2021年山西省长治市成才学校高三数学理月考试卷含解析

2021年山西省长治市成才学校高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{4} B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4}参考答案：A【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题；集合．【分析】图中阴影部分所表示了在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合．【解答】解：图中阴影部分所表示了在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是{4}，故选A．【点评】本题考查了集合的图示运算，属于基础题．2.将函数的图像先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图像，若且，则的最大值为(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】由三角函数的图象变换，得到，根据若，得到，解得，得到，即可求解.【详解】由题意，函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若且，则，则，解得，因为，所以，当时，取得最大值，最大值为，故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位(

) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1﹣i，故z对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．解答： 解：∵复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，∴z=====1﹣i，故复数z对应点的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．4.将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】y=cosx+sinx=2cos（x﹣），故将函数平移后得到y=2cos（x﹣﹣θ），由于平移后的新函数是偶函数，得cos（﹣x﹣﹣θ）=cos（x﹣﹣θ），即cos（x++θ）=cos（x﹣﹣θ）恒成立，于是x++θ=x﹣﹣θ+2kπ，解出θ=kπ﹣．【解答】解：∵y=cosx+sinx=2cos（x﹣），∴将函数平移后得到的函数为y=2cos（x﹣﹣θ），∵y=2cos（x﹣﹣θ）的图象关于y轴对称，∴cos（﹣x﹣﹣θ）=cos（x﹣﹣θ），即cos（x++θ）=cos（x﹣﹣θ）恒成立．∴x++θ=x﹣﹣θ+2kπ，解得θ=kπ﹣．∵θ＞0，∴当k=1时，θ取最小值．故选：D．5.复数

A．i

B．-i

C．

D．参考答案：A本题考查了复数的除法和乘法运算，容易题．，故选A．6.当时，下列大小关系正确的是

(

)A.B.

C.

D.参考答案：B略7.设，集合是奇数集，集合是偶数集。若命题p:，则（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C略8.在复平面内，复数的对应点位于第二象限，则实数x的范围是

(A)(1,+∞)

(B)(-∞,0)

(C)(0,1)

(D)参考答案：C9.已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（）A．||＞|| B．||＜|| C．|﹣|=0 D．|﹣|＞0参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】特殊化，取过F2垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，可得+==2，+==2，即可得出结论．【解答】解：取过F2垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，则+==2，+==2，∴|﹣|=0．．故选：C【点评】特殊化是我们解决选择、填空题的常用方法．10.已知锐角是的一个内角,是三角形中各角的对应边,若,则下列各式正确的是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为．参考答案：【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，z的值，当z=10时，不满足条件z＜10，退出循环，输出的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2，y=2，z=4满足条件z＜10，x=2，y=4，z=6满足条件z＜10，x=4，y=6，z=10不满足条件z＜10，退出循环，输出的值为故答案为：．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确根据赋值语句的功能求出每次循环x，y，z的值是解题的关键，属于基础题．12.给出下列命题： ①函数是偶函数；②函数图象的一条对称轴方程为；③对于任意实数x，有则 ④若对函数f（x）满足，则4是该函数的一个周期。其中真命题的个数为_______________．

参考答案：略13.已知复数z满足，则_______参考答案：【分析】先由复数的除法，化简复数，再由复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此.故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算，以及求复数的模，熟记除法运算法则以及模的计算公式即可，属于常考题型.14.已知函数f（x）=，则f（0）+f（﹣3）=．参考答案：﹣1【考点】3T：函数的值．【分析】直接利用分段函数求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（0）+f（﹣3）=e0﹣3+1=﹣1．故答案为：﹣1．15.数列中，，，则

．参考答案：2由已知条件得16.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是__________．参考答案：∵命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题，则，解得，则实数的取值范围是．故答案为．17.如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为线段A1B1的中点，点F，G分别是线段A1D与BC1上的动点，当三棱锥E﹣FGC的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是

．参考答案：2【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】由已知结合三棱锥E﹣FGC的俯视图的面积最大确定F、G的位置，作出三棱锥E﹣FGC的正视图，则面积可求．【解答】解：∵E在底面ABCD上的投影为AB中点，E′，C在底面ABCD上的投影为C点本身，F的投影在边AD上，G的投影在边BC上，如图：要使三棱锥E﹣FGC的俯视图的面积最大，则F与D重合，G与B重合．则三棱锥E﹣FGC的正视图为等腰三角形EAB，底边长为2，底边上的高为2．∴面积S=．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（为参数，且），曲线C2为：，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C1的极坐标方程;（2）若直线1与曲线C1相切于点P，射线OP与曲线C2交于点Q，点，求的面积参考答案：(1)，，(2)【分析】（1）将的参数方程化为直角坐标方程，其中，再利用极坐标与直角坐标关系式代入可得.（2）在直角三角形中，得P点坐标，OP:代入椭圆方程得Q点的坐标，计算PQ及M到PQ的距离可得三角形MPQ的面积.【详解】解：（1）曲线的极坐标方程为，，（2）由已知得，所以，由得，所以点的极坐标为；由已知得曲线得极坐标方程为,所以点的极坐标为，所以,点到直线的距离，所以△的面积为.【点睛】本题考查曲线的参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的互化，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基本题.19.（本小题满分12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表．月收入（单位百元）[15,25[25，35[35，45[45，55[55，65[65,75频数510151055赞成人数4812521（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；

月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成

不赞成

合计

（2)若对月收入在[15，25），[25，35）的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为，求随机变量的分布列及数学期望.参考数据如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参考答案：(I)先列出列联表然后利用公式,计算出值,再根据k值是否大于6.635,来确定是不是有没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.(II)先确定所有可能取值有0,1,2,3,然后求出每个值对应的概率,列出分布列,求出期望值.（Ⅰ）2乘2列联表

月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成32不赞成18合计104050所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.……（6分）

（Ⅱ）所有可能取值有0,1,2,3，，所以的分布列是0123所以的期望值是.

…（12分）20.已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．参考答案：【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）+b的形式（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，]上的最值．（2）将x0代入化简后的函数解析式可得到sin（2x0+）=，再根据x0的范围可求出cos（2x0+）的值，最后由cos2x0=cos（2x0+）可得答案．【解答】解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为π．因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．（Ⅱ）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+）又因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=由x0∈[，]，得2x0+∈[，]从而cos（2x0+）=﹣=﹣．所以cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．【点评】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y=Asin（ωx+φ）的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力．21.（本小题满分12分）如图，在几何体中，，,，且，.（I）求证:；（II）求二面角的余弦值.参考答案：（I）又

,……………2分……6分（II）如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），C（1，1，），=（0，﹣2，2），=（1，﹣1，），………8分设平面CDE的一个法向量为=（x，y，z），则有，则﹣2y+2z=0，x﹣y+z=0，取z=2，则y=2，x=0，所以=（0，2，2）， …10分平面AEC的一个法向量为=（﹣