北京市石景山区高三上学期期末考试理科数学试题

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合，,,则（）A．B．C．D．2.若复数,,则（）A．B．C．D．3．为平行四边形的一条对角线，（）A．B．C．D．4.设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则⊥D．若，则开始输出开始输出y输入x否是结束则可输入的实数值的个数为（）A．1B．2C．3D．46．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个

不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种正（主）视图侧（左）视图俯视图2232317．正（主）视图侧（左）视图俯视图223231A．B．C．D．8.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，

即，．给出如下四个结论：①；②；③；④整数属于同一“类”的充要条件是“”．其中，正确结论的个数为（）．A．B．C．D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．PABCO•D9．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则；

若点，则的最大值为.PABCO•D10．如右图，从圆外一点引圆的割线和，

过圆心，已知，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）若直线不过点，求证：直线的斜率互为相反数．20．（本小题共13分）定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．（Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的

“保三角形函数”，求的取值范围；（Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?(解题中可用以下数据:)石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案BADCCABC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．题号91011121314答案2；69①③(9题、11题第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为，所以.所以函数的定义域为……………2分……………5分……………7分（Ⅱ）因为，所以……………9分当时，即时，的最大值为；……………11分当时，即时，的最小值为.………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：在△中，.又.由.…………4分A1BCDExzA1BCDExzy．设为平面的一个法向量，因为所以，

令，得.所以为平面的一个法向量．……7分设与平面所成角为．则．所以与平面所成角的正弦值为．…9分（Ⅲ）设,则…12分当时,的最小值是．即为中点时,的长度最小,最小值为．…14分17．（本小题共13分）记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有且相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为.…3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有＝，…5分所以，.……7分（Ⅲ）的所有可能取值为.……8分所以，，，=＝.……11分分布列为：……12分所以，.………………13分（本小题共13分）（Ⅰ）…1分，，所以切线的方程为，即．…3分（Ⅱ）令则↗最大值↘…6分，所以且，，，

即函数的图像在直线的下方．…8分（Ⅲ）令，.

令，，

则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为.所以若，则无零点；若有零点，则．………………10分若，，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.综上所述，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点.…13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）设椭圆的方程为，因为，所以，又因为，所以，解得，故椭圆方程为．…4分（Ⅱ）将代入并整理得，解得．…7分（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明．

设，，则．…9分所以直线的斜率互为相反数．…14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列。因为，显然有，由得解得.所以当时，是数列的保三角形函数.…3分（Ⅱ）由，得，两式相减得，所以…5分经检验，此通项公式满足.显然,因