北京市门头沟区高三3月抽样测试数学理试题

门头沟区2013年高三年级抽样测试2013.3数学（理工类）2013.3本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．第Ⅰ卷(选择题40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集UR，集合A，B，则集合AB等于(A)(B) (C)(D)R2.“”是“函数在区间上存在零点”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件3．下列直线中，平行于极轴且与圆相切的是(A) (B) (C) (D)4．有4名优秀学生A、B、C、D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A生不去甲校，则不同的保送方案有(A)24种(B)30种(C)36种(D)48种5．如图：圆O的割线PAB经过圆心O，C是圆上一点，PA＝AC＝AB，则以下结论不正确的是(A)CB＝CP(B)PCAC＝PABC(C)PC是圆O的切线(D)BC＝BABP6．已知P是中心在原点，焦距为的双曲线上一点，且的取值范围为，则该双曲线方程是(A)(B) (C)(D)主视图1左视图1俯视图17．一个几何体的三视图主视图1左视图1俯视图1(A) (B)(C)(D)8．定义在R上的函数是减函数，且函数的图象关于点成中心对称，若满足不等式组，则当时，的取值范围是(A)(B)(C)(D)

18．(本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）函数在点处的切线与直线平行，求的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．2,4,619．（本小题满分13分）2,4,6在平面直角坐标系中，动点到直线的距离是到点的距离的倍．（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）设直线与（Ⅰ）中曲线交于点，与交于点，分别过点和作的垂线，垂足为，问：是否存在点使得的面积是面积的9倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）对于集合，定义函数，对于两个集合，定义集合．已知，．（Ⅰ）写出与的值，并用列举法写出集合；（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；（=3\*ROMANIII）有多少个集合对，满足，且．门头沟区2013年高三年级抽样测试数学试卷（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．12345678ACBADCCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．91011121314=3\*GB3③=4\*GB3④三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．（本小题满分13分） 已知：函数．（Ⅰ）求函数的对称轴方程；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值．解：（Ⅰ）……………5分……………7分函数关于直线对称所以对称轴方程为……………9分（Ⅱ）当时，由函数图象可知，的最大值为1，最小值为……………12分所以函数的最大值为，最小值为……………13分16．（本小题满分14分）ACDBN在等腰梯形ABCD中，，，，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形（如图）．ACDBN（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．（Ⅰ）证明：因为，N是BC的中点所以，又所以四边形是平行四边形，所以又因为等腰梯形，，xzyACDBxzyACDBN所以，即由已知可知平面平面，因为平面平面所以平面……………4分（Ⅱ）证明：因为，，所以平面平面又因为平面，所以平面…………8分（Ⅲ）因为平面同理平面，建立如图如示坐标系设，则,,，，……………9分则，设平面的法向量为，有，，得……………11分因为平面，所以平面平面又，平面平面所以平面与交于点O，O则为AN的中点，O所以平面的法向量……………12分所以……………13分由图形可知二面角为钝角所以二面角的余弦值为．……………14分17．（本小题满分13分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2畅通；2～4基本畅通；4～6轻度拥堵；6～8中度拥堵；8～10严重拥堵．3456789交通指数3456789交通指数频率0.240.20.160.1组距（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（=3\*ROMANIII）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．解：（Ⅰ）这50路段为中度拥堵的有18个．……………3分（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则事件B“至少一个路段严重拥堵”，则所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是……………8分（=3\*ROMANIII）分布列如下表：303642600.10.440.360.1此人经过该路段所用时间的数学期望是分钟．……………13分18．（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）函数在点的切线与直线平行，求的值；（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围解：（Ⅰ）……………2分，……………3分因为函数在点的切线与直线平行所以，……………5分（Ⅱ）令当时，，在上，有，函数增；在上，有，函数减，函数的最小值为0，结论不成立．………6分当时，……………7分若，，结论不成立……………9分若，则，在上，有，函数增；在上，有，函数减，只需，得到，所以……………11分若，，函数在有极小值，只需得到，因为，所以………13分综上所述，……………14分19．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离是到点的距离的倍．（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）设直线与（Ⅰ）中曲线交于点，与交于点，分别过点和作的垂线，垂足为，问：是否存在点使得的面积是面积的9倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．（Ⅰ）解：设点的坐标为．由题意知……………3分化简得所以动点的轨迹方程为……………5分（Ⅱ）设直线的方程为，点因为∽，所以有，由已知得，所以有（1）……………7分由，得，（2），（3）……………10分由（1）（2）（3）得或所以存在点为……………13分20．（本小题满分13分）对于集合，定义函数对于两个集合，定义集合．已知，．（Ⅰ）写出与的值，并用列举法写出集合（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；（=3\*ROMANIII）有多少个集合对满足，且．（Ⅰ）解：，…………1分…………2分（Ⅱ