第三讲平面问题有限元分析演示文稿

第三讲平面问题有限元分析演示文稿本文档共70页；当前第1页；编辑于星期六\10点16分（优选）第三讲平面问题有限元分析本文档共70页；当前第2页；编辑于星期六\10点16分2-2有限单元法的计算步骤弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤：

1、离散化2、单元分析3、单元综合本文档共70页；当前第3页；编辑于星期六\10点16分2-2有限单元法的计算步骤

1、离散化有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。这些单元在结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。本文档共70页；当前第4页；编辑于星期六\10点16分5.相邻单元的尺寸尽可能接近。6.结点所连接的单元个数尽可能一致。宜不宜结点的选择和单元划分原则1.集中力作用点、分布力突变点、支承点应选作结点。2.不同厚度、不同材料的部分不应划在同一个单元。3.应力变化大处单元应密集一些。结点的多少与疏密要考虑计算机的容量和计算精度。4.单元边界的边长之比应尽可能靠近1。宜不宜有限元分析应注意的问题本文档共70页；当前第5页；编辑于星期六\10点16分7、充分利用结构的对称性PPPPP本文档共70页；当前第6页；编辑于星期六\10点16分2-2有限单元法的计算步骤

2、单元分析

对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。结点位移

结点力

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2、单元分析-----单元刚度矩阵取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。单元分析的步骤可表示如下：本文档共70页；当前第8页；编辑于星期六\10点16分2-2有限单元法的计算步骤

3、单元综合将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方程求出结点位移。在位移法中，主要的任务是求出基本未知量---结点位移。为此需要建立结点的平衡方程。本文档共70页；当前第9页；编辑于星期六\10点16分2-2有限单元法的计算步骤

3、单元综合

i点总的结点力应为：根据结点的平衡条件，得单元e的结点力，可按式(2-2)用结点位移表示，代入得到用结点位移表示的平衡方程。每个可动结点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以方程总数与未知位移总数相等，可以求出所有的结点位移。单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后，可进一步求出各单元的应力。本文档共70页；当前第10页；编辑于星期六\10点16分2-3单元位移函数

如果弹性体的位移分量是座标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。本文档共70页；当前第11页；编辑于星期六\10点16分2-2单元位移函数

三结点三角形单元六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的3结点三角形单元的位移函数如下，所选用的这个位移函数，将单元内部任一点的位移定为座标的线性函数，位移模式很简单。位移函数写成矩阵形式为：本文档共70页；当前第12页；编辑于星期六\10点16分将水平位移分量和结点坐标代入位移函数第一式，写成矩阵形式，本文档共70页；当前第13页；编辑于星期六\10点16分令

则有

A为三角形单元的面积。

本文档共70页；当前第14页；编辑于星期六\10点16分[T]的伴随矩阵为，

令

本文档共70页；当前第15页；编辑于星期六\10点16分则

同样，将垂直位移分量与结点坐标代入位移插值公式

本文档共70页；当前第16页；编辑于星期六\10点16分2-3单元位移函数最终确定六个待定系数本文档共70页；当前第17页；编辑于星期六\10点16分2-3单元位移函数令（下标i，j，m轮换）简写为[I]是单位矩阵，[N]称为形态矩阵，Ni称为位移的形态函数本文档共70页；当前第18页；编辑于星期六\10点16分2-3单元位移函数

选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列两方面的条件：(1)必须能反映单元的刚体位移和常量应变。

6个参数到反映了三个刚体位移和三个常量应变。(2)必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。

(线性函数的特性)本文档共70页；当前第19页；编辑于星期六\10点16分

形态函数Ni具有以下性质：1)在单元结点上形态函数的值为1或为0。2）在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于1。用来计算三角形面积时，要注意单元结点的排列顺序，当三个结点i，j，m取逆时针顺序时，当三个结点i，j，m取顺时针顺序时，本文档共70页；当前第20页；编辑于星期六\10点16分图4-3本文档共70页；当前第21页；编辑于星期六\10点16分2-3单元位移函数

作业：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵[N],应变矩阵,应力矩阵,单元刚度矩阵。本文档共70页；当前第22页；编辑于星期六\10点16分2-3单元位移函数

由三角形的面积本文档共70页；当前第23页；编辑于星期六\10点16分2-4单元载荷移置

连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向结点移置(分解)，而成为结点载荷。如果弹性体受承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为结点，就不存在移置的问题，集中力就是结点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和体力，都不可能只作用在结点上。因此，必须进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为结点，该集中力也要向结点移置。将载荷移置到结点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。本文档共70页；当前第24页；编辑于星期六\10点16分单元的虚位移可以用结点的虚位移表示为

表示为，

（3-15）令结点载荷为

令结点载荷为本文档共70页；当前第25页；编辑于星期六\10点16分集中力的移置如图所示，在单元内任意一点作用集中力由虚功相等可得，由于虚位移是任意的，则

本文档共70页；当前第26页；编辑于星期六\10点16分例题1：在均质、等厚的三角形单元ijm的任意一点p（xp，yp）上作用有集中载荷。

本文档共70页；当前第27页；编辑于星期六\10点16分体力的移置令单元所受的均匀分布体力为

由虚功相等可得，

本文档共70页；当前第28页；编辑于星期六\10点16分分布面力的移置设在单元的边上分布有面力，同样可以得到结点载荷，本文档共70页；当前第29页；编辑于星期六\10点16分例题：设有均质、等厚的三角形单元ijm，受到沿y方向的重力载荷qy的作用。求均布体力移置到各结点的载荷。

本文档共70页；当前第30页；编辑于星期六\10点16分

同理，本文档共70页；当前第31页；编辑于星期六\10点16分例题：在均质、等厚的三角形单元ijm的ij边上作用有沿x方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。取局部坐标s，在i点s=0，在j点s=L，L为ij边的长度。在ij边上，以局部坐标表示的插值函数为，

，，本文档共70页；当前第32页；编辑于星期六\10点16分载荷为

本文档共70页；当前第33页；编辑于星期六\10点16分

例：总载荷的2/3移置到结点i，1/3移置到结点j，与原载荷同向本文档共70页；当前第34页；编辑于星期六\10点16分本文档共70页；当前第35页；编辑于星期六\10点16分2-5单元应力矩阵

本节利用几何方程、物理方程，实现用结点位移表示单元的应变和单元的应力。用结点位移表示单元的应变的表达式为

，[B]矩阵称为几何矩阵。

本文档共70页；当前第36页；编辑于星期六\10点16分2-5单元应力矩阵

由物理方程，可以得到单元的应力表达式为应力矩阵

本文档共70页；当前第37页；编辑于星期六\10点16分2-6单元刚度矩阵

讨论单元内部的应力与单元的结点力的关系，导出用结点位移表示结点力的表达式。由应力推算结点力，需要利用平衡方程。第一章中已经用虚功方程表示出平衡方程。

本文档共70页；当前第38页；编辑于星期六\10点16分2-6单元刚度矩阵

考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为：

任意虚设位移，结点位移与内部应变为本文档共70页；当前第39页；编辑于星期六\10点16分2-6单元刚度矩阵

令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为本文档共70页；当前第40页；编辑于星期六\10点16分2-6单元刚度矩阵

计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。本文档共70页；当前第41页；编辑于星期六\10点16分2-6单元刚度矩阵

微小矩形的内力虚功为整个弹性体的内力虚功为本文档共70页；当前第42页；编辑于星期六\10点16分2-6单元刚度矩阵

根据虚功原理，得这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。虚应变可以由结点虚位移求出：代入虚功方程本文档共70页；当前第43页；编辑于星期六\10点16分2-6单元刚度矩阵

接上式，将应力用结点位移表示出有令则建立了单元的结点力与结点位移之间的关系，称为单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。本文档共70页；当前第44页；编辑于星期六\10点16分2-6单元刚度矩阵

由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且因此可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。本文档共70页；当前第45页；编辑于星期六\10点16分2-7单元刚度矩阵的物理意义及其性质

已经求出了下列关系本文档共70页；当前第46页；编辑于星期六\10点16分2-7单元刚度矩阵的物理意义及其性质

结点力和结点位移的关系：(以简单平面桁架为例)

平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体在结点载荷的作用下，结点对单元、单元对结点都有作用力与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为结点力。结点力和结点位移的关系前面已经求出：本文档共70页；当前第47页；编辑于星期六\10点16分2-7单元刚度矩阵的物理意义及其性质

单元刚度矩阵的物理意义：将写成分块矩阵写成普通方程其中表示结点S(S=i,j,m)产生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)上所需要施加的结点力的大小。本文档共70页；当前第48页；编辑于星期六\10点16分2-7单元刚度矩阵的物理意义及其性质

单元刚度矩阵的物理意义：将结点力列矩阵与结点位移列矩阵均展开成(6*1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6*6)阶方阵：元素K的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-”的表示垂直方向。本文档共70页；当前第49页；编辑于星期六\10点16分2-7单元刚度矩阵的物理意义及其性质

单元刚度矩阵的物理意义：

单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。表示结点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平结点力和垂直结点力的大小。例如表示结点j在垂直方向产生单位位移时，在结点i所需要施加的水平结点力的大小。本文档共70页；当前第50页；编辑于星期六\10点16分2-7单元刚度矩阵的物理意义及其性质

单元刚度矩阵的性质：

1)对称性：是对称矩阵

2)奇异性：是奇异矩阵，单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。本文档共70页；当前第51页；编辑于星期六\10点16分2-7单元刚度矩阵的物理意义及其性质

单元刚度矩阵的性质：例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设1、求[B]2、求[D]3、求[S]4、求

本文档共70页；当前第52页；编辑于星期六\10点16分2-8整体分析

将各单元组合成结构，进行整体分析。整体分析分4个步骤1、建立整体刚度矩阵；2、根据支承条件修改整体刚度矩阵；3、解方程组，求出结点位移；(消去法与叠加法)4、根据结点位移求出应力。本文档共70页；当前第53页；编辑于星期六\10点16分2-8整体分析

图示结构的网格共有四个单元和六个结点。在结点1、4、6共有四个支杆支承。结构的载荷已经转移为结点载荷。整体分析的四个步骤：1、建立整体刚度矩阵；2、根据支承条件修改整体刚度矩阵；3、解方程组，求结点位移；4、根据结点位移求出应力。

对单元的分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成结构，进行整体分析。本文档共70页；当前第54页；编辑于星期六\10点16分2-8整体分析1、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵)

上图中的结构有六个结点，共有12个结点位移分量和12个结点力分量。由结构的结点位移向量求结构的结点力向量时，转换关系为：分块形式为：其中子向量和都是二阶向量，子矩阵是二行二列矩阵。整体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵。本文档共70页；当前第55页；编辑于星期六\10点16分2-8整体分析2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。建立整体刚度矩阵时，每个结点的位移当作未知量看待，没有考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以处理。在上图的结构中，支承条件共有四个，即在结点1、4、6的四个支杆处相应位移已知为零：建立结点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。

3、解方程组，求出结点位移。通常采用消元法和迭代法两种方法。

4、根据结点位移求出应力。本文档共70页；当前第56页；编辑于星期六\10点16分2-9整体刚度矩阵的形式

整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。

1、刚度集成法的物理概念：刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。由2-8节的例题可见，与结点2和3相关的单元有单元①和③，当结点3发生单位位移时，相关单元①和③同时在结点2引起结点力，将相关单元在结点2的结点力相加，就得出结构在结点2的结点力。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块的集成。本文档共70页；当前第57页；编辑于星期六\10点16分2-9整体刚度矩阵的形式

2、刚度矩阵的集成规则：先对每个单元求出单元刚度矩阵，然后将其中的每个子块送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵[K]的子块，从而得出结构刚度矩阵[K]。关键是如何找出中的子块在[K]中的对应位置。这需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关系。本文档共70页；当前第58页；编辑于星期六\10点16分2-9整体刚度矩阵的形式2、刚度矩阵的集成规则：

结构中的结点编码称为结点的总码，各个单元的三个结点又按逆时针方向编为i,j,m,称为结点的局部码。单元刚度矩阵中的子块是按结点的局部码排列的，而结构刚度矩阵中的子块是按结点的总码排列的。因此，在单元刚度矩阵中，把结点的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新排列。本文档共70页；当前第59页；编辑于星期六\10点16分2-9整体刚度矩阵的形式

以单元②为例，局部码i,j,m对应于总码5,2,4，因此中的子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵为：本文档共70页；当前第60页；编辑于星期六\10点16分2-9整体刚度矩阵的形式

用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵[K]：集成规则包含搬家和迭加两个环节：

1、将单元刚度矩阵中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵。

2、将各单元的扩大刚度矩阵迭加，得出结构刚度矩阵[K]。

(例题略)本文档共70页；当前第61页；编辑于星期六\10点16分本文档共70页；当前第62页；编辑于星期六\10点16分2-10支承条件的处理

整体刚度矩阵[K]求出后，结构的结点力{F}可表示为在无支杆的结点处，结点力就等于已知的结点载荷。在有支杆的结点处，则求结点力时，还应把未知的支杆反力考虑在内。如果用{P}表示结点载荷和支杆反力组成的向量，则结点的平衡方程为根据支承条件对平衡方程加以处理。先考虑结点n有水平支杆的情况。与结点n水平方向对应的平衡方程是第2n-1个方程，根据支承情况，上式应换成，即在[K]中，第2n-1行的对角线元素应改为1，该行全部非对角线元素应改为0。在{P}中，第2n-1个元素应改为0。此外，为了保持矩阵[K]的对称性，则第2n-1列全部非对角线元素也改为0。本文档共70页；当前第63页；编辑于星期六\10点16分2-10支承条件的处理

同理，如果结点n有竖向支杆，则平衡方程的第2n个方程应改为，为此，在矩阵[K]中，第2n行的对角线元素改为1，该行全部非对角线元素改为0，同时，第2n列全部非对角线元素也改为0。在{P}中，第2n个元素改为0。本文档共70页；当前第64页；编辑于星期六\10点16分2-10支承条件的处理2-8节中的结构，结点1有水平支杆，结点2有两个支杆，结点3有竖向支杆。对支承条件处理后，矩阵修改为：本文档共70页；当前第65页；编辑于星期六\10点16分2-10支承条件的处理

最后考虑支点n的水平位移为已知非零值的情况，这时的支承条件为对平衡方程的第2n-1个方程作如下修改：对角线系数乘以一个大数A(例如A=1010)；右边自由项换成；其余各项保持不变，即有实际上，上式中除包含大数A的两项外，其他各项相对地都比较小，可以忽略不计，因此与支承条件等价。对于支点的竖向位