8微积分的创立

数学史是研究数学发展规律的科学

微积分的出现，是由常量数学向变量数学转变的一件具有划时代意义的大事，其影响远远超过了解析几何学。现在微积分已成了学习高等数学各个分支的不可缺少的基础，成了学习和掌握近代任何一门自然科学和工程技术所必备的工具。由微积分而充实发展起来的数学分析，已成为人们认识自然和改造自然的强有力的武器。第七章微积分的创立先驱们的探索微积分产生的背景牛顿与莱布尼兹第七章微积分的创立微积分的思想方法源远流长，古代希腊、中国和印度的数学家们，在求面积、体积和曲线长的过程中就创造了最早的积分方法，涉及到无穷小、极限等微积分基本概念。微积分的思想和方法几乎是与近代力学同时产生和发展起来的。伴随着天文、力学研究的需要，17世纪微积分思想方法的研究成为数学研究的中心问题。

一、微积分产生的背景1.求非匀速运动物体在任意时刻的速度和加速度，导致了“瞬时变化率”的研究；2.确定运动物体在其轨道上任一点处的运动方向（轨迹的切线方向），以及研究光线通过透视镜的通道而提出求曲线的切线问题；3.求炮弹的最大射程的发射角、行星离开太阳的最远和最近的距离（即远日点和近日点），导致了函数极值的研究；4.寻求行星运行轨道的曲线的长度、行星扫过的面积（曲线围成的面积）、曲面围成的体积、物体的重心与引力计算导致的一般积分方法。一、微积分产生的背景微积分的基本思想割圆术

割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣

九章算术刘徽曲边梯形的面积微积分的基本思想abxyoabxyo思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29Ox0y0x0+△xy0+△yxMNT△x△yyP曲线切线的斜率设质点运动的位移与时间函数为则到时间段质点运动的平均速度为而在时刻质点的瞬时速度为变速直线运动的瞬时速度

在历史的发展中，积分的概念比微分的概念先产生。积分的概念最初是在求某些面积、体积和弧长的求和过程中产生的。以后，求解曲线的切线、函数的极大值、极小值问题等，产生了微分方法。最后人们认识到：积分和微分彼此作为逆运算而相互关联。

一、微积分产生的背景（一）开普勒与旋转体体积开普勒的积分思想是建立在不可分量概念上的，而这一思想的精华是从阿基米德著作中吸取的。例如：开普勒认为，圆周上的每一点可以看成是顶点在圆心，而高等于半径的等腰三角形的底，于是圆面积有无限的三角形组成。二、先驱们的探索二、先驱们的探索他还在其《测量酒桶体积的科学》（1615）中，应用粗糙的积分方法求出93种立体的体积。这些立体是圆锥曲线的某线段围绕它们所在平面上的轴旋转而成的。

伽利略在微积分学上的功绩在于他奠定了实验和理论调谐的近代科学精神，这对于微积分的形成是至关重要的。1638年在伽利略的《论说》中，阐述了运动的数学理论，特别是距离、速度及加速度的关系---这些都是微积分中的最敏感的问题。（二）伽利略的数学实验方法1635年卡瓦列里《不可分连续量的几何学》的发表，卡瓦列里对以往那些“微积分结果”做了初步系统的综合，并且在开普勒不可分量原理基础上，创立了一种简单形式的积分法——不可分量法。（三）卡瓦列里“不可分量原理”不可分量原理：（1）线、面和体的不可分量：“点动成线”、“线动成面”和“面动成体”。（2）卡瓦列里原理两个等高的立体，如果他们的平行于底面且离开底面相同距离的截面积之间总有给定的比，那么这两个立体的体积之间也有同样的比。（四）帕斯卡和瓦里斯使卡瓦列里的“不可分量”更接近于定积分计算的，是帕斯卡和瓦里斯。帕斯卡明确地阐述了“所有线之和”应当理解为“无限多个矩形之和”，而每个矩形均由“纵坐标线”与底边的等分所组成，进而要求这个和与所求面积二者之差“小于任意给定的数”，这里已渗透了极限的思想。（四）帕斯卡和瓦里斯瓦里斯20岁才开始学习数学，是17世纪仅次于牛顿的最能干的英国数学家。瓦里斯1655年出版的《无穷算术》一书中，更把极限的过程明白地提了出来。四分之一单位圆面积的计算。促生了牛顿的二项式定理。（五）费马费马求极值的方法为切线的求法提供了工具，并成为微分方法最早的发现者。在1636年他已达到求积方法上的算术化程度，在讨论抛物线y=xn的面积时，他不用不可分量，而以等距离的纵坐标把面积分成窄长条，然后求和式极限。微分学的另一个重要课题——求极值的方法是费马首创的。（取得极值的必要条件）

六、巴罗的“微分三角形”建立了“微分三角形”方法，给出了求曲线切线的几何方法，提出了切线是割线的极限位置的概念。巴罗还首先认识到微分与积分是互逆运算。1669—1670年发表的《光学与几何学讲义》中，证明了在现代符号下的导数式子。把路卡斯教授的职位让位给27岁的牛顿。1.卡瓦列里的“不可分量”为微积分的创立铺下了第一个阶梯；2.笛卡儿、费马的解析几何为微积分的创立铺下了第二个阶梯；3.费马在极值方面的工作及巴罗的微分三角形为微积分的创立铺下了第三个阶梯。没有这些阶梯，牛顿、莱布尼茨攀不上高峰！三个重要的阶段17世纪中叶，数学家们面临的任务，是站在更高的高度、将以往个别的学术成果综合为统一的理论。牛顿与莱布尼兹成为这个时代的巨人。他们使微积分成为独立的学科，并给整个自然科学带来革命性的影响。微积分的创立工作是牛顿、莱布尼茨在同一时期各自独立完成的。但是正如恩格斯指出的“是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”。小结

1.生平简介：

1642年（伽利略去世）12月生于英格兰北部林肯郡偏僻的小村庄乌尔斯托帕。幼年和少年时期，家境困难，生活艰苦。12岁进中学，1661年考上了剑桥大学的三一学院，得到了巴罗教授的赏识，走上了科学之路。三、牛顿

学习期间，他不仅熟读了古希腊的经典著作，还仔细阅读了笛卡尔的《方法论》及其附录《几何学》、《折光学》和《大气观象》，这使他具备了进军新领域的能力。22岁时牛顿毕业，并获得学士学位。三年后被授予硕士学位。剑桥大学的数学教授席位是1663年建立的，巴罗是它的第一任。1669年，巴罗最先感悟到牛顿的超凡才能，把数学教授的工作让给了他。三、牛顿

1665-1666年，牛顿创作的高峰年。此间牛顿产生了万有引力的思想：假定任何一个落到地球上的物体被地球的一个力所吸引，这个力与这个物体到地球中心距离的平方成反比。以后牛顿确信这个想法，并把自己的结论广泛应用到行星运动、潮汐现象，甚至是彗星运动上。三、牛顿牛顿的墓志铭

1727年3月30日逝世。他的葬礼享受到英国宫廷成员的待遇。在他的墓碑上刻：“他以几乎神一般的思维力，最先说明了行星的运动和图象，彗星的轨道和大海的潮汐”！

2.牛顿的流数术

1665年5月20日，牛顿在他的手稿里第一次提出“流数术”，有人就把这一天当作微积分的诞生日。据牛顿未发表的总结性论文《流数简论》可见，牛顿对流数术的研究是基于运动学的背景，即计算瞬时速度问题。在解决问题过程中，不但提出了”流数术“，还提出了”反流数术“，并初步得到了微积分基本定理。三、牛顿

2.牛顿的流数术发展

《运用无穷多项方程的分析学》、《流数术和无穷级数》和《曲边形的面积》。第一篇著作写成于1669年，正式发表于1771年，其中给出了求瞬时变化率的普遍方法，并证明面积可由变化率的逆过程求得。——重要的突破——微积分的基本定理；第二篇著作写成于1671年，1736年发表，可以看作是《流数简论》的发展。在这篇著作中，他改变了过去静止的观点，认为变量是由点、线、面连续运动而产生的。他把变量叫做“流”，把变量的变化率叫做“流数”，牛顿还明确指出了“流数术”内容：微分法、积分法和求曲线的极值，计算曲线的切线、曲率、弧长、面积等；第三篇著作写于1676年，发表于1707年。是研究可求积（可积分的）曲线的经典文献。第一次引进了流数记号：他认为流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比。

1687年牛顿出版了划时代的名著《自然哲学的数学原理》。这本三卷巨著虽然是研究天体力学的，但对数学史有极大的重要性。这不仅因为这本著作提出的微积分问题激励着他自己去研究和探索，而且书中对许多问题提出新课题和研究方式，也为下一世纪微积分研究打下了基础。《自然哲学的数学原理》人们对牛顿的颂扬哈雷说：“没有凡人能比他更接近上帝”！拉格朗日:“我们只有一个宇宙需要解释，没有人能够重复牛顿的工作，他是我们之中最幸运的一位”。英国诗人浦普的诗句：宇宙和自然的规律隐藏在黑夜里，神说，让牛顿降生吧！一切都是光明。牛顿的名言：IfIhaveseenfartherthanDescartes,itisbystandingontheshouldersofgiants.“我不知道世人对我怎样看法，我只觉得自己好象是在海滨游戏的孩子，有时为找到一块光滑的石子或比较美丽的贝壳而高兴，而真理的海洋仍然在我的前面未被发现”．1646年7月1日生于莱比锡，6岁丧父，8岁自学拉丁文，14岁自学希腊文，15岁时入莱比锡大学法学系学习。1666年，他年仅20岁，就以论文《论组合的艺术》成为纽伦堡阿尔特道夫大学的法学博士并获得法学教授的席位。三、莱布尼兹莱布尼兹的学术成就

莱布尼茨终生奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识创造发明的普遍方法。这种努力导致许多数学的发现，最突出的是微积分学。微积分《组合艺术》，提出了符号逻辑的思想，引导了布尔、罗素等人的数理逻辑；制造计算机的先驱。“算术计算机”行列式的发明。《二进制算术》。莱布尼兹的微积分研究工作发表在两本著作中，即《一种求极大值与极小值和切线的新方法》（1684）和《潜在的几何与不可分量及无限的分析》（1686）。在前一本著作中叙述了微分学的基本原理，其中包括微分的定义及和、差、积、商的微分运算法则，以及微分方法的应用。在第二本著作中，他由曲线为界的图形面积出发得到积分的概念，初步论述了积分与微分的互逆关系，并引入积分的符号，这个符号一直沿用到现在。但是“微分”名称的出现比较迟，它是由约翰•伯努利提出的。三、莱布尼兹1699年，瑞士数学家德迪勒断言：牛顿比莱布尼兹先发明了微积分，而后者可能是剽窃。于是掀起了一场发明微积分的优先权的论战。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽然早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿。他们是相互独立地创立了微积分，并各有特色。牛顿的工作方式是经验的、具体的和谨慎的，在符号方面不甚用心，而莱布尼兹则是富于想象和大胆的，力图运用符号建立一般法则，善于把具体结果加以推广和普遍化。四、优先权的争论相同点：牛顿、莱布尼茨从不同角度的工作，共同使微积分成为可应用于广泛的一类函数的有效的、代数的、普遍的方法，从而脱离了古希腊几何，成为一门独立的新科学。他们另一个共同的功绩是，明确地解决了把有关求积、求和问题化为求切线的逆问题、反微分问题。

四、优先权的争论不同点：1．他们的研究方式与方向不同，牛顿是“物理”的，莱布尼茨是“哲学”的；2．牛顿强调并自由地运用级数，而莱布尼茨强调在确定的范围内得出明确的结果；3．牛顿的工作是物理的、经验的、具体的、谨慎的，莱布尼茨是带思辩性的，富于想象，善于提炼普