第四章 控制系统的时域分析

第四章控制系统的时域分析第一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五系统时间响应的基本概念；一阶、二阶系统时间响应分析；高阶系统的时间响应及主导极点的概念；瞬态响应的性能指标；系统误差分析。2第二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五

1时间响应以及典型输入信号

Back1.1时间响应的组成1.

时间响应的一般形式零输入响应零状态响应自由响应强迫响应系统在输入信号作用下其输出随时间变化的规律,称为系统的时间响应,它也是系统动力学微分方程的解.3第三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五2.

有关概念按振动形式，时域响应可分为：自由响应：由系统结构、参数所决定的输出强迫响应：由外加输入所决定的输出按输入形式，时域响应可分为：零输入响应：无外加输入时系统初态引起的输出零状态响应：系统初态为零仅由外加输入引起的输出

按响应形态，时域响应可分为：瞬态响应:在输入作用下系统输出从初始状态到稳定状态的响应过程.稳态响应:在输入作用下系统在时间趋于无穷大时的输出.4第四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五系统的时间响应都是由瞬态响应和稳态响应两部分组成瞬态响应:系统受到外加激励作用后，从初始状态到最后状态的响应过程。稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态。5第五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五1.

阶跃信号1.2典型输入信号卸载加载A=1时称为单位阶跃信号6第六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五2正弦信号7第七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五3脉冲信号单位脉冲信号

(t)

8第八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五4等速、等加速及随机信号干扰、电压不稳、风载荷随机信号等速(单位斜坡A=1)信号等加速(单位抛物线A=1)信号Back9第九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五2.脉冲响应函数（权函数）脉冲响应函数系统在单位脉冲激励（输入）时所产生的响应（输出），它描述了时域中系统输入输出的动态因果关系。10第十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五若系统的输入为单位阶跃函数，因为单位阶跃函数是单位脉冲函数的积分，即则根据传递函数的定义和拉氏变换积分定理可得即得上式表明，系统对输入信号积分的响应，等于对该输入信号响应的积分，同样系统对输入信号微分的响应，等于系统对输入信号响应的微分。该结论仅适用于线性定常系统，不适于非线性或线性时变系统11第十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五3.任意输入作用下系统的时间响应12第十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五例4.1系统的脉冲响应函数为，系统的输入如图所示，求系统的输出13第十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五4.2一阶系统的时间响应1.一阶系统的数学模型14第十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五2一阶系统的瞬态响应2.1一阶系统的形式闭环极点(特征根)：-1/T用一阶微分方程就可描述完全的系统称为一阶系统15第十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五(t0)2.2一阶系统的单位阶跃响应1数学表达式系统输入稳态分量暂态分量16第十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五(t0)随时间增长，稳态误差趋于02响应曲线17第十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五3有关性质

T

暂态分量瞬态响应时间极点距虚轴距离；

T

暂态分量瞬态响应时间极点距虚轴距离(t0)1)阶跃响应的质量取决于特征参数T.2）响应曲线的斜率:反映了信号加入瞬间系统对输入的反应速度。18第十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五t=Txo(t)=63.2%实验法求Tt=3Txo

(t)=95%允许误差5%

调整时间

ts=3Tt=4Txo(t)=98.2%允许误差2%

调整时间

ts=4T3）调整时间（信号加入到输出稳定所需时间）ts

调整时间也称为过渡过程时间，理论上应为无穷大，工程上按响应值在一定范围内变化进行定义。19第十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五(t0)2.3一阶系统的单位斜坡响应1数学表达式系统输入20第二十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五稳态误差=T

经过足够长的时间(≥4T)，输出增长速率近似与输入相同；输出相对于输入滞后时间T.2斜坡响应性质21第二十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五(t0)(只包含瞬态分量)2.4一阶系统的单位脉冲响应22第二十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五(对于一阶系统)输入信号微分系统响应的微分输入信号积分系统响应的积分

线性定常系统的一个性质23第二十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五4.3二阶系统的时间响应

1.系统的数学模型二阶系统是用二阶微分方程描述的系统，如图所示的弹簧－质量－阻尼系统，x(t)为输入作用力，y(t)输出位移。微分方程为：系统的传递函数为24第二十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五为使研究结果具有普遍意义引入新的参变量：式中：为无阻尼自然频率；为阻尼比系统的特征方程为：特征根为：Bc为临界阻尼系数25第二十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五引入新变量后，系统传递函数可改写为其方块图和简化图如下：为系统增益为典型二阶系统的传递函数26第二十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五2.二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的特征方程为:特征根为：根据阻尼比的不同取值，对特征根和阶跃响应分下面几种情况（1）欠阻尼情况：（2）零阻尼情况：（3）临界阻尼情况：（4）过阻尼情况：27第二十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五（1）欠阻尼情况，特征根为一对共轭复根式中：为阻尼自然频率，其极点分布如图当输入为阶跃函数，即：拉氏反变换得：28第二十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五(t0)称n为衰减系数无稳态误差；含有衰减的复指数振荡项,其振幅衰减的快慢由ξ和ωn决定,振荡幅值随ξ减小而加大;ωd和可由传递函数的极点来确定.特点:29第二十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五无稳态误差；含有衰减的复指数振荡项,其振幅衰减的快慢由ξ和ωn决定,振荡幅值随ξ减小而加大;ωd和可由传递函数的极点来确定.特点:30第三十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五（2）零阻尼情况，特征根为一对共轭虚根，此时：系统对单位阶跃信号的响应为系统以无阻尼自然频率作等幅振荡31第三十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五（3）临界阻尼情况，特征根两相等负实根此时拉氏反变换得此时，系统达到衰减振荡的极限而不再振荡32第三十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五（4）过阻尼情况其中特征根两不相等的负实根：33第三十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五二阶系统在不同阻尼比情况下对单位阶跃信号的时间响应曲线34第三十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五5负阻尼(ξ<0)情况

-1<ξ<0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。ξ<-1振荡发散单调发散35第三十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五6几点结论1）二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性：ξ<0阶跃响应发散，系统不稳定；ξ=0等幅振荡0<ξ<1振荡，ξ愈小，振荡愈严重，但响应愈快ξ≥1无振荡、无超调，过渡过程长36第三十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五2）ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。37第三十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五3）工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4-0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。Back38第三十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五1脉冲响应的数学表达式输入(与有关)3.二阶系统的单位脉冲响应39第三十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五2脉冲响应与阻尼关系过阻尼：>1欠阻尼：0<<1无阻尼：=0临界阻尼：=1Back40第四十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五4斜坡响应过阻尼：

>1(t0)欠阻尼：0<<1临界阻尼：

=1无阻尼：=0Back41第四十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五4.4高阶系统的时间响应一般情况，我们把三阶及三阶以上的系统称为高阶系统，对于高阶系统不易得到时间响应的表达式，主要定性分析极点对系统性能的影响，1.高阶系统的阶跃响应设高阶系统的闭环传递函数可写成如下形式式中：是系统闭环零点，是系统闭环极点，是增益。42第四十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五二阶因子引起的阻尼振荡一阶因子引起的非周期指数衰减三阶系统的瞬态响应43第四十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五其中：44第四十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五1）当=，系统即为二阶系统响应曲线；2）附加一个实数极点（0<<），原二阶系统的单位阶跃响应： 超调量上升时间峰值时间45第四十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五3)>1,

即1/T>n

呈二阶系统特性；

实数极点P3距离虚轴远；共轭复数极点p1、p2距离虚轴近;

特性主要取决于p1、p2。

4)<1,即1/T<n

呈一阶系统特性；

实数极点P3距离虚轴近；共轭复数极点p1、p2距离虚轴远;

特性主要取决于p3。Back46第四十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五式中：和是与系统参数有关的常数设在系统所有闭环极点中，包含q个实数极点和r对共轭复数极点则系统对单位阶跃信号的响应为:47第四十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五3）极点的性质决定瞬态分量的类型；

实数极点非周期瞬态分量；共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。2）如果所有闭环极点都在s平面的左半平面，则随着时间t→∞，c(∞)=a，系统是稳定的。有以下几点结论48第四十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五2.闭环主导极点

闭环主导极点是指在系统所有闭环极点中，距离虚轴最近且周围没有闭环零点的极点，而所有其它极点都远离虚轴，闭环主导极点对系统的响应起主导作用，而其它极点的影响在分析中可以忽略。若系统具有一对共轭复数主导极点而其余闭环零、极点都相对的远离虚轴，由顶端式子可以看出，距离虚轴远的非主导极点，响应的动态分量衰减的较快，对系统的过渡过程影响不大，而主导极点对应的动态分量衰减最慢，对过渡过程起主导作用。因此对于高阶系统可以用一对共轭复数主导极点确定的二阶系统的时间响应来近似。49第四十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五例4.2利用matlab分析下面三个系统单位阶跃响应。50第五十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五可以看出与阶跃响应基本相同，这是由于在系统中复极点要比实极点更靠近虚轴，且实极点远离虚轴，因此的主导极点为复极点，其响应近似为二阶系统。而对于，其实极点更靠近虚轴，所以为主导极点，其响应近似为一阶系统51第五十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五52第五十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五4.4瞬态响应的性能指标一般对机械工程系统有三个方面的性能要求，即稳定性、快速性和准确性。准确性用误差来衡量，而系统的瞬态响应则反应了系统本身的动态性能，表征了相对稳定性和快速性1.瞬态响应的性能指标通常，在下面两个假设下定义系统的瞬态响应的性能指标（1）系统在单位阶跃信号（工作状况较恶劣）作用下的瞬态响应；（2）初始条件为零，即在阶跃信号作用前，系统处于静止状态，输出量及各阶导数均为零。53第五十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五瞬态响应的性能指标：(1)延迟时间td：单位阶跃响应第一次达到其稳态值的50％所需时间；(2)上升时间tr：单位阶跃响应第一次从稳态值的10％上升到90％（过阻尼情况），或从0上升到100％（欠阻尼情况）所需时间;(3)峰值时间tp：单位阶跃响应超过其稳态值而达到第一个峰值所需时间；54第五十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五(4)超调量Mp：单位阶跃响应第一次超过稳态值

而达到的峰值时，对稳态值的偏差与稳态值之比，即：在上述指标中，Mp，

ts表征了系统的相对稳定性；

td，

tr，tp表征了系统的快速性。(5)调整时间ts：单位阶跃响应与稳态值之差进入允许的误差范围所需的时间。允许误差通常取5％或2％。55第五十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五2.二阶系统的瞬态响应的性能指标（1）上升时间tr，当t＝tr时，，即因为，所以令且根据tr的定义，得：即上升时间：针对典型二阶欠阻尼系统56第五十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五（2）峰值时间tp输出达到峰值时，阶跃响应的导数为零，即解得：因为是第一次超调时间，故：57第五十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五（3）超调量Mp由超调量的定义：58第五十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五（4）调整时间ts：调整时间ts的表达式难以确切求出，用近似的方法，对于欠阻尼系统：瞬态响应为衰减振荡，曲线是该瞬态响应的包络线。59第五十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五如图所示：设允许误差范围为由调整时间的定义得：即两边取自然对数，整理得：可近似为故60第六十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五无阻尼自然频率和阻尼比对系统性能指标影响如下：61第六十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五无阻尼自然频率和阻尼比对系统性能指标影响如下62第六十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五当时，，都比较小，故称为最佳阻尼比。分析设计二阶系统时，通常先根据要求的超调量确定，然后通过调整使其达到快速性。无阻尼自然频率和阻尼比对系统性能指标影响如下63第六十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五例4.3设系统如图所示，其中当有一单位阶跃输入时，求最大超调量Mp，上升时间tr，峰值时间tp和调整时间ts解：（1）（2）其中得64第六十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五（3）（4）误差范围取5％时，误差范围取2％时，65第六十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五例4.4如图所示系统，在质量块m上施加F＝3N的阶跃力后，时间响应x（t）如图所示。根据响应曲线，确定质量m，粘性阻尼系数B和弹簧刚度系数k。66第六十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五解：（1）列写传递函数（2）求k由拉氏变化的终值定理：由图可知：所以67第六十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五可得：由传递函数可知：所以可得：（3）求m和B两边取对数得：68第六十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五例4.5有一位置随动系统，其方块图如下所示，当输入单位阶跃时，要求（1）校核该系统的各参数是否满足要求；（2）在原系统中增加一微分负反馈，求满足要求的负反馈时间系数。69第六十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五解：（1）系统的闭环传递函数为：可以看出此二阶系统的故：该系统不满足设计要求。70第七十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五为了满足系统超调量要求（）计算得，而系统，所以有故由本题可以看出，加入了负反馈后相当于增大了阻尼比，改善了系统的相对稳定性，减小了超调量，而没有改变系统的无阻尼自然频率（2）加上负反馈后71第七十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五3.零点对二阶系统瞬态响应的影响当典型二阶系统含有零点时，系统的瞬态响应不仅与极点分布有关，还与零点和极点的相对位置有关。72第七十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五典型含零点的欠阻尼二阶系统的传递函数为：该系统在典型二阶系统上增加了一个零点，上式可改写为则其单位阶跃响应为：其中为典型二阶系统的单位阶跃响应。显然此时系统的响应不仅与而且与的变化率有关。73第七十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五例4.6一位置伺服系统，为了提高系统阻尼分别在前向通道和反馈通道采用比例微分控制器，试分别求：各系统的阻尼比、无阻尼自然频率、单位脉冲响应的超调量、峰值时间和调整时间。74第七十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五解：(1)由图（a）可得系统闭环传递函数则：75第七十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五(2)由图（b）可得系统闭环传递函数则：76第七十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五(3)由图（c）可得系统闭环传递函数当输入为单位阶跃函数时由前面所述：77第七十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五则：令得所以78第七十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五G2(s)G1(s)G3(s)79第七十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五例4.7已知二阶系统传递函数为试分别用matlab求其阶跃响应，并分析零点的影响。80第八十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五可以看出零点对系统响应的影响有：（1）超调量增大，上升时间和峰值时间减小；（2）附加零点越靠近虚轴对系统影响越大；（3）附加零点离虚轴很大时，其影响可以忽略。81第八十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五4.6系统误差分析系统在输入信号作用下，时间响应的瞬态分量反应了系统的动态性能，而稳态分量的值的反应了系统的准确性。82第八十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五(1)误差的定义控制系统误差信号：用输入信号和反馈信号的差来定义系统的误差，它直接或间接的反应了系统输出希望值和实际值之差，从而反映精度。1.误差和稳态误差的概念单位反馈系统的误差信号：83第八十三页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五(2）稳态误差控制系统误差信号：误差和输入之间的传递函数：误差的时间响应：系统输出信号：84第八十四页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五1.瞬态误差e(t)反应了输入输出之间的误差随时间变化的函数关系，即为瞬态误差。2.稳态误差时间趋于无穷大时，误差的时间响应e(t)的输出值ess:根据终值定理，稳态误差：系统的误差分为瞬态误差和稳态误差：85第八十五页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五2.系统稳态误差分析(1)影响稳态误差的因素系统的开环传递函数：K为开环增益，sl表示系统在原点处有l重极点，也就是说系统开环传递函数有l个积分环节，按系统拥有积分环节的个数将系统进行分类：l=0，无积分环节，称为0型系统；l=1，有一个积分环节，称为I型系统；l=2，有两个积分环节，称为II型系统。注意：系统的类型和系统的阶次是两个不同的概念86第八十六页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五系统开环传递函数可以改写为：式中：可以看出稳态误差与系统的类型、开环增益以及输入信号有关，而与时间常数无关。87第八十七页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五稳态误差系数

单位抛物线输入静态加速度误差系数

单位斜坡输入静态速度误差系数单位阶跃输入静态位置误差系数1定义88第八十八页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五

0型系统的稳态偏差有差系统V=089第八十九页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五

I型系统的稳态偏差一阶有差系统V=190第九十页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五

II型系统的稳态偏差二阶有差系统V=291第九十一页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五

稳态偏差系数和稳态偏差系统在控制信号作用下误误误误误

减小和消除稳态误差方法提高系统的开环增益增加开环传递函数中积分环节(但受到系统稳定性的制约)92第九十二页，共一百零一页，编辑于2023年，星期五说明尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加(见例1、