第四章 数学中的公理化方法

第四章数学中的公理化方法第一页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.1公理化方法的历史概述公理化方法的基本思想

数学是撇开现实世界的具体内容来研究其量性特征形式与关系的。其结果只有经过证明才可信，而数学证明采用的是逻辑推理方法，根据逻辑推理的规则，每步推理都要有个大前提，我们不难想象到，最初的那个大前提是不可能再由另外的大前提导出的，既是说，我们的逆推过程总有个“尽头”，同样，概念需要定义，新概念由前此概念定义，必也出现这样的情况最原始的概念无法定义。第二页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.1公理化方法的历史概述

因此，我们要想建立一门科学的严格的理论体系，只能采取如下方法：让该门学科的某些概念以及与之有关的某些关系作为不加定义的原始概念与公设或公理，而以后的全部概念及其性质要求均由原始概念与公设或公理经过精确定义与逻辑推理的方法演绎出来，这种从尽可能少的一组原始概念和公设或公理出发，运用逻辑推理原则，建立科学体系的方法叫做公理化方法。第三页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.1公理化方法的历史概述公理化方法的历史考察

众所周知，在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中，哲学、逻辑学、几何学得到了很大的发展，特别是哲学家和逻辑学家亚里斯多德，总结了前人所发现和创立的逻辑知识，以完全三段论作为出发点，用演绎的方法推导出其余十九个不同格式的所有三段论，创立了人类历史上第一个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为数学公理化方法创造了条件。亚里斯多德的思想方法深深地影响了公元前3世纪的希腊数学家欧几里德，后者把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上重要著作《几何原本》。第四页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.1公理化方法的历史概述

欧几里德《几何原本》是有史以来用公理化思想方法建立起来的第一门演绎数学，而且成为以后很长时期严格证明的典范。《几何原本》在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑，对数学的发展起了巨大的作用，基本上完善了初等几何体系。当然，现在看来由于受当时整个科学水平的限制，这种公理化方法还是很原始的，其公理体系还是不完备的。所以，称这一阶段为公理化方法的初期阶段。第五页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.1公理化方法的历史概述

欧几里德《几何原本》孕育了一种理性精神，成为展示人类智慧和认识能力的一个光辉典范。欧几里德的《原本》所表述的数学观是：⑴几何理论是封闭的演绎体系。《原本》成功地将零散的数学理论编为一个以基本假设到最复杂结论的整体结构。从逻辑结构来看，《原本》是一个最早形成的演绎体系，除所用的逻辑规则外，具备了其理论推导的所有前提，从理论发展形势来看是一个封闭的理论演绎体系。第六页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.1公理化方法的历史概述

⑵抽象化的内容。《原本》中涉及的都是一般的、抽象的概念，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，由一些给定的概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑这些概念和命题与社会具体生活的关系，也不研究这些数学“模型”所由之产生的那些显示原型。如在《原本》中研究了“所有的”矩形（即抽象的矩形概念）的性质，但不研究任何一个具体的矩形的实物大小；《原本》中研究了自然数的若干性质，但却一点也不涉及具体的自然数的计算及应用。第七页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.1公理化方法的历史概述

⑶公理化方法。《原本》的基本结构是由少数不定义的概念（如点、线、面等）和少量不证自明的命题（五个公设和五个公理）出发，定义出该体系中的所有其他概念，推演出所有其他的命题（定理）。《原本》就是用这种公理化方法建立起了几何学的逻辑体系，从而成为其后所有数学的范本。在公理化方法的初期阶段，它的“严格性”也只是相对当时的情况而言的。譬如，有些基本概念的定义不够妥当，有些证明只不过是借助于直观等等。第八页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

特别是《原本》中第五公设的陈述从字面上看很不自明，所以人们从两个方面对它产生了怀疑：第一，第五公设是否正确地反映了空间的性质；其二、它本身很可能是一个定理。对于这两个问题，人们从以下几个方面进行了探讨：一是它能否从其他公理推出；二是换一个与它等价而本身却又是很自明的公设；三是换一个与它相反的公设。第九页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

通过很多第一流的数学家近两千年的大量工作，第一方案尚未成功。到了十八世纪中叶，意大利数学家萨克利吸取了前人正面直接证明而失败的教训，反其道而行之，改用反证法来证明（将第五公设换成它的否定，然后推出矛盾，那么就可以证明第五公设就是一个定理，即不独立于其它公理），并于1733年公布了他的证明，但随后不久数学家们发现他的证明有问题。第十页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

萨克利最先使用归谬法来证明第五公设。他在一本名叫《欧几里得无懈可击》（1733年）的书中，从著名的“萨克利四边形”出发来证明平行公设。萨克利四边形是一个等腰双直角四边形，如图，其中且为直角。萨克利指出，顶角具有三种可能性并分别将它们命名为：第十一页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五1、直角假设：和是直角；3、锐角假设：和是锐角；2、钝角假设：和是钝角；可以证明，直角假设与第五公设等价。萨克利的计划是证明后两个假设可以导致矛盾，根据归谬法就只剩下第一个假设成立。这样就证明了第五公设。萨克利在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中他获得了一系列新奇有趣的结果，如三角形三内角之和小于两直角；过给定直线外一给定点，有无数多条直线不与该直线相交，等等。虽然这些结果实际上并不包含任何矛盾，但萨克利认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实的。第十二页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

数学家们从萨克利的错误中得到了启发，锐角假设（三角形内角和小于180°）尚未导致矛盾，因而它与其他公理可能是协调的。虽然萨克利的证明是错误的，但他提出的反证法及其所得的结果却起了他始终所未料到的作用，即两种几何并存的可能性。也就是说，除了欧几里德几何外，还有非欧几何。第十三页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

一直到十九世纪，由高斯、罗巴切夫斯基、包耶等许多杰出的数学家作了大量的推导工作都没有发现矛盾，于是采用锐角假设（三角形内角和小于180°）的罗巴切夫斯基几何系统就产生了。从此也就冲破了欧几里德几何“一统天下”的旧观念对人们的束缚，使人们意识到逻辑上无矛盾并不只限于一种几何。第十四页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

在1854年又发现了钝角假设（三角形内角和大于180°）也成立的黎曼几何系统，后来人们称这两种几何为非欧几何。非欧几何产生后，还有两方面的问题有待进一步解决。从逻辑方面看，这种逻辑无矛盾性还有待于从理论上得到严格证明；从实践方面看，非欧几何的客观原型是什么？人们还不清楚。也就是说，非欧几何到底反映了哪种空间形式也没有得到具体的解释。第十五页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

到了十九世纪五十年代，随着微分几何、射影几何的进一步发展，为非欧几何寻找模型提供了条件。意大利的贝特拉米于1869年在其论文《非欧几何的实际解释》中提出了用欧氏球面作为黎曼几何的一个解释（欧氏球面的部分大圆被解释成黎曼几何的直线，球面上的点被解释成黎曼几何的点）。第十六页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

德国数学家克莱因于1870年在欧氏平面上用不包括圆周的圆内部构造了一个罗氏几何模型，人们称它为罗氏平面，在此平面上给罗氏几何一个解释，即把欧氏几何的直线解释成罗氏平面上的直线，欧氏几何的点解释成罗氏平面上的点。由于非欧几何在欧氏几何中找到了它的模型，因此非欧几何的无矛盾性就转化为欧氏几何的无矛盾性，也就是说倘若欧氏几何无矛盾，则非欧几何也无矛盾。

第十七页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

随后不仅人们找到了非欧几何在天文学与相对论中的解释和应用，而且相继发现欧氏几何的每条公理在罗氏空间的极限球上得以全部成立。于是，反过来欧氏几何的相容性可借助非欧几何协调性给以保证。从而就证明了两种几何是互相协调的，第五公设的独立性问题得到解决。非欧几何的确立促进了公理化方法及几何基础研究的进展。第十八页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

在创立非欧几何的过程中，公理化方法得到了如下发展：⑴非欧几何诞生的第一步就在于认识到：平行公设不能在其他九条公设和公理的基础上证明。它是独立的命题，所以可以采用一个与之相反的公理并发展成为全新的几何。这就是说，在一个公理系统中，我们可以把一个具有独立性的公理换成另外的公理而得到一个全新的公理系统，这种方法是现代的一个重要的公理化方法。⑵非欧几何的创立深刻地启示人们，可以证明“在一个给定的公理系统中某些命题不可能证明”。第十九页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

⑶非欧几何系统已经不是像《原本》那样依赖于感性直观的实质性公理系统。非欧几何的建立标志着从实质性公理化方法向形式公理化方法的过渡，这表明人们的认识已从直观空间上升到抽象空间。⑷非欧几何的创立，为公理化方法可以推广和建立新的理论提供了依据，大大提高了公理化方法。非欧几何的创立，还产生了如下重大影响：⑴非欧几何的诞生标志着欧氏几何统治的终结，欧氏几何统治的终结则标志着所有绝对真理的终结。第二十页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

⑵非欧几何的创立，使人们开始认识到数学空间与物理空间之间有着本质的区别。数学确实是人的思想产物，而不是独立于人的永恒世界的东西。⑶非欧几何的创立使数学丧失了真理性，但却使数学获得了自由。数学家能够而且应该探索任何可能的问题，探索任何可能的公理系统，只要这种研究具有一定的意义。⑷非欧几何为数学提供了一个不受实用性左右，只受抽象思想和逻辑思维支配的范例，提供了一个理性的智慧摒弃感觉经验的范例。第二十一页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

当然，非欧几何并非毫无实用性。例如，1916年爱因斯坦发现的广义相对论的研究中，必须用一种非欧几何来描述这样的物理空间，这种非欧几何便是黎曼几何。又如，由1947年对视空间（从正常的有双目视觉的人心理上观察到的空间）所作的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基非欧几何来描述。这些事实说明：数学对人类文明发展的作用是何等重大。非欧几何的创立，标志着公理化方法进入到其完善阶段。第二十二页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

在非欧几何创立之后，以希尔伯特为代表的数学家掀起了对几何基础的研究，同时也促进了康托、维尔斯托拉斯、戴德金等为代表的数学家对数学分析基础的实数理论的研究。从而导致了“分析算术化”方向的出现，使数学分析基础立足于实数理论之上，取代了直观的几何说明。由于对实数理论的研究，又推动了代数的重大变化，即由代数方程的求解导致了群论的产生，从而使代数的研究对象发生了质的变化，逐渐变成一门研究各种代数运算系统形式结构的科学。第二十三页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

由于形式公理化方法在分析、代数领域中取得了成功，反过来又将几何公理化方法的研究推向一个新的阶段，即形式公理化阶段。希尔伯特在1899年出版的名著《几何基础》就是这个时期研究成果的突出代表。所谓形式公理化方法，是指在一个公理系统中，基本概念规定为不加定义的原始概念，它的涵义、特征和范围不是先于公理而确定，而是由公理组隐含确定。第二十四页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

希尔伯特在他的《几何基础》中，放弃了欧几里德《几何原本》中公理的直观显然性，把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以拼弃，着眼于对象之间的联系，强调了逻辑推理，第一次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式化公理系统。从此公理化方法不仅是数学中一个重要方法，而且已被其他学科领域所采用。所以人们称它为公理化方法发展史上的一个里程碑。第二十五页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

虽然希尔伯特几何公理系统从本质上讲是一个形式化的公理系统，但它毕竟没有完全摆脱几何所研究的内容范围。为了使形式公理系统更形式化，涵盖的模型更多，就必须使形式化公理系统来自具体模型而又要摆脱具体模型过多的条条框框的束缚，于是人们需要研究更复杂的逻辑结构，从而就导致了现代数理逻辑的形成和发展。现代数理逻辑出现后，至少在下列两个方面发挥了巨大作用。第二十六页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

其一，本世纪初以希尔伯特、哥德尔为代表的数学家和逻辑学家掀起了以数理逻辑为工具来研究整个数学基础的高潮，又因数学基础进一步发展的需要，反过来又促使现代数理逻辑的发展，从而也就导致了证明论（或元数学）、模型论、递归函数论的出现。特别是英国大哲学家、数学家、和逻辑学家罗素于1902年发现集合论的悖论，震动了整个数学界，从而更促进了公理化集合论的形成和发展。集合论的公理化系统的出现及现代数理逻辑出现，将形式公理化方法推向一个更高的阶段——纯形式公理化阶段。希尔伯特建立的元数学是以形式系统为研究对象的一门新数学，它包括对形式系统的描述、定义、也包括对形式系统性质的研究。简言之，元数学是以整个理论而不是以它的某一部分作为数学研究的对象。元数学等的创立把形式公理化方法向前推进了一大步。第二十七页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.1公理化方法的历史概述

纯形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系统的基本概念、基本关系用抽象的符号表示，命题由符号组成的公式表示，命题的证明用一个公式串表达。一个符号化的形式系统只有在解释之后才有意义。公理化方法的具体形态有三种：实体性公理化方法、形式公理化方法和纯形式公理化方法，用它们建构起来的理论体系分别为《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。第二十八页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.1公理化方法的历史概述

其二，为数学应用于现代科学技术开辟了前景。电子计算机的出现就是突出的一例，这是因为电子计算机的设计需要研究如何用基本的逻辑运算去表示和构造复杂的逻辑结构和运算，这正是现代数理逻辑研究的一个基本课题。由于电子计算机的出现导致了机器证明及数学机械化方向的产生，从而使现代纯形式公理化方法又获得了一个新的用场。公理化方法本身及其在数学理论和实践应用中的巨大作用，随着科学技术的发展还在继续向前发展。

第二十九页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

一、公理化方法的逻辑特征

公理化方法的作用在于从一组公理出发，以逻辑推理为工具，把某一范围系统内的真命题推演出来，从而使系统成为演绎体系.对于所选公理，我们一方面要求能从公理组推出该系统内的全部真命题，另一方面又要求从公理组不能推出逻辑矛盾，再就是希望所选公理个数最少.这三个方面构成了公理化方法的逻辑要求，此也是判别一个公理系统是否科学合理的准则。第三十页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

（1）无矛盾性（相容性或协调性）无矛盾性要求在一个公理系统中，公理之间不能自相矛盾，由公理系推出的结果也不能矛盾，即不能同时推出命题A与其否定命题，显然，这是对公理系统的最基本的要求。如何证明给定的公理系统的无矛盾性呢？若想通过“由这一公理系作出全部可能的推论并指出其中没有矛盾”来证明是不可能的。

第三十一页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

为此，人们创造了一种特殊方法即解释法或作模型法。其基本思想如下：将公理系的每一不定义的概念与对象的某一集合相对应，而且要求对应于不同概念的集合没有公共元素，然后，使公理系T的每一关系对应着对应集合元素间的某一确定的关系。第三十二页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

这样所得的集合与关系的全体叫做解释域，公理系T的每一命题可以用自然的方法对应于解释域中相应的命题。如果所得的命题为真，那么就称公理系T的命题在这个解释下是真的，如果假，则在这个解释下是假的，如果公理系T的全部公理在这个解释下均为真，那么这个解释称为所给公理系的模型。第三十三页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

解释域及其性质常常是另一数学理论的研究对象，本身同样可以是公理化的，所以说，用解释法能证明公理系的相对相容性，即能作出“如果相容，即么也相容”的判断。解释法实质上是将一个公理系系统的无矛盾性证明化归为另一个公理系统的无矛盾性的证明，是一种间接证明。克莱因就是采用这种方法将罗氏几何的无矛盾性化归为欧氏几何的无矛盾性的。第三十四页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

正是由于罗氏几何的相容性要由欧氏几何的相容性来得证，本来并无疑问的欧氏几何相容性问题也引起了人们的怀疑，迫使人们再去寻找欧氏几何相容性的证明，由于解析几何可以看成是实数系统中欧氏几何的一个解释模型，于是欧氏几何相容性证明转化为实数系统的无矛盾性的证明，而实数系统可建立在ZFC公理化集合论的基础上，因此，实数系统的无矛盾性又化归为集合论的无矛盾性证明，而后者经过几代数学家们的努力，至今尚未得到彻底解决。第三十五页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

（2）独立性独立性要求在一个公理系统中，被选定的公理组中任何一个公理都不能由其他公理推出。独立性其实要求的是公理组中公理之间不能有依从关系，若某一公理被其余公理推出，那它实质上就是一个定理，在公理组中就是多余的，所以，独立性要求公理组中公理数目最少。第三十六页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

利用解释法同样可以证明所给公理系的独立性问题，所谓公理系T中公理A的独立性无非是指A由其他公理既不能证实，也不能否定。建立一个新的公理系，就是将公理换成它的否定，而其他公理保持不变，只要能证明新的公理系是相容的，就可断言在公理系T中独立，从而将独立性问题化归为相容性证明问题，而新公理系相容性证明可用解释法。第三十七页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

（3）完备性完备性要求在一个公理系统中，公理组的选取能保证由公理组推出该系统的全部真命题，所以，公理不能过少，否则就推不出某些真命题，这是关于完备性的古典定义。现代数学常借助模型的同构给公理系的完备性下定义，即如果公理系T的所有模型或解释都彼此同构，就称这个公理系是完备的。

第三十八页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

所谓模型的同构是指这个公理系的两个模型（X，R）与（Y，S）（这是为简便计，假设给定的公理系中只有一个不定义的概念和一个不定义的关系。X与Y是某两个集合，R与S分别是这两个集合中的关系）间存在一个双射第三十九页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

在上述公理化方法的三个特征中，无矛盾性是最重要而又是非有不可的。独立性从理论上讲，从完美简炼上讲，应该要求，因为公理和定理在整个系统中处的地位不同，公理是出发点，定理是推出的，不能混在一块。但是，独立性要求有时可降低。现行中学几何体系就放弃了这一要求。至于完备性，要求就大大放宽了；而且“从研究完备的公理系确定的对象转向研究其公理系不完备的对象”被认为是现代数学的特征之一。第四十页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

二、公理化方法的意义和作用

对于公理化方法的作用和意义，希尔伯特曾评论道：“不管在哪个领域，对于任何严肃的研究精神来说，公理化方法都是并且始终是一个合适的不可缺少的手段；它在逻辑上是无懈可击的，同时也是富有成果的；因此，它保证了研究的完全自由。在这个意义上，用公理化方法进行研究就等于用已掌握了的东西进行思考。早年没有公理化方法的时候，人们只能朴素地把某些关系作为信条来遵守，公理化的研究方法则可以去掉这种朴素性而使信仰得到利益”。“能够成为数学的思考对象的任何事物，在一个理论的建立一旦成熟时，就开始服从于公理化方法，从而进入了数学。通过突进到公理的更深层次……我们能够获得科学思维的更深入的洞察力，并弄清我们的知识的统一性。特别是，得力于公理化方法，数学似乎就被请来在一切学问中起领导的作用”。第四十一页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

公理化方法对数学的发展起到了巨大作用，如在对公理化方法逻辑特征的研究中，产生了许多新的数学分支理论，非欧几何是由研究欧氏几何公理系统的独立性产生的，元数学理论或证明论是由研究公理系统相容性产生的，等等。第四十二页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

具体地说，公理化方法的意义和作用可以概括为以下几点：

表述和总结科学理论公理化方法使有关的理论系统化，把它们按照某种逻辑顺序构建成一个系统，因而便于人们系统地理解知识体系，便于掌握理论的本质。它是应用演绎推理的基本方法，它为认识世界提供了演绎推理的模式，提供了一种理性证明的手段，它是表述科学理论一种比较完善的方法，它为各门科学提供了一种思想方法上的示范和有效的表述手段，有利于促进理论的完善和严格化。它赋与数学内在的统一性，有助于人们了解数学各分支、各部门之间的本质联系。第四十三页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

完善和创新理论公理化方法的应用要求一门科学的充分成熟：积累了一定数量的基础知识，进行了一定的系统分析和研究，对该门学科知识结构有了较深入的理解。因此，实现公理化的过程也是深入研究理论体系的过程。采用公理化方法还可以发现和补充理论系统中的缺陷和漏洞。从而有利于完善已有理论，创建新的理论。

第四十四页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

培养和熏陶人们的逻辑思维能力数学学习，重要的不在于只是记住概念、公式、定理和法则，而在于学会如何去获得这些知识，即学会正确地进行数学思维，逻辑思维正是数学思维的核心成分之一。逻辑思维能力是一种重要的数学能力。而公理化方法使逻辑思维在数学中的作用得以充分发挥，大大提高了数学教育的成效，实现高度的思维经济，这无疑对培养和熏陶学生的逻辑思维能力有其十分重要的作用和意义。此外，由于公理化方法可以揭示一个数学系统和分支的内在规律性，从而使它系统化，这也无疑有利于人们学习和掌握。第四十五页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

中学数学中的几何体系就是按照公理化方法的思想编排的，这使中学几何成为大家公认为最有利于培养逻辑思维能力的科目。但正如苏联数学教育家斯托利亚尔所言：“在学校中普通能够实现的，只是有实际内容的公理体系”。

现行几何教材正是这样做的：通过采用扩大公理系统的方法，而其他概念、性质和定理则采用推理和直观相结合的方法演泽出来，即在学生可接受的情况下，充分体现公理化方法思想。中学几何课本中的公理系统是一个扩大的公理系统，只满足相容性，不满足独立性和完备性。第四十六页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

平面几何公理七条：

⑴经过两点有一条直线，并且只有一条直线。⑵在所有连接两点的直线中，线段最短。⑶平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和该直线平行。⑷两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么，这两条直线平行。⑸边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。⑹角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。⑺矩形的面积等于它的长与宽的积。第四十七页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

立体几何公理六条：

⑴如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。⑵如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线。⑶经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。⑷平行于同一条直线的两条直线互相平行。⑸长方体的体积等于其长、宽、高的积。⑹夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。第四十八页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

三、初等函数的公理化定义

1、幂函数的公理化定义对于x和y的一切正实数值满足方程

的唯一不恒等于零的连续函数第四十九页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五2、指数函数的公理化定义对于x和y的一切正实数值满足方程§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用的唯一不等于零的连续函数第五十页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

3、对数函数的公理化定义对于x和y的一切正实数值满足方程的唯一不等于零的连续函数第五十一页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用4、正弦函数、余弦函数的公理化定义

第五十二页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用第五十三页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用第五十四页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用下面我们仅证明其中的定理3与定理4。第五十五页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五第五十六页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五第五十七页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用第五十八页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（2）G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每一个元素a都有下面我们再来看看群的公理化定义令G是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件：第五十九页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用则称G对代数运算作成一个群。（3）对G中每个元素a，在G中都有元素，叫做a的左逆元，使第六十页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

四、公理化方法的局限性

1、每一个数学分支都要按公理化方法的三条标准去实现它的公理化是不可能的。我们知道，在公理化方法及现代数理逻辑取得重大成就的基础上，为了避免数学中产生悖论，使整个数学建立在一个严格化的基础上，以希尔伯特为代表的数学家试图将所有数学分支都按公理化方法三条标准实现它的公理化，哥德尔不完全定理表明希尔伯特等人的计划要全部实现是不可能的。第六十一页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

1931年，奥地利数学家哥德尔发表了题为《论〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》的论文，其中证明了一条定理：任一足以包含自然数算术的形式系统，如果是相容的，则它一定存在有一个不可判定命题，即存在某一命题A使A的否定在该系统皆不可证。这一定理被称为哥德尔第一不完全性定理。§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用第六十二页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五第一不完全性定理表明：任何形式系统都不能完全刻画数学理论，总有某些问题从形式系统的公理出发不能解答。在第一不完全性定理的基础上，哥德尔进一步证明了：在真的但不能由公理来证明的命题中，包括了这些公理是相容的（无矛盾性）这一论断本身。也就是说，如果一个足以包含自然数算术的公理系统是相容的，那么这种相容性在该系统内是不可证明的。这就是所谓哥德尔第二不完全性定理。§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用第六十三页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五第一不完全性定理和第二不完全性定理合称“哥德尔不完全性定理”哥德尔不完全性定理是属于某种否定性的结果，但这项否定性结果却带来了数学基础研究的划时代变革。其对数学基础产生的巨大影响而在20世纪数学史上写下了浓重的一笔。§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用第六十四页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五首先，哥德尔不完全性定理破天荒地第一次分清了数学中的“真”与“可证”是两个不同的概念，可证明的命题固然是真的，但真的命题不一定是可证明的。对于形式系统来说，“可证”是可以机械地实现的，“真”则需要进一步的思想能动性以及超穷工具。这一切突破了人们对数学真理的传统理解，将对数学真理的认识推向了崭新的层次。§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用第六十五页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五其次，哥德尔不完全性定理的证明中提出的“原始递归函数”概念，成为算法理论或可计算理论的起点，特别是它引导图灵提出了理想计算机概念，为电子计算机的研制提供了理论基础。另外，虽然哥德尔不完全性定理指出了形式化数学的局限性，但这并不意味着公理化方法的消亡，相反，哥德尔的结果极大地促进了数学方法论的发展，解决了一批证明论问题，使数理逻辑在新的起点上获得了新的发展。§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用第六十六页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五哥德尔定理的意义在于，不仅是数学的全部，甚至任何一个有意义的科学体系也不能用一个合理系统概括起来，因为这样的合理系统是不可能完备的。还须指出的是，哥德尔的理论改变了数学发展的进程，触动了人类思维的深层结构，它又渗透到音乐、艺术、生物、计算机和人工智能等领域。§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用第六十七页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

2、公理化方法一般地讲只能运用于一个数学分支发展到一定的成熟阶段，否则就有可能对数学的发展起束缚作用。我们知道公理化方法的优点之一是可以使它的内容系统化、条理化、逻辑化。但是，我们还要指出一般来说只有在一个数学分支发展到一定的阶段才有可能运用公理化方法揭示它的内在规律，从而使它系统化。如果一个新的数学分支刚刚诞生就要强调它的逻辑严密性、系统性，不但没有好处，反而对它的发展可能起到束缚作用。例如，微积分的产生、发展直至完善所经历的道路就是一个突出的例证。第六十八页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用

3、由于公理化方法主要突出了逻辑思维，而且它主要用于“回顾”性的“总结”，对“探索”性的“展望”作用较少。公理化方法若不与实验方法相结合，则不会更好地解决问题；若不与其它的科学方法相结合，也不会更好地发现问题。所以对公理化方法的作用和意义估价要恰当。否则不论是从认识论还是从方法论来讲都有束缚作用。第六十九页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.3几个典型公理系统简介

一、希尔伯特《几何基础》的公理系统

第七十页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.3几个典型公理系统简介

一、希尔伯特《几何基础》的公理系统

基本对象几何基础公理系统基本关系基本公理点、线、面结合关系、顺序关系合同关系、连续关系平行关系结合公理、顺序公理合同公理、连续公理平行公理第七十一页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.3几个典型公理系统简介

希尔伯特公理体系中的基本概念共有八个（其中基本对象三个、基本关系五个），对基本概念的唯一要求是适合五组公理。公理组共有18条公理（其中结合公理6条、顺序公理4条、合同公理5条、平行公理1条、连续公理2条）。这里要指出的是，希尔伯特公理体系对欧几里德公理体系的最重要的补充是顺序公理中的点与线的顺序公理及连续公理。这部分的详细内容可参见傅秀章先生著《几何基础》（北师大出版社）。第七十二页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.3几个典型公理系统简介

希尔伯特的这个公理体系已被世界上一些数学家看作经典作品。希尔伯特在《几何基础》中所采用的是形式公理化方法，即对象的直观背景完全被舍弃了他所从事的已不再是某种特定的对象的研究，而只是由给定的公理（更准确地说是假设）出发去进行演绎。因为几何学所研究的只是由什么样的前提出发能推出什么样的结论，而对所讨论的对象是什么事不关心的。

第七十三页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.3几个典型公理系统简介

简言之，《原本》是实质性公理系统，即“对象－公理－演绎”系统；《几何基础》是形式化公理系统，即“假设－演绎”。这里我们要特别指出的是，若将希尔伯特公理体系中的平行公理换成相反的公理，我们就得到罗氏几何的公理体系。这也是希尔伯特公理体系的一个美妙的特点。在这里，我们又一次看见了公理化方法的巨大力量。

第七十四页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.3几个典型公理系统简介

二、集合论公理系统——ZFC公理系统1、ZFC公理系统形成简介

自从集合论中的罗素悖论出现后，很多逻辑学家和数学家致力于集合论的改进工作，特别突出的是著名德国数学家策梅罗，他于1908年首先提出他的改进方案，即策梅罗集合论公理系统。后经费兰克尔、斯克朗等人的改进，于1921-1923年间逐渐形成了一个严格的形式化集合论公理系统，这就是著名的ZF公理系统。在ZF公理系统中加上选择公理，便是今天的ZFC公理系统。第七十五页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.3几个典型公理系统简介

二、集合论公理系统——ZFC公理系统1、ZFC公理系统形成简介策梅罗(德,1871-1953)费兰克尔(德,1891-1965)斯克朗(挪,1887-1963)第七十六页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.3几个典型公理系统简介

2、ZFC公理系统结构框图

集合论公理系统基本公理基本关系基本对象“集”及其“元素”“集”及它的“元素”的隶属关系“

”外延公理、空集公理对偶公理、并集公理子集公理、幂集公理无穷公理、正则公理代换公理、选择公理

第七十七页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.3几个典型公理系统简介

3、ZFC公理系统的特点、意义和作用

首先，ZFC公理系统是一个完全形式化的抽象公理系统，也就是说它的结构表达形式完全已符号化。例如，外延公理：

其次，ZFC十条公理可概括为三类：即外延原则，它的主要作用是保证集合的唯一性；概括原则，它的主要作用是解决的构造集合的问题；选择原则，它的主要作用是解决选择集合的问题。

即:如果两个集合A与B包含有完全相同的元素，则它们必相等.

第七十八页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.3几个典型公理系统简介

最后，ZFC公理系统为分析学奠定了严格地理论基础。例如在无穷公理和并集公理的基础上可以严格的建立自然数、自然数集合及自然数理论；在幂集公理基础上可以引出实数系；在子集公理基础上可以讨论实数的任何子集及其性质等。由此可见，只要ZFC公理系统无矛盾，那么实数理论也就无矛盾。然而，尽管至今ZFC公理系统尚未发现矛盾，但这种无矛盾性还没有得到严格的理论证明。而且根据哥德尔不完全性定理，ZFC公理系统本身不可能证明自己是无矛盾的，即它的无矛盾性只有借助外系统来证明。第七十九页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.3几个典型公理系统简介

三、自然数公理系统

1、自然数公理化的提出

数学顾名思义是一门研究数的科学，人们皆知自然数来自实践，而且是数学的起步点。然而，由自然数的产生直到十九世纪末，在这个漫长的历史时期却很少有人对自然数的理论奠基工作进行过专门的研究。只有到了近代，由于公理化相容性的研究及数学中悖论的出现，才迫使人们反过头来进一步研究数学的起点，即自然数的理论奠基工作，寻求建立自然数的公理化方法。

第八十页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.3几个典型公理系统简介

自然数公理化方法的建立有几种类型，其中最著名的是意大利数学家皮亚诺在他1889年发表的《算术原理：新的论述方法》中所提出的公理化方法。

皮亚诺(意,1858-1932)第八十一页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.3几个典型公理系统简介

自然数公理化方法的建立有几种类型，其中最著名的是意大利数学家皮亚诺在他1889年发表的《算术原理：新的论述方法》中所提出的公理化方法。

2、皮亚诺自然数公理系统

（1）原始（或基本）概念。（i）原始对象：自然数1、自然数集。（ii）原始关系：后继数（例如3是2的后继数）或后继函数。

第八十二页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.3几个典型公理系统简介

（2）公理组

（i）每个自然数x都有直接后继它的数。即

这条公理表明，自然数具有离散性，此性质是自然数的一个重要特征。（ii）1不是任何自然数的后继数。即这条公理保证了自然数集有首元素，即自然数集是一个良序集。第八十三页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.3几个典型公理系统简介

（iii）每一个自然数不存在多于一个直接后继它的自然数。即

（iv）每一个自然数都不直接后继多于一个自然数，即第八十四页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.3几个典型公理系统简介

此公理称为归纳公理，它是数学归纳法的基础和根据。建立在自然数归纳公理基础上的数学归纳法的主要逻辑特征是，将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程.（v）任何一个自然数集，若具有性质：a）；b）如果，那么则自然数集包含了所有的自然数。也就是说自然数集与自然数集相等。第八十五页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.3几个典型公理系统简介

3、对皮亚诺公理系统逻辑特征的补充说明

前面我们曾提到过哥德尔不完备性定理，从理论上证明了皮亚诺公理系统是一个不完备的公理系统，最近英国青年数学家巴黎斯等人，在组合论中发现了皮亚诺公理系统中既不能肯定又不能否定的一个纯粹组合问题，从而也就为哥德尔不完全备定理找到了一个具体实例。哥德尔不完全定理还告诉我们，皮亚诺算术公理系统的相容性在本系统内通过有限步骤是无法证明的。但是，数理逻辑学家甘岑在放宽条件下，即在皮亚诺公理系统外，依据超穷归纳法用超穷步骤证明了皮亚诺公理系统的相容性。

第八十六页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法一、结构方法简述

19世纪至20世纪初，数学得到了前所未有的高速发展，研究领域越来越广，数学这棵生长树越长越茂密，树岔越分越细，从而数学显得越来越庞杂无序，使得即便是造诣高深的数学家也无法全局把握、透视，面对这种发展趋势，于是数学界一个有意义的课题就应运而生，那就是，用统一的观点去处理这“庞杂”的内容，使之“有序”。第八十七页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法

对于数学的局部内容，这个想法是可以实现的，如希尔伯特的《几何基础》、范德瓦尔登的《近世代数》的出版；ZFC的集合论公理系统的问世；德国数学家克莱茵利用“群论”观点统一处理了各种几何学（此即爱尔朗根纲领），美国数学家伯克霍夫用“格”的概念统一处理了代数系统的理论。那么，对于整个数学而言，能否采用某种统一观点将其重新整理呢？第八十八页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法

20世纪初，法国一批杰出的年轻数学家在爱尔朗根计划的启示下，于1933年成立了以尼古拉•布尔巴基为名的数学家集体，其行动目标就是从整个数学全局出发，以集合论为基础，运用形式公理化方法，重新整理各个数学分支，从内容结构上给以彻底改造。其基本出发点是：数学是研究形式结构的科学，数学各分支应能按结构性质来统一分割和归类。第八十九页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法数学大师A.博雷尔(ArmandBorel)在回顾参与布尔巴基活动的往事时说：“布尔巴基并没有实现他的所有梦想，达成全部的目标。在我看来，这已经足够了。在培植数学的整体观念、数学基础的统一性、叙述风格、符号选择等等方面，对数学发展产生了持久的影响。”“在我心中永远保留的回忆是，数学家们多年的无私合作，各不相同的个性能朝向共同的目标，在数学史上也许是绝无仅有的。”第九十页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法那些流淌着的青春的学术的激情，那些灵光四射的智慧的火焰，真理在“疯子们”的激辩中荡漾着七彩的光芒……这种学术上的原生态状况，使布尔巴基学派在很长时间里保持着旺盛的创造力，培育了众多泰斗级的数学精英，主要成员中不断有人获得沃尔夫数学奖和菲尔兹奖——其主要成员先后有让·迪多内、安德列·韦伊和亨利·嘉当（以上两人为沃尔夫数学奖得主），克劳德·谢瓦莱、劳伦特·施瓦兹、亚利山大·格罗申第克和让—皮埃尔·塞尔（后三人均曾获菲尔兹奖）等……

第九十一页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五H.嘉当(法,1904-)布尔巴基学派(法,1935-)迪多内(法,1906-1992)谢瓦莱(法,1909-1984)德尔萨特(法,1903-1968)韦伊(法,1906-1998)第九十二页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法这个集体不仅要求正式成员数学素质要好，善于创新，而且年龄不能超过50岁，他们经常组织讨论班和研究会，集思广益，协作探索，1936年正式向法国政府申请科学基金，并以布尔巴基名义发表众多成果和出版系列专著《数学原理》，他们著作的独特观点和风格赢得了布尔巴基学派称号，其思想即是结构主义，是用结构方法处理数学。具体说来就是，利用形式公理法化方法抽象出各种数学分支各种结构，找出各数学分支之间的结构差异，从而获得各数学分支间内在关联的清晰图象。

第九十三页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法

显然，结构主义可以看作是现代形式公理方法的一种发展，因为，形式公理化方法是着眼于某一门数学的形式公理化或者结构化；结构主义的思想方法则是以现代形式公理化方法为工具，着眼于整个数学全局去看待各个数学分支，即不仅要在数学大范围内分析研究每一门数学的结构，而且还要分析研究各数学分支之间结构的差异及其内在联系。第九十四页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法布尔巴基学派在集合论的基础上,首先通过抽象分析法，建立了三种基本结构，也称母结构，即代数结构、序结构和拓朴结构，然后以这三个母结构为基础，按照结构之间的“不同”关系，交叉产生新结构，从而，使得数学由一个分支结构转移到另一个分支结构，有层次地一直延伸出去，形成整个数学。第九十五页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五§4.4数学结构方法集合论代数结构序结构拓扑结构布尔代数结构分析结构序拓扑结构……………

结构层次框图如下:…第九十六页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法

正如他们所说：“数学好比一座大城市，城市中心有些巨大建筑物，就好比是一个个已经建成的数学理论体系，城市的郊区正在不断地并且多少有点杂乱无章地向外伸展，他们就好像是一些尚未发育成型的正在成长着的数学分支，与此同加时，市中心又在时时重建，每次都是根据构思更清晰的计划和更加合理的布局，在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的同时，将修筑起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四方，……”。第九十七页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法二、数学结构简介

一个抽象的集合不过是一组元素而已，无所谓结构。但引进了运算和变换，就形成了结构。结构中必须包含元素间的关系，这些关系通常是由运算或变换联系着的。1、数学结构的具体实例

下面以抽象群理论来具体说明结构是怎样产生和如何确定一个结构。第九十八页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法首先让我们考察三种运算：（1）实数的加法：实数的和按通常的方法确定。（2）整数“按模素数”的乘法：两数的“乘积”定义为两数通常的乘积除以的余数。（3）在三维欧氏空间中的位移“合成”：两个位移（按这个顺序）的“合成”（或“乘积”）定义为执行第一个位移后再执行第二个位移所得到的位移。第九十九页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法在三种不同的运算中，用统一符号“

”表示运算，用表示两个元素通过运算后确定的第三个元素，那么具体分析这三种不同运算的“运算性质”，会发现它们之间具有一种“明显的平行性”（即类似性、对应性）。从中可以选出互相独立的少数几个性质作为这三种运算的“共同性质”。如第一百页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法（i）对于所有的元素有(ii)存在一个元素，使得对于每一个元素，有(iii)对应于每一元素，存在一个元素，使得第一百零一页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法由此看出记号可以用相同的方式表达它们，对这三种不同的运算，借助于统一的之间的“平行的”运算性质。这种表达的优点在于，在推理的过程中不必考虑元素的性质，唯一需要关心的是，元素的运算具有性质“(i)、(ii)、(iii)”这个前提。这样，就可以引出相应的运算结构。第一百零二页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法

群结构就是在某一集合中确定了某种运算，且具有三个性质(i)、(ii)、(iii)的一种结构。其中性质(i)、(ii)、(iii)叫做群结构的公理，展开这些公理的推论就构成群的理论。显然，群理论较之“实数加”、“整数模”、“位移合成”等理论概括得多，它适合于这三者中任一个。这就是研究结构意义之所在。由上述分析看出，具体而言结构是集合中元素间满足一定条件（公理）的某种关系，一个抽象的集合只不过是一组元素而已，无所谓结构，但引进了关系，就形成了结构。因此，关系是重要的，它就代表一种结构。第一百零三页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法例如，是表为，还是这没有区别。但对于积集合，这些元素就互相有区别了。第一百零四页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法2、三种基本数学结构简介(1)

代数结构所谓非空集X中的n元代数运算指到的一个映射其中n叫做运算的阶。最常用的代数运算是二元代数运算，也即习惯上的代数运算。第一百零五页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法序对在代数运算下的象记作，显然，中的二元代数运算给出了中的一个三元关系：当且仅当时，三元序组满足这个关系。而三元序组的集合是笛卡尔积的子集，故二元运算可以视为一种结构。若非空集中的代数运算记为，则序对就称为一个代数，即定义了运算的集合。第一百零六页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法

代数的例子很多，如果再给代数加上一定的公理，那它就构成各种不同的代数结构。如加上群公理、环公理、域公理等就分别构成群、环、域等常见代数结构。再以群为例具体说明之；第一百零七页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法例、群结构

二元序对称为群，是指它满足如下公理：（1）中的元素关于代数运算满足结合律，即，有（2）中存单位元：即,使，有（3）中每一个元素，都在中存在逆元，即第一百零八页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

可见，群也就是在其上定义了满足上述公理的二元代数运算的非空集合。

代数结构是由离散性的对象、运算关系及其公理组所构成的结构系统。

（2）序结构

常见的序结构有两种：半序结构和全序结构，建立了这两种序结构的集分别称为半序集和全序集（也称半序结构和全序结构）。

§4.4数学结构方法第一百零九页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法半序集：如果Ａ的元素之间定义了一个关系“＜”，它满足如下公理：（i）自反性，对Ａ中的一切元素,有(ii)反对称性，若则

（iii）传递性，若则则称Ａ为半序集，这个关系为半序关系。第一百一十页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法例如自然数集中的整除关系是半序关系，因为n能被自身整除；若n能整除m,m能整除n,则m=n;若n能整除m,m能整除r,则n也能整除r,故自然数集是一种半序结构。全序集：满足下列可比性条件（iv）的半序集称为全序集；(iv)Ａ中的任意两个元素或至少有一个成立。第一百一十一页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法例如一幂集中的包含关系不具有可比性，故不是全序集。又如不难验证，数集，关于整除关系构成一全序结构。但自然数集Ｎ关于整除关系不构成全序结构。又如自然数集Ｎ关于“≤”关系构成一全序结构。可见，序结构是由对象集、次序关系及其公理组所构成的结构系统。第一百一十二页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法（３）拓扑结构为了在一般意义下引进拓扑概念，一种比较直观而较简单的办法是引进邻域和邻域结构，即邻域公理系统。Ｘ的一些子集组成的集族称为邻域族，若此集族满足如下邻域公理，此时，就称为X的一个拓扑结构；第一百一十三页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法（i）Ｘ中的任一元素在Ｂ中有一个，使。（ii）Ｘ中的任一元素，若在Ｂ中有、使且，则。（iv）Ｘ中的元素，对中任一含的，若有，则必存在，使，且。即X中每一点至少有一邻域。即X中一个点的两个邻域的交仍为其邻域。(iii)若是的一个子集，而Ｘ中元素则也是的一个邻域。第一百一十四页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法根据上述四条公理,特别是公理(ii)与公理(iv)能保证在数学分析的论域内任一点,能选取一连串越来越小的邻域，使之点为极限。由此可见,邻域公理系统可以导致极限概念。也正是因为邻域公理系统能描述极限和连续，而拓扑变换是研究一种比较广泛的，即仅保持连续性不变的那种变换，所以，拓朴结构常被说成是能够描述极限的那种数学结构。

注公理(iv)保证了X中的每个点至少有一个这样的邻域，在该邻域内所有的点都有邻域。显然，实数域的开区间都具有这个性质。第一百一十五页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

从三种基本结构出发，通过增加一个或几个新公理，就可以得到许许多多的特殊结构。例如，从一般的群论出发，加上群的元素是有限的这一公理，就得到有限群结构。母结构的有机结合也可产生多重结构。又如，实数结构就是在全体实数集的基础上由代数结构、序结构及拓扑结构三个母结构交叉产生的一个综合性的子结构，也是一个完备的阿基米德全序域。这样，遵循从一般到特殊，从简单到复杂的原则，一层一层地构造下去，就可得到许许多多独特的结构及其理论。从而，可把古典数学作某种统一，给整个数学一种概括。

§4.4数学结构方法第一百一十六页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

结构的意义还在于它可以使数学家实现一种重要的“思维经济”，以往数学家为了解决一个具体的数学问题，必须根据具体问题的特性，为之探索适合于该问题的工具。今天，有了公理化方法，有了结构概念以后，数学家一旦在他所研究的元素之间认识到满足某个已知类型公理的关系时，就可以自由地支配属于该类结构的整个定理库。换言之，以前是一种方法解决一个问题，现在是一种方法解决一类问题，从某种意义上来说公理方法和结构方法，把数学工具标准化了。

§4.4数学结构方法第一百一十七页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五从结构的观点出发来分析问题，同构的概念是一个非常重要的概念。这是因为凡具有同构性质的一些结构，在本质上都可看成是同一结构；在研究问题时当然只须抓住一种结构进行分析即可。而无需浪费重复性的劳动。三、同构、同态及其方法论意义我们通常要研究赋予一定结构的集合到赋予同类结构的集合内的映射，如具有某种结构的代数到具有同类结构的代数的映射，有序集到有序集的映射，拓扑空间到拓扑空间内的映射等。同构、同态就是代数到同类代数的特殊映射。代数与代数的同构是指双射并且对于中任意的,有代数到其自身的同构映射叫做这个代数的自同构。第一百一十八页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法第一百一十九页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法第一百二十页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法第一百二十一页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法由上可以看到，同构具有两层含义，一是在对象集与之间存在双射，二是双射保持与之间的运算关系。因此，对于具有同构关系的代数结构，我们可由一个结构中的某些性质推知另一结构中也具有相应性质，在此意义上可以说，对于同构的数学结构我们只需研究透一个就够了，或干脆看成一个结构（同构意义下），或者将某个结构中不易研究的性质拿到与之同构的另一个结构中去研究，等等。第一百二十二页，共一百三十八页，编辑于2023年，星期五

§4.4数学结构方法因此，同构在数学中具有重要的方法论意义。同样，同态作为同构的一种弱化，也具有两层含义，一是存在一个满射，二是满射单方保持关系，即代数结构中的某一性质可以通过同态映