第三时间序列分析

第三时间序列分析演示文稿本文档共29页；当前第1页；编辑于星期六\9点36分（优选）第三时间序列分析本文档共29页；当前第2页；编辑于星期六\9点36分三、

齐次方程解的计算假定G1，G2，…，Gn是互不相同，则在时刻t的通解：其中Ai为常数（可由初始条件确定）。无重根考虑齐次差分方程本文档共29页；当前第3页；编辑于星期六\9点36分重根设有d个相等的根，可验证通解为对一般情形，

因此，齐次方程解是由衰减指数项Gt、多项式tj、衰减正弦项Dt-ksin(2πf0t+F)，以及这些函数的组合混合生成的。齐次方程解便是本文档共29页；当前第4页；编辑于星期六\9点36分定义：设零均值平稳序列

第二节格林函数(Green’sfunction)和平稳性(Stationarity)一、格林函数(Green’sfunction)能够表示为则称上式为平稳序列

的传递形式，式中的加权系数

称为格林（Green）函数，其中本文档共29页；当前第5页；编辑于星期六\9点36分格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。（1）式可以记为其中

式（1）表明具有传递形式的平稳序列可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“

”的作用而生成，是j个单位时间以前加入系统的干扰项对现实响应的权，亦即系统对的“记忆”。

本文档共29页；当前第6页；编辑于星期六\9点36分一、AR（1）系统的格林函数由AR（1）模型即：则AR(1)模型的格林函数

本文档共29页；当前第7页；编辑于星期六\9点36分例：下面是参数分别为0.9、0.1和-0.9的AR（1）系统对扰动的记忆情况

。（演示试验）AR（n）模型，即其中：的平稳性条件为：

的根在单位圆外（或

的根在单位圆内）。AR（n）系统的平稳性条件：（请同学们观察平稳性AR(n)与非平稳性AR(n)的区别。）本文档共29页；当前第8页；编辑于星期六\9点36分格林函数与AR（n）系统的平稳性平稳性的涵义就是干扰项对系统的影响逐渐减弱，直到消失，对于一个AR（n）系统，将其写成格林函数的表示形式，如果系统是平稳的，则预示随着j→∞，扰动的权数

上面结论也可以用来求AR(n)系统的系数平稳性条件。请同学们思考MA(m)系统的平稳性条件。本文档共29页；当前第9页；编辑于星期六\9点36分ARMA模型格林函数的通用解法ARMA(n,m)模型且

则

令

则

化为

本文档共29页；当前第10页；编辑于星期六\9点36分比较等式两边B的同次幂的系数，可得由上式，格林函数可从开始依次递推算出。例：求AR(2,1)系统的格林函数。本文档共29页；当前第11页；编辑于星期六\9点36分是零均值平稳序列，如果白噪声序列第三节逆函数和可逆性（Invertibility）能够表示为一、逆函数的定义设则称上式为平稳序列

式中的加权系数称为逆函数。

本文档共29页；当前第12页；编辑于星期六\9点36分ARMA（n,m）模型逆函数通用解法对于ARMA（n,m）模型的逆函数求解模型格林函数求解方法相同。令

二、ARMA模型的逆函数的逆转形式则平稳序列可表示为由ARMA(n,m)模型可得本文档共29页；当前第13页；编辑于星期六\9点36分仍由先前定义的和

，则上式可化为比较上式两边B的同次幂的系数，得到即可从由此开始推算出。本文档共29页；当前第14页；编辑于星期六\9点36分

对于MA（m）模型的可逆性讨论与AR（n）模型平稳性的讨论是类似的，即：MA（m）模型的可逆性条件为其特征方程的特征根满足ARMA(n,m)系统格林函数与逆函数的关系在格林函数的表达式中，用代替，代替代替，，即可得到相对应的逆函数。本文档共29页；当前第15页；编辑于星期六\9点36分理论自协方差函数和自相关函数对于ARMA系统来说，设序列的均值为零，则自协方差函数第四节自相关函数与偏自相关函数自相关函数样本自相关函数的计算在拟合模型之前，我们所有的只是序列的一个有限样本数据，无法求得理论自相关函数，只能求样本的自协方差函数和自相关函数。样本自协方差有两种形式：一、自相关函数本文档共29页；当前第16页；编辑于星期六\9点36分则相应的自相关函数为

在通常情况下，我们采用第一种算法。本文档共29页；当前第17页；编辑于星期六\9点36分

1、AR(p)过程自相关函数ACF1阶自回归模型AR(1)

Xt=Xt-1+t

的k阶滞后自协方差为：=1,2,…因此，AR(1)模型的自相关函数为

=1,2,…

由AR(1)的稳定性知||<1，因此，k时，呈指数形衰减，直到零。这种现象称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆（infinitememory）。

注意，<0时，呈振荡衰减状。

本文档共29页；当前第18页；编辑于星期六\9点36分

Xt=1Xt-1+2Xt-2+t该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1,2分别为２阶自回归模型AR(2)

类似地,可写出一般的k期滞后自协方差：

(K=2,3,…)于是,AR(2)的k阶自相关函数为：

(K=2,3,…)其中

:1=1/(1-2),0=1如果AR(2)稳定，则由1+2<1知|k|衰减趋于零，呈拖尾状。至于衰减的形式，要看AR(2)特征根的实虚性，若为实根，则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。

本文档共29页；当前第19页；编辑于星期六\9点36分一般地，p阶自回归模型AR(p)

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…pXt-p+

tk期滞后协方差为:

从而有自相关函数

:

可见，无论k有多大，k的计算均与其１到p阶滞后的自相关函数有关，因此呈拖尾状。

如果AR(p)是稳定的，则|k|递减且趋于零。

本文档共29页；当前第20页；编辑于星期六\9点36分

其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平稳的条件知，|zi|<1;

因此，当1/zi均为实数根时，k呈几何型衰减（单调或振荡）；当存在虚数根时，则一对共扼复根构成通解中的一个阻尼正弦波项，k呈正弦波衰减。事实上，自相关函数是一p阶差分方程，其通解为本文档共29页；当前第21页；编辑于星期六\9点36分对MA(1)过程

2、MA(q)过程

可容易地写出它的自协方差系数：

于是，MA(1)过程的自相关函数为：可见，当k>1时，k>0，即Xt与Xt-k不相关，MA(1)自相关函数是截尾的。

本文档共29页；当前第22页；编辑于星期六\9点36分其自协方差系数为

一般地，q阶移动平均过程MA(q)

相应的自相关函数为

可见，当k>q时，Xt与Xt-k不相关，即存在截尾现象，因此，当k>q时，k=0是MA(q)的一个特征。于是：可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来判断MA(q)模型的阶。本文档共29页；当前第23页；编辑于星期六\9点36分二、偏自相关函数

自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-1的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系。例如，在AR(1)随机过程中，Xt与Xt-2间有相关性可能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来的:即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。与之相反，Xt与Xt-k间的偏自相关函数(partialautocorrelation，简记为PACF)则是消除了中间变量Xt-1，…，Xt-k+1

带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的条件下，Xt与Xt-k间关系的度量。本文档共29页；当前第24页；编辑于星期六\9点36分

从Xt中去掉Xt-1的影响，则只剩下随机扰动项t，显然它与Xt-2无关，因此我们说Xt与Xt-2的偏自相关系数为零，记为

在AR(1)中，

同样地，在AR(p)过程中，对所有的k>p，Xt与Xt-k间的偏自相关系数为零。

AR(p)的一个主要特征是:k>p时，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0

即k*在p以后是截尾的。一随机时间序列的识别原则：若Xt的偏自相关函数在p以后截尾，即k>p时，k*=0，而它的自相关函数k是拖尾的，则此序列是自回归AR(p)序列。本文档共29页；当前第25页；编辑于星期六\9点36分对于一个k阶AR模型，有：由此得到Yule-Walker

方程，记为：已知时，由该方程组可以解出。遗憾的是，用该方程组求解时，需要知道自回归过程的阶数。因此，我们可以对连续的k值求解Yule-Walker方程。本文档共29页；当前第26页；编辑于星期六\9点36分对k=1，2，3，…依次求解方程，得

上述

……

序列为AR模型的偏自相关函数。本文档共29页；当前第27页；编辑于星期六\9点36分偏自相关性是条件相关，是在给定

的条件下，

和

的条件相关。换名话说，偏自相关函数是对

和

所解释的相关的度量。

之间未被由最小二乘原理易得，

是作为

关于线性回归的回归系数。如果自回归过程的阶数为n，则对于k>n应该有kk=0。本文档共29页；当前第28页；编辑于星期六\9点36分

MA(1)过程可以等价地写成t关于无穷序列Xt，Xt-1，…的线性组合的