第四章正弦交流电路

第四章正弦交流电路第一页，共五十三页，编辑于2023年，星期五§４.1正弦电压与电流◆在正弦电源激励下，电路中电压和电流均按正弦规律变化，这样的电路称为正弦交流电路。◆正弦电压或电流其大小与方向均随时间而周期性变化，如右图所示。

u(i)t(a)正弦波形+★正弦波的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，因此，正弦交流电包含三个要素，即频率、幅值和初相位。

第二页，共五十三页，编辑于2023年，星期五1、正弦交流电的三要素

以交流电流为例：i

：

电流幅值（最大值）

：

角频率（弧度/秒）

：

初相角三要素()jw+=tIim

sin第三页，共五十三页，编辑于2023年，星期五描述正弦量变化快慢的几种方法：1.周期T：变化一周所需的时间（单位：秒、毫秒）正弦交流电三要素之一

——频率与周期3.角频率ω：每秒变化的弧度（单位：弧度/秒）2.频率f：每秒变化的次数（单位：赫兹、千赫兹iTTf1=fTπ2π2

==w相互间关系：第四页，共五十三页，编辑于2023年，星期五★常用的频率范围：●我国电力的标准频率为50Hz；美、日等国采用标准为60Hz。●中频电炉的工作频率为500—8000Hz；●高频电炉的工作频率为200—300kHz；●无线电工程的频率为104—30×1010Hz。●低频电子工程的频率为20—20×103Hz。第五页，共五十三页，编辑于2023年，星期五为正弦电流的最大值★用仪表测得的交流电压、电流值，就是被测物理量的有效值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。最大值表示方法电量名称必须大写,下标加m正弦交流电三要素之二

——幅值与有效值第六页，共五十三页，编辑于2023年，星期五★有效值是从电流的热效应相等来定义的。★在同一周期时间内，正弦交流电流i和直流电流I对同一电阻具有相同的热效应，就用I表示i的有效值。有效值交流电流直流电流即：对正弦交流电流则有：ò=TtiTI02d12mI=第七页，共五十三页，编辑于2023年，星期五：t=0时的相位，称为初相位或初相角。i：正弦波的相位角或相位。正弦交流电三要素之三

——初相位()jw+=tIi

sin2初相位

：给出了观察正弦波的起点或参考点j第八页，共五十三页，编辑于2023年，星期五两个同频率正弦量间的相位相比较(初相位差)ti当

=(1–

2)

>0

时，称i1

与i2越前角；当

=(1–

2)

<0

时，称i1

与i2滞后角；当

=(1–

2)

=0

时，称i1

与i2

同相。第九页，共五十三页，编辑于2023年，星期五i①波形图正弦量的表示方法：§４.2正弦量的相量表示法②瞬时值表达式须小写I.U.③相量（难点）

大写并加“.”第十页，共五十三页，编辑于2023年，星期五★正弦交流量不仅有大小而且有相位参数,要同时表示出这二个参数必须采用矢量或复数。正弦量的相量表示法：★正弦周期量才能用相量表示，非正弦周期量不能用相量表示。且只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。★正弦量用相量表示可简化正弦交流电路的分析与计算。相量表示：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。★只包含幅值与初相位两个要素。第十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期五jyx0Ay设在复平面上(直角坐标系OX为实轴、OY为虚轴)复数A(a,b)可表示为:A=a+jb在极坐标系中则表示为.A=r/变换关系为：或：22bar+=abarctg=yy=cosray=sinrb∴A=r(cos

+jsin

)又由欧拉公式得：A=re

j第十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期五注:相量与正弦量只存在对应关系,而不是相等关系)sin(y+w=tUum求表示i，u的相量

，及相位差

，并作出相量图。已知正弦电流、正弦电压分别为例第十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期五解：i超前u900.在相量图上可以很直观地看出相互之间的相位关系。向量图+j+16p3p·U·I第十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期五波形图瞬时值相量图复数形式正弦波的四种表示法

TiU.I.jjÐÞ=+=UUbaUjej.第十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期五1、电阻元件的交流电路uiR根据欧姆定律:

设:则:§４.3单一参数的交流电路iRu=电阻电路中电流、电压的关系:1.频率相同2.相位相同3.有效值关系：4.相量关系：设o0Ð=U.UI.U.第十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期五电阻电路中功率的计算◆瞬时功率p(p小写)：瞬时电压与瞬时电流的乘积RuiRiu/22==pR=uiR(1)（耗能元件）(2)随时间变化(3)与成比例ωtuipωt++第十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期五◆平均功率（有功功率）P(P大写)：一个周期内的瞬时功率平均值P∴RURIIU/22===第十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期五基本关系式：设则2、电感元件的交流电路iueLL电感电路中电流、电压的关系:(1)频率相同(2)相位相差90°（u领先i90

°）UIILIw..(3)有效值LXI=(4)相量关系LIUw=第十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期五电感电路中功率的计算◆瞬时功率p(p小写)：瞬时电压与瞬时电流的乘积iueLLtUIttUIuipwww2sincossin2==×=当u与i的瞬时值为同号时，p0，电感元件取用功率(为负载)，磁能增加；当u与

i的瞬时值为同号时，p0，电感元件发出功率(相当于电源)，电感元件的磁能减少。第二十页，共五十三页，编辑于2023年，星期五★纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。能量交换的规模，用无功功率Q来衡量。◆平均功率（有功功率）P(P大写)：一个周期内的瞬时功率平均值0d)2(sin1d100===òòttUITtpTPTTw第二十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期五无功功率Q的单位是乏(Var)或千(kVar)。◆无功功率Q

：用以衡量电感电路中能量交换的规模LLXUXIIUQ22===电感瞬时功率所能达到的最大值。第二十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期五把一个0.1H的电感元件接到频率为50Hz、电压有效值为10V的正弦电源上，问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5000Hz，这时电流为多少？解：当f=50Hz时，当f=5000Hz时，例第二十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期五基本关系式:设：uiC则：３、电容元件的交流电路)90sin(2cos2ddo+===tCUtUCtuCiwwww电容电路中电流、电压的关系（１）频率相同（２）相位相差90°（u落后i90°

）（３）有效值或CUI

w=ICUw1=（４）相量关系．IU．第二十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期五电容电路中功率的计算◆瞬时功率p(p小写)：瞬时电压与瞬时电流的乘积uiC◆平均功率（有功功率）P(P大写)：一个周期内的瞬时功率平均值Tòò=-==TTttIUtPTP000d2sin1d1w第二十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期五（电容性无功取负值）◆无功功率Q

：用以衡量电感电路中能量交换的规模电感瞬时功率所能达到的最大值。第二十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期五解：当f=50Hz时，可见，在电压值一定时，频率愈高，通过电容元件的电流愈大。当f=5000Hz时，把一个的电容元件接到频率为50Hz、电压有效值为10V的正弦电源上，问电流是多少？如果保持电压值不变，而电源频率改为5000Hz，这时电流将为多少？例第二十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期五◆电流、电压的关系uRLCi§４.４电阻、电感与电容串联交流电路或写成

j·LU·RU·CU·CU·U+·LU·CU·I第二十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期五以电流为相位参考，故总电压的有效值幅值：令则或应注意几点：1.在分析与计算交流电路时必须时刻具有交流的概念，特别是相位的概念。上述电阻、电容与电感的串联，总的电压应等于三个元件上电压的相量和，如果直接写成

那就不对了。２.复数阻抗的实部为“阻”，虚部为“抗”，它表示了串联电路的电压与电流之间的关系，模

|Z|反映大小关系，辐角反映相位关系。第二十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期五对于复阻抗Ｚ的讨论IUXXRzCL=-+=22)(★|Z|也具有对电流起阻碍作用的性质，其单位也是欧姆，称之为电路的阻抗。|Z|、R、(XL–XC)三者之间的数值关系可以用一个直角三角形来表示——称为阻抗三角形。|Z|RXL–XC

电压三角形与阻抗三角形是相似形，/

就是总电压与电流之间的相位差。阻抗角的计算：RXXarctgUUUarctgCLRCL-=-=j是一个复数，但并不是正弦交流量，上面不能加点。Z在方程式中只是一个运算工具。★Z第三十页，共五十三页，编辑于2023年，星期五★

Z和总电流、总电压的关系由复数形式的欧姆定律可得：ZIU=iuiuIUZIUIUZjjjjj-Ð=Ð=ÐÐ==····iujjj-=IUZ=（Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比）（Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差）第三十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期五★

Z和电路性质的关系当时，表示u领先i－－电路呈感性当时，表示u、i同相－－电路呈电阻性当时，表示u落后i－－电路呈容性RXXCLiu-=-=-1tanjjj一定时，电路性质由参数决定第三十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期五★

阻抗三角形和电压三角形的关系电压三角形阻抗三角形相似|Z|RXL–XC

第三十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期五●瞬时功率p

●平均功率P（有功功率）

◆电路中的功率计算其中：jcosUIP=（Ｕ：总电压Ｉ：总电流j：总电压与总电流的夹角）cosj：功率因素第三十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期五电路中存在能量吞吐，吞吐的规模用无功功率来表示●无功功率QjsinIUIUUIUIUQQQCLCLCL=-=-+=+=）（）（●视在功率S电路中总电压与总电流有效值的乘积单位：伏安、千伏安UIS=●功率三角形PQS第三十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期五

RLC串联电路，已知R=30,L=127mH,C=40F,电源电压u=220(sin314t+20º)V求:(1)电路的感抗、容抗和阻抗；(2)电流有效值及瞬时值的表达式；(3)各部分电压有效值及瞬时值的表达式；(4)作相量图；(5)电路的功率P和Q。2例解(1)感抗容抗阻抗(2)电流有效值相位差角W=´´=w=-40101273143LXLW=-+=50)(22CLXXRZW=´´=w=--80)1040314(/116CXCAZUI4.450/220/===)(53电容性°-=-=jRXXarctgCL第三十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期五电流瞬时值(3)电阻端电压电感端电压电容端电压显然：只有：)5320314sin(24.4°+°+=tiAt)73314sin(24.4°+=VRIUR132304.4===VtuR)73314sin(2132°+=VXIULL176404.4==×=VtuL)163314sin(2176°+=VXIUCC352804.4===VtuC)17314sin(2352°-=CLRUUUU++¹××CLRUUUU++=第三十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期五(4)相量图如右所示：20º(5)电路的功率电路的无功功率视在功率j=cosUIP)53cos(4.4220°-=W8.580=j=sinUIQ)53sin(4.4220°-=Var4.774-=VAUIS9684.4220===×××第三十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期五§４.5阻抗的串联与并联１.阻抗的串联根据电压定律的相量形式式中称为串联电路的等效复数阻抗。··2UI·1U·U2Z1Z(a)阻抗的串联(b)等效电路·UZ·I第三十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期五其中，２.阻抗的并联根据电流定律的相量形式·(b)等效电路·UZI·I·U2Z1Z(a)阻抗的并联·1I·2I第四十页，共五十三页，编辑于2023年，星期五令称为等效复数导纳，式中

Z是并联电路的等效复数阻抗。则

第四十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期五响应与频率的关系称为电路的频率特性或频率响应。在频率领域内对电路进行分析，称为频域分析。§４.４交流电路的频率特性★在具有电感和电容元件的电路中，电路两端的电压与其中的电流一般是相位不同的。如果调节电路的参数或调节电源的频率而使两者相位相同，电路中就会发生谐振现象。★谐振可分为串联谐振和并联谐振两种情况。谐振串联谐振：L与C串联时u、i同相并联谐振：L与C并联时u、i同相第四十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期五在R、L、C元件的串联电路中，当或则电压u与电流i同相，这时电路发生了串联谐振。RLCuiCLXX=fCfLpp212=0=-=RXXarctgCLj发生串联谐振时，电源的频率与电路f的固有频率f0相同，有LCffp210==★

L与C串联时发生谐振的条件：１、串联谐振第四十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期五(1)电路的阻抗为最小值，电路的电流为最大值。★串联谐振的特点(2)谐振电路呈现电阻性。电源不与电路进行能量互换，能量的互换只发生在电感线圈和电容器之间。(３)U、I

同相RUII==0RXXRZCL=-+=22)((４)当时RXXCLññ=

电容及电感的端电压可能比电源电压高出许多倍，亦称之为电压谐振。第四十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期五★

谐振电路的品质因数RLCRUUUUQCL001w=w===★LC电路的谐振特性在无线电工程中被用来选择有用频率的信号，而尽量地抑制干扰。

显然，Q值越大，选择性越好。第四十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期五电容器与线圈的并联电路，其等效阻抗为RLCuiiCi1通常要求电阻很小，谐振时一般有L>>R，则上式为上式分母中虚部为零时产生谐振，可得谐振频率为即与串联谐振频率近似相等。２、并联谐振LCRCjLjRLjRCjLjRCjZ21)(1)(1w-w+w+=w++ww+w=)1(112LCjLRCLCRCjLjZw-w+=w-w+w»LCLC101000»w»w-w或LCffp»=210第四十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期五(1)谐振时电路的阻抗为达到最大值，比非谐振时要大。在电源电压一定的情况下，电路中的谐振电流有最小值。即(2)电路的总电压与电流相位相同(=0)，呈现电阻性。(3)各并联支路电流为★并联谐振的特点及品质因数RCLLRCZ==)(1000)(ZULRCUII===及而LfULfRUI020212)2(p»p+=CfUIC021p=RLRLfCfRLfRCLZ2020000)()2()2(2w=p»pp==第四十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期五当时，即：因此，并联谐振也称电流谐振。IC或I1与总电流I0的比值为并联谐振电路的品质因数CRRLRLfIIQ0000112w=w=p==01IIIC>>»RLRLfCfLf202000)()2(212w=p<<p»pRLf>>p02第四十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期五在直流电路中，功率仅与电流和电压的乘积有关；上式中的cos是电路中的功率因数。其大小决定于电路（负载）的参数。对纯阻负载功率因数为1。对其他负载来说，其功率因数均介于0和1之间。１、提高功率因数的意义在交流电路中，功率不仅与电流和电压的乘积有关，而且还与电压与电流之间的相位差有关；P=UIP=UIcos§４.４功率因数的提高即：即：第四十九页，共五十三页，编辑于