高中总复习第一轮数学(新)第五章向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第五章平面向量网络体系总览考点目标定位1.向量、向量的加法与减法、实数与向量的积。2.平面向量的坐标表示、线段的定比分点.3.平面向量的数量积、平面两点间的距离、平移公式.4.正弦定理、余弦定理、斜三角形的解法。复习略指南向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强。从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用。随着新教材的逐步推广、使用,“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律。本单元试题的常见类型有:(1）与“定比分点”有关的试题；（2）平面向量的加减法运算及其几何意义;（3)平面向量的数量积及运算律,平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题;（4）正、余弦定理的应用.复习本章时要注意：(1）向量具有大小和方向两个要素。用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系,同向且等长的有向线段都表示同一向量.(2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.(3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量。向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角,判断相应的两条直线是否垂直。(4)向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.（5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.(6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点,复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.5。1向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积巩固·夯实基础一、自主梳理1.平面向量的有关概念(1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法:用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a,b,…或用,,…表示.(3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a｜或||。(4）零向量：长度为零的向量叫做零向量,记作0；零向量的方向不确定。(5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6)共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线。(7)相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2。向量的加法（1)定义:求两个向量和的运算，叫做向量的加法.(2)法则：三角形法则、平行四边形法则。（3)运算律：a+b=b+a；(a+b）+c=a+(b+c).3.向量的减法（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。（2）法则：三角形法则、平行四边形法则.4.实数与向量的积(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa,规定：｜λa|=|λ｜|a｜。当λ〉0时,λa的方向与a的方向相同;当λ〈0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时,λa与a平行.(2）运算律:λ(μa）=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b）=λa+λb。5。两个重要定理(1)向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.(2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且仅有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.二、点击双基1.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=3,则b等于（)A.(-3,6)B。（3,—6)C.(6,-3)D.(—6，3）解析：易知a与b方向相反,可设b=（λ，—2λ）（λ＜0＝.又｜b｜=3=,解之得λ=—3或λ=3(舍去）。∴b=（-3，6).答案：A2.（理)已知向量a=（3,4)，b=（sinα，cosα），且a∥b,则tanα等于（)A。B。-C。D。-解析：由a∥b,∴3cosα=4sinα。∴tanα=.答案：A(文）下列算式中不正确的是（）A.++=0B。-=C.0·=0D。λ（ωa)=(λω）a解析：—=,故B错误。答案:B3.点O是△ABC所在平面内的一点,满足·=··，则点O是△ABC的（）A。三个内角的平分线的交点B。三条边的垂直平分线的交点C。三条中线的交点D。三条高的交点解析：由·=·，可得·=0，即⊥.同理可得⊥,⊥.答案：D4.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(+），λ∈[0，+∞］,则P的轨迹一定通过△ABC的（)A．外心B．垂心C．内心D．重心解析：由=+λ（+)，∴—=λ（+)，λ∈［0,+∞］，∴=λ（+）。∴P在BC边中线上。故P的轨迹通过△ABC的重心.故选择D.答案：D5。△ABC中，=3，则=_______________。（用和表示）解析：∵=-，又=3，∴=+=+(-)=+。答案：+诱思·实例点拨【例1】已知向量a、b满足｜a|=1，｜b｜=2，｜a-b｜=2,则|a+b|等于()A。1B。C.D。剖析:欲求|a+b|,一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算。解法一：设a=（x1,y1),b=（x2，y2)，则x12+y12=1，x22+y22=4,a-b=(x1-x2,y1—y2）,∴（x1—x2）2+(y1—y2）2=4。∴x12—2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=4.∴1-2x1x2-2y1y2=0.∴2x1x2+2y1y2=1。∴（x1+x2）2+(y1+y2)2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6。∴|a+b｜=。解法二：∵|a+b｜2+｜a—b｜2=2(|a|2+｜b|2)，∴|a+b｜2=2(｜a|2+|b｜2）—|a—b|2=2（1+4)—22=6.∴｜a+b|=。故选D。答案：D链接·提示本题还可以利用向量的加、减运算的几何意义计算.设=a，=b，则—=。在△OAB中，cos∠AOB==，∴cos∠OAC=—.在△OAC中，｜|2=｜｜2+|｜2-2｜|·||cos∠OAC=12+22—2×1×2×（—）=6。∴｜｜=，即｜a+b｜=.【例2】如图，G是△ABC的重心，求证：++=0。剖析：要证++=0,只需证+=-,即只需证+与互为相反的向量。证明：以向量、为邻边作平行四边形GBEC，则+==2。又由G为△ABC的重心知=2，从而=—2。∴++=-2+2=0。讲评：向量的加法可以用几何法进行。正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性。【例3】设、不共线,点P在AB上,求证：=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R.剖析：∵点P在AB上,可知与共线,得=t.再用以O为起点的向量表示。证明：∵P在AB上,∴与共线.∴=t.∴—=t(-).∴=+t—t=(1—t)+t。设1-t=λ，t=μ，则=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R。讲评：本例的重点是考查平面向量的基本定理,及对共线向量的理解及应用.链接·提示(1)本题也可变为、不共线,若=λ+μ,且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求证：A、B、P三点共线。提示：证明与共线.