2021年河南省焦作市孟州实验中学高三数学理月考试题含解析

2021年河南省焦作市孟州实验中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设条件,条件,其中为正常数.若是的必要不充分条件,则的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A略2.在△ABC中，若,，则b=（

）A．3

B．4

C.5

D.6参考答案：B3.在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（

）A． B． C． D．或参考答案：C5.已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（

）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1参考答案：A略6.已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝()A．－1

B.C．－1或

D．1或－参考答案：C7.设集合，，则MN=（

）

A．{}

B．{}

C．{}

D．{}参考答案：A略8.已知，命题，则A．是真命题，B．是真命题，：C．是假命题，D．是假命题，：参考答案：B

【知识点】命题A2解析：依题意得，当时，，函数是减函数，此时，即有恒成立，因此命题是真命题，应是“”.综上所述，应选【思路点拨】根据函数的导数判定函数的单调性，再找出正确的结论.9.在△ABC中，已知∠A＝30°，AB＝3，BC＝2，则△ABC的形状是（）A.钝角三角形

B.锐角三角形

C.直角三角形

D.不能确定参考答案：D由正弦定理可得，在△ABC中，，则，所以可能为锐角或钝角10.若，则向量与的夹角为（）A．

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列,且a1=5,公和为5,那么a18的值为

,且这个数列的前21项和S21的值为

.参考答案：

答案：3

52

12.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,的值为

参考答案：-113.已知圆关于直线成轴对称，则的取值范围是________.参考答案：(－∞，1)略14.已知sin2α=，则2cos2(α－)=

．参考答案：

15.已知满足,则的最大值为

参考答案：答案：316.从一副扑克牌(52张)中随机抽取2张,则“抽出的2张不是同一花色”的概率为________.参考答案：17.设f′（x）为f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，如果f（x）同时满足下列条件：①存在x0，使f″（x0）=0；②存在?＞0，使f′（x）在区间（x0﹣?，x0）单调递增，在区问（x0，x0+?）单调递减．则称x0为f（x）的“上趋拐点”；如果f（x））同时满足下列条件：①存在x0，使f″（x0）=0；②存在?＞0，使f′（x）在区间（x0﹣?，x0）单调递减，在区间（x0，x0+?）单调递增．则称x0为f（x）的“下趋拐点”．给出以下命题，其中正确的是

（只写出正确结论的序号）①0为f（x）=x3的“下趋拐点”；②f（x）=x2+ex在定义域内存在“上趋拐点”；③f（x）=ex﹣ax2在（1，+∞）上存在“下趋拐点”，则a的取值范围为（，+∞）；④f（x）=eaxx2（a≠0），x0是f（x）的“下趋拐点”，则x0＞1的必要条件是0＜a＜1．参考答案：①③④考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；阅读型；导数的综合应用；简易逻辑．分析：①求导f′（x）=3x2，f″（x）=6x；令f″（x）=6x=0解得x=0；再判断单调性从而可得0为f（x）=x3的“下趋拐点”；②求导f′（x）=2x+ex，f″（x）=2+ex；易知f′（x）=2x+ex在R上是增函数，故f（x）=x2+ex在定义域内不存在“上趋拐点”；③求导f′（x）=ex﹣2ax，f″（x）=ex﹣2a，可判断f″（x）=ex﹣2a在定义域上是增函数，从而问题转化为f″（1）=e﹣2a＜0，从而解得；④求导f′（x）=eax﹣x，f″（x）=a?eax﹣1；从而可得a?﹣1=0，即x0=；从而可得＞1，从而解得．解答： 解：①f（x）=x3，f′（x）=3x2，f″（x）=6x；令f″（x）=6x=0解得，x=0；取?=1，则易知f′（x）=3x2在区间（﹣1，0）单调递减，在区间（0，1）单调递增．故0为f（x）=x3的“下趋拐点”，故①正确；②f（x）=x2+ex，f′（x）=2x+ex，f″（x）=2+ex；易知f′（x）=2x+ex在R上是增函数，故f（x）=x2+ex在定义域内不存在“上趋拐点”，故②是假命题；③f（x）=ex﹣ax2，f′（x）=ex﹣2ax，f″（x）=ex﹣2a；易知f″（x）=ex﹣2a在定义域上是增函数，故f（x）=ex﹣ax2在（1，+∞）上存在“下趋拐点”可化为f″（1）=e﹣2a＜0，解得，a＞；故③正确；④f（x）=eaxx2，f′（x）=eax﹣x，f″（x）=a?eax﹣1；∵x0是f（x）的“下趋拐点”，∴a?﹣1=0，∴x0=；∴＞1，∴0＜a＜1；故④正确；故答案为：①③④．点评：本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的理解与掌握，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：的离心率为，点在C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C交于P，Q两点，O为坐标原点，且,求面积的最小值．参考答案：（Ⅰ）由题意得，

…………………4分

故椭圆方程为：．

……5分（Ⅱ）当斜率都存在且不为时，设，，由消得，，

……………6分同理得，，

……………7分由上面所求可知:，，……8分，…9分

当且仅当，即时取等号，

……………10分当在坐标轴上时，.

……………11分综上的最小值为（未讨论斜率扣分).

………………12分（也可设直线求解）19.已知△ABC的三内角A,B,C所对三边分别为a,b,c,且．(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若△ABC的面积S=12,b=6,求a的值．参考答案：解得…………6分（Ⅱ），又，解得，……8分由，得……9分∴……11分∴.………12分考点：同角公式、两角和差的三角函数，余弦定理的应用.

略20.已知函数的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．参考答案：【考点】33：函数的定义域及其求法；R5：绝对值不等式的解法；RK：柯西不等式在函数极值中的应用．【分析】（I）利用绝对值不等式的性质即可得出．（II）利用柯西不等式的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，∴m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知n=6，由柯西不等式知，4a+7b==，当且仅当时取等号，∴4a+7b的最小值为．21.已知函数f（x）=x2+bx﹣alnx（a≠0）（1）当b=0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若x=2是函数f（x）的极值点，1是函数f（x）的一个零点，求a+b的值；（3）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）先求导得到f′（x）=2x﹣+b，由，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，继而求出函数的解析式，（3）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，问题转化为在x∈（1，e）上g（b）max=g（﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x0∈（1，e）使得x2﹣x﹣alnx＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1﹣a≥0，1﹣a＜0，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，进而得到结论．【解答】解：（1）b=0时，f（x）=x2﹣alnx，（x＞0），f′（x）=2x﹣=，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2））f′（x）=2x﹣+b，∵x=2是函数f（x）的极值点，∴f′（2）=4﹣+b=0．∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，由，解得a=6，b=﹣1，∴a+b=﹣1+6=5；（3）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，根据题意，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，则在x∈（1，e）上g（b）max=g（﹣1）=﹣x+x2﹣alnx＜0，有解，令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于h′（x）=2x﹣1﹣，令φ（x）=2x2﹣x﹣a，x∈（1，e），φ'（x）=4x﹣1＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，①当1﹣a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意．②当1﹣a＜0，即a＞1时，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a若a≥2e2﹣e＞1，则φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．若2e2﹣e＞a＞1，则φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（