，异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角，在△EFG中可求．【详解】解：取A1B1中点G，连接EG，FG，EG⊥FG，因为EG∥AA1，所以异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角，在△EFG中，FG＝5，EG＝7，所以tan∠FEG，故选：A．【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于简单题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。若，请你根据这一发现，求解下列问题：（1）函数的对称中心为

;（2）计算：

．参考答案：【知识点】函数的值；函数的零点；导数的运算．B1B9B11（1）

（2）2012

解析：（1）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣，∴f′（x）=x2﹣x+3，f''（x）=2x﹣1，令f''（x）=2x﹣1=0，得x=，∵f（）=+3×=1，∴f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为，（2）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为，∴f（x）+f（1﹣x）=2，∴=2×1006=2012．故答案为：，2012．【思路点拨】（1）根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数的对称中心．（2）由的对称中心为，知f（x）+f（1﹣x）=2，由此能够求出．12.计算：（）+log2（log216）=．参考答案：【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数幂与对数的运算性质即可得出．【解答】解：原式=+log24=+2=．故答案为：．【点评】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．13.已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径

．

参考答案：略14.（坐标系与参数方程）若直线（为参数）与直线垂直，则常数

.参考答案：略15.已知函数f（x）=x3+x2+（2a﹣1）x+a2﹣a+1若函数f（x）在（1，3]上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为．参考答案：[﹣7，﹣1）考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理，可得f′（1）?f′（3）＜0或f′（3）=0，解出不等式求并集即可．解答：解：∵f（x）=x3+x2+（2a﹣1）x+a2﹣a+1，∴f′（x）=x2+2x+2a﹣1，∵函数f（x）在（1，3]上存在唯一的极值点，∴f′（1）?f′（3）＜0或f′（3）=0，∴（1+2+2a﹣1）（9+6+2a﹣1）＜0或9+6+2a﹣1=0，即有（a+1）（a+7）＜0或a=﹣7解得﹣7≤a＜﹣1．故答案为：[﹣7，﹣1）．点评：本题考查导数的运用：求函数的极值，考查函数的零点存在定理，注意导数为0与函数的极值的关系，属于易错题，也是中档题．16.已知且．求_________.参考答案：【分析】先求出sin【详解】因为，所以.故答案为：.【点睛】(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析得到，否则会出现双解.17.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，若，则

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列满足：，.的前n项和为.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）若,（），求数列的前项和.参考答案：解.（Ⅰ）设等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d

∵，

∴

………………2分解得

………………4分∴,

………………6分（Ⅱ）∵,

∴

………………7分

∵

∴

∴

………………9分

=(1-+-+…+-)

………………11分=(1-)

=

所以数列的前项和=.

………………13分18．（本略19.（本题满分12分）已知函数。（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：。参考答案：；（2）略.20.（12分）已知函数f(x)=,其中a,b,c是以d为公差的等差数列，，且a＞0,d＞0.设［1-］上，，在，将点A，B，C

(I)求(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a,d的值参考答案：解析:(I)解:令,得当时,;当时,所以f(x)在x=-1处取得最小值即(II)的图像的开口向上,对称轴方程为由知在上的最大值为即又由当时,取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得.解法2:又c>0知在上的最大值为即:又由当时,取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得21.三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．参考答案：考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）三角形ABC中，由条件化简可得C=90°，故有a=2c．再由b2=ac利用正弦定理可得，sin2B=sinAsinC，化简求得cosB的值．（Ⅱ）根据b=，求得ac=b2的值，求得sinB=的值，再根据△ABC的面积S=ac?sinB，计算求得结果．解答： 解：（Ⅰ）三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，∴sinA=2sinC，或cosC=0．∴a=2c，或C=90°（不满足a，b，c成公比小于1的等比数列，故舍去）．由边a，b，c成公比小于1的等比数列，可得b2=ac，∴b=c，∴cosB===．（Ⅱ）∵b=，cosB=，∴ac=b2=3，sinB=，∴△ABC的面积S=ac?sinB=．点评：本题主要考查两角和差的三角公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．22.（本小题满分12分）已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为，并且与平行.（1）求的值；

（2）已知实数，求函数，的最小值；（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】（1）2（2）（3）m∈（0，1）（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x-a

y=g（x-1）=ln（x-1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x-1）=由题意可得kl1=kl2，即a=1，∴f（x）=x2-x，f（2）=22-2=2（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2-（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t-1）（xlnx）+t2-t，

令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，

∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e

u2+（2t-1）u+t2-t图象的对称轴u=，抛物线开口向上

①当u=≤0即t≥时，y最小=t2-t②当u=≥e即t≤时，y最小=e2+（2t-1）e+t2-t

③当0＜＜e即＜t＜时，

y最小=y|u==-（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=≥0

所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0

①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1-m）x2＞mx1+（1-m）x1=x1，

α=mx1+（1-m）x2＜mx2+（1-m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），

∴由f（x）的单调性知0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）

从而有|F（α）-F（β）|＜|F（x1）-F（x2）|，符合题设．

②当m≤0时，，α=mx1+（1-m）x2≥mx2+（1-m）x2=x2，

β=mx2+（1-m）x1≤mx1+（1-m）x1=x1，

由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α）

∴|F（α）-F（β）|≥|F（x1）-F（x2）|，与题设不符

③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，

得|F（α）-F（β）|≥|F（x1）-F（x2）|，