第四章频率域图像增强

第四章频率域图像增强第一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五4.1 背景知识图像变换的目的使图像处理问题简化；有利于图像特征提取；有助于从概念上增强对图像信息的理解；第二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五图像变换的定义将空域中的信号变换到另外一个域，即使用该域中的一组基函数的线性组合来合成任意函数单位正交基函数（相同基函数内积为1，不同基函数的内积为0）使用这组基函数的线性组合得到任意函数f，每个基函数的系数就是f与该基函数的内积图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求：1.正交变换必须是可逆的；2.正变换和反变换的算法不能太复杂；3.正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面第三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五4.2傅里叶变换(一种正交变换)从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域为什么要在频率域研究图像?可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现第四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五图像的频率指什么？图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。

傅里叶变换及其反变换傅里叶变换的性质快速傅里叶变换（FFT）第五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换 一维连续傅里叶变换及反变换

单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为 其中，j

F(u)1f(x)ej

2uxdx给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)f(x)F(u)ej2uxdu第六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换 二维连续傅里叶变换及反变换

二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定义为F(u,v)

f(x,y)ej2uxvydxdy

给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到f(x,y)f(x,y)

F(u,v)ej2uxvydudv第七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换 一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换

单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅里叶变换F(u)定义为

u=0,1,2,…,M-1给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)

x=0,1,2,…,M-1第八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五j傅里叶变换 一维离散傅里叶变换及反变换

从欧拉公式ecosjsinF(u)

1MM1

x0fxej(2ux)/M

1M

1

MM1fxcos(2ux)/Mjsin(2ux)/M

x0

M1

fxcos2ux/Mjsin2ux/M

x0第九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换傅里叶变换的极坐标表示FuFue

ju幅度或频率谱为R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部相角或相位谱为功率谱为第十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换

二维离散傅里叶变换及反变换

图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为F(u,v)

1MNM1N1

x0y0fx,yej2ux/Mvy/Nu=0,1,2,…,M-1,v=0,1,2,…,N-1给出F(u,v),可通过反DFT得到f(x,y),f(x,y)M1N1Fu,ve

u0v0j2ux/Mvy/Nx=0,1,2,…,M-1,y=0,1,2,…,N-1注：u和v是频率变量，x和y是空间或图像变量第十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五图像傅立叶变换的物理意义傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图第十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换二维傅里叶变换的极坐标表示幅度或频率谱为R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部相角或相位谱为功率谱为F(u,v)的原点变换

用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频率坐标下的(M/2，N/2)，它是M×N区域的中心u=0,1,2,…,M-1,v=0,1,2,…,N-1第十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换 F(0,0)表示F0,0

1MNM1N1fx,y

x0y0

这说明：假设f(x,y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换等于图像的平均灰度级直流份量第十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五变换系数矩阵F(u,v)的意义1、若变换矩阵F(u,v)原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近；若所用的二维傅立叶变换矩阵F(u,v)的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一般图像能量集中低频区域。

2、变换之后的图像（频率谱）在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）P123图4.3(b)第十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频谱的频域移中第十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频谱移中的好处对频谱移频到显示屏中心以后，可以看出图像的频率分布是以中心为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到中心的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰

第十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频谱图（频谱的图像显示）的含义f(x,y)D(u,v)第十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五从谱图像中可看出什么？实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上是图像上某一点与邻域点灰度值差异的强弱，即梯度的大小，一般来讲，频谱图上某点的亮度强则意味着梯度大，亮度弱则意味着梯度小。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗点多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。第十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五幅度谱从幅度谱中我们

可以看出明亮线

反映出原始图像

的灰度级变化，

这正是图像的轮

廓边第二十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五幅度谱从幅度谱中我们

可以看出明亮线

和原始图像中对

应的轮廓线是垂

直的。如果原始

图像中有圆形区

域那么幅度谱中

也呈圆形分布第二十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五幅度谱图像中的颗粒状对

应的幅度谱呈环状，

但即使只有一颗颗

粒，其幅度谱的模

式还是这样。第二十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五幅度谱这些图像没有特定

的结构，左上角到

右下角有一条斜线，

它可能是由帽子和

头发之间的边线产

生的两个图像都存在一

些小边界第二十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换的对称性 如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换是共轭对称（实部相等,虚部互为相反数）的，即傅里叶变换的频率谱是偶对称的

Fu,vFu,v第二十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换及其反变换傅里叶变换的性质快速傅里叶变换（FFT）第二十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五3.5.傅里叶变换 二维傅里叶变换的性质1.2.4.6.7.8.9.平移性质分配律尺度变换（缩放）旋转性周期性和共轭对称性平均值可分性卷积相关性第二十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五1.(1)(2)傅里叶变换傅里叶变换对的平移性质以表示函数和其傅里叶变换的对应性

fx,yej2u0x/Mv0y/N

Fuu0,vv0fxx0,yy0Fu,vej2ux0/Mvy0/N公式（1）表明将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置公式（2）表明将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的空域中心移动到新的位置公式（2）表明对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值第二十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五1.xyxy傅里叶变换 傅里叶变换对的平移性质（续）

当u0=M/2且v0=N/2,ej2u0x/Mv0y/Nej(xy)1带入（1）和（2），得到fx,y1FuM/2,vN/2uvfxM/2,yN/2Fu,v1第二十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换2.分配律根据傅里叶变换的定义，可以得到

f1x,yf2x,yf1x,yf2x,y

f1x,yf2x,yf1x,yf2x,y

上述公式表明：傅里叶变换对加法满足分配律，但对乘法则不满足第二十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五3.傅里叶变换 尺度变换（缩放）及线性性

给定2个标量a和b，可以证明对傅里叶变换下列2个公式成立

afx,yaFu,vab1fax,byFu/a,v/ba)ImageA;

b)ImageB;c)0.25*A+0.75*Ba)spectrumA;b)spectrumB;c)0.25*A+0.75*B第三十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换4.旋转性

引入极坐标xrcos,yrsin,ucos,vsin

将f(x,y)和F(u,v)转换为fr,和F,。将它们带入傅里叶变换对得到

fr,0F,0

f(x,y)旋转角度0，F(u,v)也将转过相同 的角度 F(u,v)旋转角度0，f(x,y)也将转过相同 的角度第三十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五旋转性质原图像及其傅里叶变换旋转后图像及其傅里叶变换第三十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五5.傅里叶变换周期性和共轭对称性

Fu,vFuM,vFu,vNFuM,vNfx,yfxM,yfx,yNfxM,yN上述公式表明尽管F(u,v)对无穷多个u和v的值重复出现，但只需根据在任一个周期里的N个值就可以从F(u,v)得到f(x,y)只需一个周期里的变换就可将F(u,v)在频域里完全确定同样的结论对f(x,y)在空域也成立第三十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五5.傅里叶变换周期性和共轭对称性如果f(x,y)是实函数，则它的傅里叶变换具有共轭对称性Fu,vFu,v

Fu,vFu,v其中，F*(u,v)为F(u,v)的复共轭。复习：当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.第三十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五

周期性和共轭对称性举例

对于一维变换F(u)，周期性是指F(u)的周期长度为M，对称性是指频谱关于原点对称

半周期的傅里叶频谱一幅二维图像的傅里叶频谱全周期的傅里叶频谱 中心化的傅里叶频谱第三十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五6.傅里叶变换分离性

当x=0,1,…,M-1，沿着f(x,y)的所有行计算傅里叶变换。沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变换。第三十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五6.傅里叶变换分离性——二维傅里叶变换的全过程先通过沿输入图像的每一行计算一维变换再沿中间结果的每一列计算一维变换可以改变上述顺序，即先列后行上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换第三十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换7.平均值

由二维傅里叶变换的定义Fu,v

1MNM1N1

x0y0fx,yej2ux/Mvy/N所以F0,0

1MNM1N1fx,y

x0y0而fx,y

1MNM1N1fx,y

x0y0 所以

fx,yF0,0

上式说明：如果f(x,y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度级第三十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五1M1N1MN傅里叶变换8.

卷积理论大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散卷积fx,yhx,yfm,nhxm,ynm0n0卷积定理

fx,yhx,yFu,vHu,v

fx,yhx,yFu,vHu,v第三十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五1M1N1*MN*傅里叶变换9.

相关性理论大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的相关性定义为

fx,y。hx,yfm,nhxm,ynm0n0f*表示f的复共轭。对于实函数，f*＝f相关定理

fx,y。hx,yF*u,vHu,vfx,yhx,yFu,v。Hu,v第四十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换自相关理论注：复数和它的复共轭的乘积是复数模的平方第四十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换卷积和相关性理论总结

卷积是空间域过滤和频率域过滤之间的纽带相关的重要应用在于匹配：确定是否有感兴趣的物体区域f(x,y)是原始图像h(x,y)作为感兴趣的物体或区域（模板）如果匹配，两个函数的相关值会在h找到f中相应点的位置上达到最大第四十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五相关性匹配举例延拓图像f(x,y) 相关函数图像图像f(x,y)模板h(x,y)延拓图像h(x,y) 通过相关图像最大 值的水平灰度剖面图第四十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换及其反变换傅里叶变换的性质快速傅里叶变换(FFT)

只考虑一维的情况，根据傅里叶变换的分离性可知，二维傅里叶变换可由连续2次一维傅里叶变换得到第四十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五1M1Mx0快速傅里叶变换(FFT) 为什么需要快速傅里叶变换？Fufxej2ux/Mu0,1,2,...,M1对u的M个值中的每一个都需进行M次复数乘法(将f(x)与ej2ux/M相乘)和M-1次加法，即复数乘法和加法的次数都正比于M2

快速傅里叶变换(FFT)则只需要Mlog2M次运算FFT算法与原始变换算法的计算量之比是log2M/M，如M=1024≈103,则原始变换算法需要106次计算，而FFT需要104次计算，FFT与原始变换算法之比是1：100第四十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五FuFevenuFodduW2uk12快速傅里叶变换(FFT) FFT算法基本思想

FFT算法基于一个叫做逐次加倍的方法。通 过推导将原始傅里叶转换成两个递推公式Fu

1MM1

x0fxej2ux/Mu0,1,2,...,M112FuKFevenuFodduW2uk第四十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五FuFevenuFodduW2ukFuKFevenuFodduW2uk快速傅里叶变换(FFT)

FFT算法基本思想12u0,1,2,...,M1

1 2其中：M=2K Feven(u)、Fodd(u)是K个点的傅里叶值第四十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五1M1Mx0ux快速傅里叶变换(FFT)

FFT公式推导 FFT算法基于一个叫做逐次加倍的方法。为 方便起见用下式表达离散傅立叶变换公式

Fufxej2ux/M

1MM1

x0fxWM这里WMej2/M是一个常数第四十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五K11K11K1u2x1u2x2Kx0Kx0快速傅里叶变换(FFT)假设M的形式是

M2nn为正整数。因此，M可以表示为

M2K将M=2K带入上式Fu

12K2K1

x0fxW2uxf2xW2Kf2x1W2K第四十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五uxux11K11K1uxuux2Kx0Kx0快速傅里叶变换(FFT)推导：因为WMej2/M所以W22Kej2(2ux)/2Kej2(ux)/KWK带入上式有Fuf2xWKf2x1WKW2K第五十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五1K1uxKx01K1uxKx0

快速傅里叶变换(FFT)定义两个符号Fevenuf2xWKFodduf2x1WKu0,1,2,...,K1第五十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五FuFevenuFodduW2K快速傅里叶变换(FFT)得到FFT的第一个公式1u2该公式说明F(u)可以通过奇部和偶部之和来计算第五十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五u2uuuW1快速傅里叶变换(FFT)推导：WKKej2(uK)/K

ej2u/Kej2WKej2WK1WK

uK2Kej2uK/2Kej2u/2KejW2uKej1W2uK1W2uK第五十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五uK111K1uK2x1uK2x12Kx0Kx02KuKxu11K11K1uxux2Kx0Kx0FevenuFodduW2uK快速傅里叶变换(FFT)FuK

12K12Kx0fxW2KKxf2xW2Kf2x1W2K

11K1

x0f2xWK

1KK1x0f2x1WKuKxW2KKf2xWKf2x1WKW2uK

1 2第五十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五FuKFevenuFodduW2uK快速傅里叶变换(FFT)得到FFT的第二个公式12该公式说明F(u＋K)可以通过奇部和偶部之差来计算第五十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五FuFevenuFodduW2KFuKFevenuFodduW2uK快速傅里叶变换(FFT)最后得到FFT的二个公式1u212第五十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五快速傅里叶变换(FFT)分析这些表达式得到如下一些有趣的特性：

一个M个点的变换，能够通过将原始表达式分成两个部分来计算通过计算两个（M/2）个点的变换。得Feven(u)和Fodd(u)奇部与偶部之和得到F(u)的前(M/2)个值奇部与偶部之差得到F(u)的后(M/2)个值。且不需要额外的变换计算第五十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五快速傅里叶变换(FFT)归纳快速傅立叶变换的思想：（1）通过计算两个单点的DFT，来计算两个点的DFT，（2）通过计算两个双点的DFT，来计算四个点的DFT，…，以此类推（3）对于任何N=2m的DFT的计算，通过计算两个N/2点的DFT，来计算N个点的DFT第五十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五快速傅里叶变换(FFT)FFT算法基本思想FFT算法举例：设：有函数f(x)，其N=23=8,有：{f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6),f(7)}计算：{F(0),F(1),F(2),F(3),F(4),F(5),F(6),F(7)}第五十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五快速傅里叶变换(FFT)FFT算法举例首先分成奇偶两组：有：{f(0),f(2),f(4),f(6)}{f(1),f(3),f(5),f(7)}为了利用递推特性，再分成两组：有：{f(0),f(4)}，{f(2),f(6)}{f(1),f(5)}，{f(3),f(7)}第六十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五快速傅里叶变换(FFT)FFT算法实现对输入数据的排序可根据一个简单的位对换规则进行如用x表示f(x)的1个自变量值，那么它排序后对应的值可通过把x表示成二进制数并对换各位得到例如N=23,f(6)排序后为f(3),因为6＝1102而0112＝3

把输入数据进行了重新排序，则输出结果是正确的次序。反之不把输入数据进行排序，则输出结果需要重新排序才能得到正确的次序第六十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五快速傅里叶变换(FFT) FFT算法实现 地址的排序：——按位倒序规则 例如：N=23=8原地址 000 001 010 011 100 101 110 111原顺序 f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) f(6) f(7)新地址 000 100 010 110 001 101 011 111新顺序 f(0) f(4) f(2) f(6) f(1) f(5) f(3) f(7)第六十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五快速傅里叶变换(FFT)

FFT算法实现——几个关键点2）计算顺序及地址增量：2nn=0,1,2…地址+1 f(0) f(4) f(2) f(6) f(1) f(5) f(3) f(7)地址+2 F2(0) F2(4) F2(2) F2(6) F4(1) F2(5) F2(3) F2(7)地址+4 F4(0) F4(4) F4(2) F4(6) F4(1) F4(5) F4(3) F4(7)第六十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域图像增强F0,0

1MNM1N1_fx,yfx,y

x0y0变化最慢的频率成分(u=v=0)对应一幅图像的平均灰度级傅里叶变换的频率分量和图像空间特征之间的联系第六十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域滤波傅里叶变换的频率分量和图像空间特征之间的联系（续）当从变换的原点移开时，低频对应着图像的慢变化分量，如图像的平滑部分

进一步离开原点时，较高的频率对应图像中变化越来越快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐部分第六十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域滤波频率域滤波的基本步骤

思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像变换，然后通过取结果的反变换来获得处理后的输出图像第六十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五1.xy2.3.4.5.频率域滤波 频率域的滤波步骤

用(-1)x+y乘以输入图像进行中心变换fx,y1FuM/2,vN/2变换到频域频域滤波:变换到空间域取实部:取消输入图像的乘数Matlabfunction:Fc=fftshift(fft2(f))第六十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域滤波频率域滤波

Gu,vHu,vFu,vH和F的相乘在逐元素的基础上定义，即H的第一个元素乘以F的第一个元素，H的第二个元素乘以F的第二个元素一般，F的元素为复数，H的元素为实数H为零相移滤波器，因为滤波器不改变变换的相位.P125第六十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域滤波一些基本的滤波器：如何作用于图像？陷波滤波器低通（平滑）滤波器高通（锐化）滤波器第六十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五0频率域滤波陷波滤波器(u,v)=(M/2,N/2)Hu,v1其它设置F(0,0)=0(结果图像的平均值为零)，而保留其它傅里叶变换的频率成分不变除了原点处有凹陷外，其它均是常量函数由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低用于识别由特定的、局部化频域成分引起的空间图像效果第七十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五陷波滤波器举例陷波滤波器由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低第七十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域滤波低通滤波器：使低频通过而使高频衰减的滤波器被低通滤波的图像比原始图像少尖锐的细节部分而突出平滑过渡部分对比空间域滤波的平滑处理，如均值滤波器高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑过渡而突出边缘等细节部分对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子第七十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五低通滤波器和高通滤波器举例原图低通滤波函数 高通滤波函数低通滤波结果：模糊 高通滤波结果：锐化第七十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五低通滤波器和高通滤波器举例原图高通滤波结果高通滤波改进结果

因为F(0,0)已被设置为0，所以几乎没有平滑的灰度级细节，且图像较暗 在高通滤波器中加入常量，以使F(0,0)不被完全消除，如图所示，对滤波器加上一个滤波器高度一半的常数加以改进（高频加强）第七十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五1M1N1MNm0n0频率域滤波

空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系 大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离 散卷积表示为f(x,y)*h(x,y)，定义为fx,yhx,yfm,nhxm,yn对比空间域滤波：在M×N的图像f上，用m×n的滤波器进行线性滤波

ab

gx,yws,tfxs,yt

satb第七十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域滤波卷积定理

fx,yhx,yFu,vHu,v

上式说明空间域卷积可以通过F(u,v)H(u,v) 的乘积进行反傅里叶变换得到

fx,yhx,yFu,vHu,v

说明空间域乘法可以通过频率域的卷积获得 上述两个公式主要为两个函数逐元素相乘的 乘法第七十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域滤波定义：在(x0,

y0)，强度为A的冲激函数表示为Axx0,yy0,定义为M1N1sx,yAxx0,yy0

Asx0

,y0x0y0x

,y

是冲激函数说明：sx,y只在(x0,

y0)处有为A的图像值，其它处的值全为0第七十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五1M1N1MNx0y0e频率域滤波

下式表明在原点处(0,0)的单位冲激情况，用

x,y表示

M1N1

sx,yx,ys0,0

x0y0

根据上式，原点处(0,0)单位冲激的傅里叶变换x,yx,yej2(ux/Mvy/N

)

10MN

1MN第七十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五MN1频率域滤波

假设fx,yx,y，根据上式计算原点处 (0,0)空间域的卷积x,yhx,yM1N1m,nhxm,ynm0n0

1MNhx0,y0

1MNhx,y结论

fx,yhx,yFu,vHu,vx,yhx,yx,yHu,v

hx,yHu,v第七十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域滤波hx,yHu,v上述公式表明，空间域和频率域中的滤波器组成了傅里叶变换对给出在频率域的滤波器，可以通过反傅里叶变换得到在空间域对应的滤波器，反之亦然滤波在频率域中更为直观，但在空间域一般使用更小的滤波器模板

可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为在空间域构建小滤波器模板的指导第八十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域滤波

高斯频率域低通滤波器函数

对应空间域高斯低通滤波器为

高斯频率域高通滤波器函数AB,1

2对应空间域高斯高通滤波器为第八十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域滤波频率域高斯低通滤波器空间域高斯低通滤波器频率域高斯高通滤波器 空间域高斯高通滤波器第八十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域滤波结论（低通滤波器）当H(u)有很宽的轮廓时(大的值)，h(x)有很窄的轮廓，反之亦然。当接近无限时，H(u)趋于常量函数，而h(x)趋于冲激函数两个低通滤波器的相似之处在于两个域中的值均为正。所以，在空间域使用带正系数的模板可以实现低通滤波频率域低通滤波器越窄，滤除的低频成分就越多，使得图像就越模糊；在空间域，这意味着低通滤波器就越宽，模板就越大第八十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域滤波结论（高通滤波器）空间域滤波器有正值和负值，一旦值变为负数，就再也不会变为正数为什么频率域中的内容在空间域要使用小空间模板频率域可以凭直观指定滤波器空间域滤波效果取决于空间模板的大小第八十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五4.3频率域平滑图像的平滑除了在空间域中进行外，也可以在频率域中进行。由于噪声主要集中在高频部分，为去除噪声改善图像质量，滤波器采用低通滤波器H(u,v)来抑制高频成分，通过低频成分，然后再进行逆傅立叶变换获得滤波图像，就可达到平滑图像的目的 常用的频率域平滑滤波器有3种: 理想低通滤波器 巴特沃思低通滤波器 高斯低通滤波器第八十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域图像增强频率域平滑滤波器边缘和噪声等尖锐变化处于傅里叶变换的高频部分平滑可以通过衰减高频成分的范围来实现理想低通滤波器：尖锐巴特沃思低通滤波器：处于理想和高斯滤波器之间高斯低通滤波器：平滑第八十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五1频率域图像增强 理想低通滤波器

截断傅里叶变换中的所有高频成分，这些高 频成分处于指定距离D0之外Hu,v 0Du,vD0Du,vD0

频率矩形的中心在(u,v)=(M/2,N/2)，从点(u,v)到中心（原点）的距离如下第八十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域图像增强理想低通滤波器说明：在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤波器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉第八十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五其中理想低通滤波器

总图像功率值PT

M1N1

PTPu,v

u0v0

PTu,vF

u,v2

R2u,vI2

u,v

原点在频率矩形的中心，半径为r的圆包含%的功率频率域图像增强第八十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五理想低通滤波器举例500×500像素的原图图像的傅里叶频谱圆环具有半径5,15,30,80和230个像素图像功率为92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%第九十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五理想低通滤波器举例——具有振铃现象

结论：半径D0越小，模糊越大；半径D0越大，模糊越小

半径是5的理想低通滤波

原图半径是15的理想低通滤波滤除8%的总功率，模糊说明多数尖锐细节在这8%的功率之内

半径是30的理想低通滤波 滤除3.6%的总功率滤除5.4%的总功率

半径是230的理想低通滤波半径是80的理想低通滤波滤除2%的总功率滤除0.5%的总功率，与原图接近说明边缘信息在0.5%以上的功率中第九十一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五

频率域图像增强频率域函数H(u，v)模糊且半径为5的ILPF 对应空间域h(x,y)f(x,y)由黑色背景中心开始的圆环周期下5个明亮的像素组成，明亮点可看作冲激 f(x,y)*h(x,y),在每 个冲激处复制h(x,y) 的过程，振铃现象第九十二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五2n频率域图像增强 巴特沃思低通滤波器

n级巴特沃思低通滤波器(BLPF)定义如下Hu,v

11Du,v/D0

D0为截至频率距原点的距离，D(u,v)是点(u,v)距原点的距离 当D(u,v)=D0时，H(u,v)=0.5(最大值是1，当D(u,v)=0)它的特性是连续性衰减，而不象理想滤波器那样陡峭变化，即明显的不连续性。因此采用该滤波器滤波在抑制噪声的同时，图像边缘的模糊程度大大减小，没有振铃效应产生第九十三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五巴特沃思低通滤波器透视图滤波器阶数从1到4的滤波器横截面应用：可用于平滑处理，如图像由于量化不足产生虚假轮廓时，常可用低通滤波进行平滑以改进图像质量。通常，BLPF的平滑效果好于ILPF（振铃现象）。第九十四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五巴特沃思低通滤波器n2

原图半径是15的BLPF滤波半径是80的BLPF滤波半径是5的BLPF滤波半径是30的BLPF滤波半径是230的BLPF滤波第九十五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五

ILPF巴特沃思低通滤波器

所有的滤波器都有半径为5的截至频率D0阶数n=1阶数n=2阶数n=5阶数n=20无振铃和负值轻微振铃和负值明显振铃和负值与ILPF相似注：二阶BLPF处于有效低通滤波和可接受的振铃特征之间第九十六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五D2u,v

/22D2u,v

/2D02频率域图像增强高斯低通滤波器二维高斯低通滤波器(GLPF)定义如下Hu,veD(u,v)是点(u,v)距原点的距离，使D0Hu,ve当D(u,v)=D0时，滤波器下降到它最大值的0.607处第九十七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五高斯低通滤波器透视图滤波器各种D0值的滤波器横截面采用该滤波器滤波在抑制噪声的同时，图像边缘的模糊程度较用Butterworth滤波产生的大些，无明显的振铃效应第九十八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五高斯低通滤波器

原图半径是15的GLPF滤波半径是80的GLPF滤波半径是5的GLPF滤波半径是30的GLPF滤波 半径是230的GLPF滤波第九十九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域图像增强结论 GLPF不能达到有相同截止频率的二阶 BLPF的平滑效果 GLPF没有振铃 如果需要严格控制低频和高频之间截 至频率的过渡，选用BLPF，代价是可能 产生振铃第一百页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域图像增强低通滤波器的应用实例：模糊,平滑等字符识别：通过模糊图像，桥接断裂字符的裂缝

印刷和出版业：从一幅尖锐的原始图像产生平滑、柔和的外观，如人脸，减少皮肤细纹的锐化程度和小斑点

处理卫星和航空图像：尽可能模糊细节，而保留大的可识别特征。低通滤波通过消除不重要的特征来简化感兴趣特征的分析第一百零一页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五字符识别举例如打印、传真、复印文本等，字符失真、字符断裂等D0=80的高斯低通滤波器修复字符用于机器识别系统识别断裂字符的预处理第一百零二页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五人脸图像处理原图像D0=100的GLPF滤波,细纹减少D0=80的GLPF滤波，细纹减少第一百零三页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五人脸图像处理原图像D0=30的GLPF滤波D0=10的GLPF滤波，目的：尽可能模糊细节，而保留大的可识别特征第一百零四页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五4.4频率域锐化图像的边缘、细节主要位于高频部分，而图像的模糊是由于高频成分比较弱产生的。频率域锐化就是为了消除模糊，突出边缘。因此采用高通滤波器让高频成分通过，使低频成分削弱，再经逆傅立叶变换得到边缘锐化的图像第一百零五页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域图像增强频率域锐化滤波器理想高通滤波器巴特沃思高通滤波器高斯高通滤波器频率域的拉普拉斯算子钝化模板、高频提升滤波和高频加强滤波第一百零六页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域锐化滤波器透视图图像表示横截面

理想高通滤波器 巴特沃思高通滤波器 高斯高通滤波器巴特沃思滤波器为理想滤波器的尖锐化和高斯滤波器的完全光滑之间的一种过渡第一百零七页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五频率域锐化滤波器理想高通滤波器巴特沃思高通滤波器高斯高通滤波器第一百零八页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五Hu,v频率域图像增强 理想高通滤波器

截断傅里叶变换中的所有低频成分，这些低 频成分处于指定距离D0之内

0Du,vD0

1Du,vD0

频率矩形的中心在(u,v)=(M/2,N/2)，从点 (u,v)到中心（原点）的距离如下第一百零九页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五理想高通滤波器图a：D0=15图b：D0=30图c：D0=80结论：图a和b的振铃问题十分明显第一百一十页，共一百二十六页，编辑于2023年，星期五2n11Du,v/D0频率域图像增强 巴特沃思高通滤波器

n阶且截至频率距原点的距离为D0的巴特沃 思高通滤波器(BHPF)定义为推导Hu,v

11D