第六章静定结构的内力计算

第六章静定结构的内力计算第一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五

§6–1杆件的内力·截面法FFFF拉伸压缩

I杆件在轴向荷载作用下，将发生轴向拉伸或压缩。×第二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五

一、拉压杆的内力——轴力FFFFN拉压杆横截面的内力沿杆的轴线，故称为轴力。轴力以拉为正，以压为负。×第三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五II扭转的概念×第四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA扭转：——扭转角（两端面相对转过的角度）——剪切角，剪切角也称切应变。×第五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五扭转的内力—扭矩mmmTⅠⅠx一、扭矩圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用T表示之。扭矩的正负号按右手螺旋法则来确定，即右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭矩为正，反之为负。×第六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五mTx扭矩的大小由平衡方程求得。×第七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五

III弯曲的概念

1.弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。×第八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五3.工程实例×第九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五纵向对称面MF1F2q二、平面弯曲杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。在后几章中，将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。×第十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五三、简单静定梁悬臂梁简支梁外伸梁×第十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五梁的内力-----剪力和弯矩FABalFABFAxFAyFB荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。×第十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五PABal将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，取左侧。ⅠⅠxAFAyⅠⅠFsMx因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs

表示之；该力偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M表示之。

⑴剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；

⑵弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。×第十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五⊕FsFs○－FsFs⊕○－MMMM剪力正负的规定弯矩正负的规定内力通过平衡方程计算。AFAyⅠⅠFsMx×第十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五

计算梁内力的步骤：⒈取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；⒉将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象；⒊画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；⒋列平衡方程Fx=0，求剪力FS

；m=0，求弯矩。×第十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五

扭矩图的画法步骤：

⒈画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；

⒉将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点；

⒊用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。

⒋按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。×第十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五

二、轴力图一般情况，拉压杆各截面的的轴力是不同的，表示拉压杆各截面的的轴力的图象称为轴力图。

轴力图的画法步骤如下：

⒈画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；

⒉将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点；

⒊用截面法，通过平衡方程求出每段杆的轴力；画受力图时，截面轴力一定按正的规定来画。

⒋按大小比例和正负号，将各段杆的轴力画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。×第十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五例1画图示杆的轴力图。⊕⊕○－轴力图ⅠⅠⅡⅡⅢⅢⅠⅠFN1ⅡⅡFN2ⅢⅢFN3第一段:第二段:第三段:×第十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五

例2长为l，重为W的均质杆，上端固定，下端受一轴向拉力P作用，画该杆的轴力图。lPxPFN⊕轴力图PP+W×第十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五

例3画图示杆的轴力图。ABCD⊕⊕⊕○－○－轴力图轴力图×第二十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五6–2.1梁的剪力和弯矩FABalFABFAxFAyFB荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。×第二十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五PABal将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，取左侧。ⅠⅠxAFAyⅠⅠFsMx因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs

表示之；该力偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M表示之。

⑴剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；口诀：正剪力----左左右右

⑵弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。口诀：正弯矩----左顺右逆×第二十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五⊕FsFs○－FsFs⊕○－MMMM剪力正负的规定弯矩正负的规定内力通过平衡方程计算。AFAyⅠⅠFsMx×第二十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五

计算梁内力的步骤：⒈取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；⒉将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象；⒊内力计算公式：左侧分析：FS=∑（←）-∑（→）；

M=∑（）-∑（）右侧分析：FS=∑（→）-∑（←）；M=∑（）-∑（）⒋或按照截面法

列平衡方程Fx=0，求剪力FS

；m=0，求弯矩。×第二十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五例1求图示梁1、2、3、4截面的内力。ABCD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344解：取整体，FAFB1－1截面FA11Fs1M1A由1－1截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，紧挨杆端截面的弯矩M=0。×第二十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五CP=12kN2－2截面FA22Fs2M2AFA33Fs3M3A3－3截面ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB×第二十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五D2233PFs3M3Fs2M2由2、3截面的内力计算可得如下结论：⑴集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；⑵集中力（包括支座反力）作用截面的的剪力发生突变，其值等于集中力（集中力以向上为正）。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB×第二十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五C44M4Fs44－4截面由4－4截面的内力计算可得如下结论：⑴自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0；

⑵自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFB×第二十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五例2求图示梁1、2、3截面的内力。ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m解：取整体，1－1截面FA11Fs1AM1m1×第二十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五FA22Fs2M2A33Fs3M3Bm12－2截面3－3截面FBABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m×第三十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五由2、3截面的内力计算可得如下结论：⑴集中力偶作用截面的的剪力相等；⑵集中力偶作用截面的的弯矩发生突变，其值等于集中力偶矩（集中力偶矩以顺时针转为正）。C2233Fs3M3FS2M2m2ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m×第三十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五例3求图示梁1、2、3截面的内力。ABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m33112FAFB23m解：取整体1－1截面FA11Fs1M1A×第三十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五BFA22Fs2M2Am2－2截面33Fs3M3FBq3－3截面BABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m33112FAFB23m×第三十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五6–2.2剪力图和弯矩图qxql-xlFs(x)M(x)图示梁任一截面的内力。截面剪力是截面坐标的函数，称为剪力方程。截面弯矩也是截面坐标的函数，称为弯矩方程。×第三十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五qxl剪力方程的函数图象称为剪力图。正的剪力画在基线上侧，负的画在下侧。剪力图qlxFs⊕弯矩方程的函数图象称为弯矩图。按工程规定弯矩图画在杆的受拉一侧，因此正的弯矩画在基线下侧，负的画在上侧。xMql2/2○－弯矩图×第三十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五补充

剪力、弯矩与荷载集度间的关系ABdxxq(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxo取微段dx，受力如图。×第三十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五ABdxx略去高阶微量得：q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)dxo×第三十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五

⑴

当q=0，Fs

=常数，Fs

图为平直线；

M为一次函数，M图为斜直线；

⑵

当q=常数，Fs为一次函数，Fs

图为斜直线；

M为二次函数，M图为抛物线；当M图为抛物线时，画M图需确定抛物线顶点的位置和顶点的弯矩值。由：可知弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置。根据M、Fs与q之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩方程，即可画出剪力图和弯矩图。×第三十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五根据M、Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下：⒈取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；⒉将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点，分布荷载两端，支座处都应取作分段点；⒊用公式法或截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩，由M

=ql2/8确定弯矩抛物线中点所对应截面的弯矩值；⒋用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、弯矩连起来。并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值和弯矩值。×第三十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五例4画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FAFB34m11解：取整体Fs图M图FsM1234==00B×第四十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs图M图FsM12345==00FA22Fs2M2A66612B×第四十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五Fs图M图FsM1234==0066-1812FA33Fs3M3Am24B44M4Fs4FB6FB=18kNAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kN34m11B×第四十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs图M图FsM12345==0066-181224B66kN18kN⊕○－⊕3m5555Fs5M5FBq02712kN.m24kN.m27kN.mB×第四十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五例5画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mF=6kNq=3kN/m66223FAFB32m11解：取整体Fs图M图FsM12345==002mB4455D6===×第四十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五AC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs图M图Fs

M12345==002mB4455D6===5-75FA33Fs3M3AP-1-1-11010⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.m×第四十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五AC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs

图M图FsM12345==002mB4455D6===5-75RA44Fs

4M4AP-1-1-11010⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.m8kN.m88×第四十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五例6画图示梁的内力图。ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344解：取整体，FBmAFs图M图Fs

M1234==00844×第四十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344FB=12kNFs图M图Fs

M1234==00844mA=8kN.mP=4kN22FBFs2M2-8-8-8⊕○－4kN8kN⊕○－8kN.m8kN.mCB×第四十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五例7画图示梁的内力图。ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366解：取整体，FAFC4455m=6kN.mFs图M图(kN)(kN.m)×第四十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs

图M图(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－×第五十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs图M图(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－○－FA33Fs3M3Amq94×第五十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs图M图(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－○－FA22Fs2M7Aq9422.5mFA77Fs7Aq773.125M2⊕×第五十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五§6–3按叠加原理作弯矩图qmABlmABlqABl=+FA=m/lFB=m/lFA=ql/2FB=ql/2Fs图M图⊕⊕○－m/lm⊕○－ql/2ql/2ql2/8m/l+ql/2m/l-ql/2⊕○－mql2/8=++=⊕○－Mmax×第五十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五PmABl/2mABAB=+FA=m/lFB=m/lRA=P/2FB=P/2Fs图M图⊕⊕○－m/lmP/2P/2Pl/4m/l+P/2m/l-P/2○－○－mPl/4=++=l/2l/2l/2l/2l/2P⊕○－⊕⊕×第五十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五应用叠加原理画弯矩图常用的两种情况：l/2l/2ABMAMBPl/2l/2ABMAMBqPl/4○－⊕○－○－MAMBMBMA⊕○－ql2/8M图(b)M图(a)

⑴

AB段梁中间作用一集中力P，两端弯矩为MA、MB，该段梁的弯矩图如图（a）所示；

⑵

AB段梁作用于均布荷载

，两端弯矩为MA、MB，该段梁的弯矩图如图（b）所示。×第五十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五例8用叠加法画图示梁的弯矩图。q=2kN/mAP=4kN6m2m11223344BCM图解：将梁分为AB，BC两段。8kN.m9kN.m○－⊕不必求支座反力。×第五十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五例9用叠加法画图示梁的弯矩图。q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM图2m8kN.m解：将梁分为AC，BC两段。先求支座反力。FAFB×第五十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五例10用叠加法画图示梁的弯矩图。q=2kN/mAP=4kN4m2m11223344CBM图16kN.m4kN.m⊕2m8kN.m⊕4kN.m8kN.mFA=6kNFB=6kN×第五十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五例11用叠加法画图示梁的弯矩图。3kN10kN2kN/m112233445566ABCD2m2m2m2mM

图解：将梁分为AB、BC、CD三段。不必求支座反力。⊕○－○－6kN.m4kN.m10kN.m1kN.m5kN.m×第五十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五×第六十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五桥梁、房屋建筑的檩条常用到多跨静定梁。计算多跨静定梁时，要依其组成和各部分传力顺序分为基本部分和附属部分分别计算。1、基本部分：不依靠其它部分而能保持其几何不变性。

2、附属部分：必须依靠基本部分，才能保持其几何不变性。

3、计算方法：先计算附属部分，再计算基本部分。将附属部分的支座反力，反其指向加于基本部分进行计算。§6–5静定多跨梁第六十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五例题第六十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E、F的位置，使中间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。例题第六十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五1、刚架的特征

由若干梁和柱用刚结点联结而成的结构。具有刚结点是刚架的主要特征。一、刚架的组成2、刚架的应用

刚架在工程上有广泛的应用。§6–4静定平面刚架第六十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五

刚架在工程上有广泛的应用。例如：第六十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五

1、绘制刚架内力图时应注意的问题：

（1）计算悬臂刚架时，可不必先求支座反力，从悬臂端算起即可。（2）计算简支刚架时，一般先求支座反力，而后截面法计算。（3）计算三铰刚架时，要利用中间铰弯矩为零的条件。（4）绘剪力图、轴力图必须标正、负号；绘弯矩图不必标正负号，弯矩图绘在受拉一侧。（5）求支座反力后及绘内力图后都应进行校核。2、刚架内力计算举例：二、刚架的内力计算第六十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五第六十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五第六十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五第六十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五

1、定义：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。

2、特点：

（1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。（2）用料省、自重轻、跨度大。（3）可用抗压性能强的砖石材料。（4）构造复杂，施工费用高。

§6–6

三铰拱一、拱式结构的特征及其应用第七十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五4、拱各部分的名称：3、拱的种类：第七十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五二、三铰拱的内力计算1、拱的内力计算原理仍然是截面法。2、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。例题:已知q=10kn/m,M=100kn.m,求拱各截面之内力。第七十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五第七十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五第七十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五三、三铰拱的压力线及合理拱轴的概念1、压力线在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量Mk、Qk、Nk。这三个内力分量可用它的合力R代替。将三铰拱每一截面上合力作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。2、合理拱轴的概念：（1）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。（2）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达式，而后令其等于零即可确定合理拱轴。第七十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五3、举例：第七十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五“梁、刚架内力计算部分”作业中存在的问题：（1）计算简支梁或简支刚架时，求出支座反力后，必须进行校核且应将支座反力标在计算简图上，而后用截面法计算。（2）绘内力图时，应注意截面的对应关系；除水平放置的梁外，各种结构均要绘出支承。（3）内力图必须标图名、单位和控制坐标的数值。剪力图、轴力图必须标正、负号；绘弯矩图不必标正负号，弯矩图绘在受拉一侧。第七十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五一般为斜直线水平线抛物线(下凸)有极值为零处有尖角(向下）

有突变(突变值=

FP)有极值如变号无变化

有突变（突变值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用

(q向下)集中力作用处(FP向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直线()第七十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五M2区段叠加法（sectionsuperpositionmethod）注意叠加是弯矩的代数值相加，也即图形纵坐标相加。由杆端弯矩作图叠加q弯矩图叠加ql2弯矩图第七十九页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五作图示梁的弯矩图和剪力图FA=58kNFB=12kN164618201826MEqMFFQFFQE10单位:kNm.FQ

图(kN

)第八十页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五qqql请大家作图示斜梁内力图。返回第八十一页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五

桁架结构（trussstructure）

§6–7静定平面桁架主桁架纵梁

横梁第八十二页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷载作用的直杆、铰结体系”的工程结构.特性：只有轴力，而没有弯矩和剪力。轴力又称为主内力（primaryinternalforces）。上弦杆下弦杆竖杆斜杆跨度桁高

弦杆腹杆节间d第八十三页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五桁架结构的分类：一、根据维数分类1.平面（二维）桁架（planetruss）——所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在同一平面内第八十四页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五2.空间（三维）桁架（spacetruss）——组成桁架的杆件不都在同一平面内第八十五页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五二、按外型分类1.平行弦桁架2.三角形桁架3.抛物线桁架4.梯形桁架第八十六页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五简单桁架（simpletruss）联合桁架（combinedtruss）复杂桁架（complicatedtruss）三、按几何组成分类第八十七页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五1.梁式桁架四、按受力特点分类：2.拱式桁架竖向荷载下将产生水平反力第八十八页，共一百零三页，编辑于2023年，星期五结点法（nodalanalysismethod）

以只有一个结点的隔离体为研究对象，用汇交力系的