高中总复习第一轮数学(新)第三章等差数列与等比数列的综合问题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3.4等差数列与等比数列的综合问题巩固·夯实基础一、自主梳理1。等差数列的性质（1)若数列｛an｝是公差为d的等差数列,则am=ak+(m-k）d，数列｛λan+b}（λ、b为常数)是公差为λd的等差数列。(2）下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…组成的数列仍为等差数列,公差为md。(3）若｛an｝是等差数列,A=a1+a2+…+an,B=an+1+an+2+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+…+a3n，则A、B、C成等差数列，公差为n2d.(4)若等差数列{an｝的项数为2n(n∈N＊），则S偶-S奇=nd,若等差数列｛an｝的项数为2n—1(n∈N＊),则=.2。等比数列的性质(1）若数列｛an｝是等比数列，则数列｛λ1an}(λ1为常数)是公比为λ1q的等比数列.（2)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m,ak+2m,…组成的数列仍为等比数列,公比为qm.（3)若｛an}是等比数列,设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+…+a2n,C=a2n+1+a2n+2+…+a3n,则A、B、C成等比数列,公比为qn。设M=a1·a2·a3·…·an，N=an+1an+2·…·a2n，P=a2n+1a2n+2·…·a3n，则M、N、P仍为等比数列，公比为(qn)n.二、点击双基1。等比数列{an}的公比为q,则“q〉1"是“对于任意自然数n，都有an+1〉an”的（)A.充分不必要条件B。必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：当a1<0时,条件与结论均不能由一方推出另一方。答案：D2。已知数列｛an｝满足an+2=—an（n∈N*），且a1=1,a2=2，则该数列前2002项的和为（）A.0B。—3C。3D.1解析:由题意，我们发现：a1=1，a2=2，a3=-a1=—1,a4=-a2=-2，a5=-a3=1,a6=—a4=2,…,a2001=-a1999=1,a2002=-a2000=2，a1+a2+a3+a4=0。∴a1+a2+a3+…+a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3。答案：C3。若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是（)A.B.C.D.解析：依题意设四根分别为a1、a2、a3、a4,公差为d,其中a1=,即a1+a2+a3+a4=1+1=2.又a1+a4=a2+a3，所以a1+a4=a2+a3=1。由此求得a4=，d=,于是a2=，a3=。故a+b=a1a4+a2a3=×+×==。答案:D4。(2004上海春季高考）在等差数列｛an}中，当ar=as(r≠s)时，数列{an｝必定是常数列,然而在等比数列{an｝中,对某些正整数r、s（r≠s),当ar=as时，非常数列｛an｝的一个例子是_____________。解析：只需选取首项不为0，公比为-1的等比数列即可.答案：a,—a,a,—a,…（a≠0）5。在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_____________.解析：等比数列中,若m+n=p+q=2k，则aman=apaq=ak2，设插入的三个数为a1,a2，a3,则a1a3=·=a22且a2与同号。∴a1a2a3=··=216。答案：216诱思·实例点拨【例1】已知{an}是等比数列,a1=2，a3=18；{bn｝是等差数列,b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.（1）求数列｛bn}的通项公式;(2)求数列｛bn}的前n项和Sn的公式；（3)设Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论.剖析:将已知转化成基本量,求出首项和公比后，再进行其他运算.解：(1）设{an｝的公比为q，由a3=a1q2得q2==9，q=±3.当q=—3时，a1+a2+a3=2-6+18=14<20,这与a1+a2+a3〉20矛盾,故舍去.当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合题意.设数列｛bn｝的公差为d,由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26。又b1=2，解得d=3，所以bn=3n—1。（2)Sn==n2+n。(3）b1，b4，b7,…，b3n—2组成以3d为公差的等差数列,所以Pn=nb1+·3d=n2-n；b10，b12，b14,…,b2n+8组成以2d为公差的等差数列，b10=29，所以Qn=nb10+·2d=3n2+26n.Pn—Qn=(n2-n)—（3n2+26n)=n（n-19)。所以，对于正整数n,当n≥20时，Pn>Qn;当n=19时,Pn=Qn；当n≤18时,Pn<Qn.讲评:本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。【例2】在公差为d（d≠0)的等差数列{an｝和公比为q的等比数列｛bn｝中,已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.(1）求d、q的值；(2）是否存在常数a、b使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立?若存在,求出a和b;若不存在，请说明理由。解：（1)∵a1=b1=1，a2=b2,a8=b3，∴∴或（舍去)。（2）假设存在a、b使得an=logabn+b对一切n∈N*恒成立，则有1+5（n-1)=loga6n—1+b,即(5-loga6)n—（4+b—loga6）=0。∵上式对任意n∈N*恒成立,∴解得a=，b=1.讲评：在一定条件下，判断某种数学对象是否存在,解答此类问题,一般先假设要求(或证）的结论是存在的，然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去，如果畅通无阻,则存在,如果推理过程中,有问题或前后矛盾，则说明不存在.【例3】在等比数列｛an｝（n∈N*)中，a1>1，公比q>0。设bn=log2an，且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0。(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求{bn}的前n项和Sn及｛an｝的通项an；(3)试比较an与Sn的大小.剖析:(1）定义法即可解决.(2)先求首项和公差及公比。（3）分情况讨论。（1)证明：∵bn=log2an，∴bn+1-bn=log2=log2q为常数。∴数列{bn}为等差数列且公差d=log2q。(2）解：∵b1+b3+b5=6，∴b3=2.∵a1>1，∴b1=log2a1〉0.∵b1b3b5=0，∴b5=0。∴解得∴Sn=4n+×(-1）=。∵∴∴an=25-n（n∈N*）.（3)解:显然an=25—n〉0，当n≥9时，Sn=≤0。∴n≥9时，an〉Sn。∵a1=16，a2=8，a3=4，a4=2,a5=1，a6=，a7=，a8=,S1=4，S2=7，S3=9,S4=10,S5=10，S6=9,S7=7,S8=4,∴当n=3，4，5，6