高中数学-【课堂实录】 应用举例（二）（测量高度角度）教学设计学情分析教材分析课后反思

1.2应用举例(第2课时)学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量和角度的问题.2.本节课是解三角形应用举例的延伸.可以在温故知新中学会正确识图、画图、想图,逐步构建知识框架.3.进一步提升学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.教学重点难点重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件一、设计问题,创设情境启发学生，1.帆船酒店的高度如何测量2.坐船去某一处海岛，沿着怎样的角度航行？引导学生解决实际生活中的问题，思考如何转化到数学中的问题二、信息交流,揭示规律思考:解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题和解决距离问题是否具有一定的相似性?三、运用规律,解决问题【例1】AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法.问题1:这个建筑物就不好到达它的底部去测量,如果好到达的话,那直接用尺子去量一下就行了,那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢?答：建筑物AB的高,只要能把AE的长求出来,然后再加上测角仪的高度EB的长就行了.问题2:求AB长的关键是先求AE,那如何求AE?学生：由解直角三角形的知识,在△ADC中,如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA,再测出由C点观察A的仰角,就可以计算出AE的长.问题3:通过以上讨论问题就转化成如何去求CA的长?为了求CA的长,应该把CA放到△DCA中,由于基线DC可以测量,且β也可以测量,这样在△DCA中就已知两角和一边,所以由正弦定理可以解出CA的长.问题4:通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢?要测量某一高度AB,只要在地面某一条过AB底端的直线上取两点D,C,量出CD=a的长并在C,D两点测出到AB顶端的仰角α,β,则高度AB=QUOTEasinαsinβsin(α-β)【例2】如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=54°40',在塔底C处测得A处的俯角β=50°1'.已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m).问题5:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗?若在△ABD中求CD的长,则关键需要求出哪条边呢?需求出BD边,可首先求出AB边,再根据∠BAD=α求得.【例3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD.问题6:欲求出CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢?学生思考：应放在三角形BCD中，要把要求的边长和角放在已知条件更多的三角形中问题7:在△BCD中,已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长?直角三角形中很容易求得CD 问题8：把例2和例3放一起比较，哪个在实际生活中，更容易实施？变式练习：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=从这个题中，可以练习会找方向角，从这个变式中，巩固解三角形中正余弦定理的应用例4如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行的距离是多少?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01nmile)从这个题中，让学生体会，如何应用余弦定理，解AC边长，以及用正弦定理和余弦定理求角的正弦值变式训练如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．熟练正余弦定理，解边长和角随堂测试1.在200m的山顶上,测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为_____2.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cosθ=这两个测试可以让学生熟练正余弦定理的应用，其中第2题中，有两角和正弦公式的应用，复习公式，巩固知识点。六、反思小结,观点提炼解三角形应用题的一般步骤:实际问题→数学模型→数学模型的解→转化回实际问题1.2.2学情分析正弦定理和余弦定理是解决三角形的理论基础，让学生掌握建立“数学模型”的基本思想及本节课的重中之重，通过对解斜三角形在实际中的应用的讲解，让学生体会具体问题已可以转化为抽象的数学问题以及数学知识在生产，生活实际中所发挥的重要的作用，同时培养学生数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力，提高学生解决实际问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，并让学生体会数学的应用价值。根据教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，指定如下三个教学目标：知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题思想与方法首先通过情境引入，顺利地导入新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同事通过多媒体演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于开放性题目鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正。情感和态度价值观激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值，同事培养学生运用图形，数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。1.2.2应用举例效果分析从课前收集的设计方案来看，很多学生不懂得如何运用所学知识入手解决实际问题，提出的方案也存在不少的漏洞；而课后绝大部分学生反映基本掌握此类问题的解题的思路，并能对新的探究问题较快地提出较为完善的解决方案。教学预设效果的达成情况：学生能积极参与问题的探究、思考、讨论与解决，较好地进行了设计方案的交流、评价与优化，学生基本掌握运用数学知识解决实际问题的思路和方法。应用举例第二课时教材分析解三角形应用举例的知识编写在人教版必修5的第一章，承接在正弦定理与余弦定理的学习之后，是运用解三角形的知识解决实际生活中的测量问题。1.2.2评测练习一、随堂测试1.在200m的山顶上,测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为_____2.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cosθ=这两个测试可以让学生熟练正余弦定理的应用，其中第2题中，有两角和正弦公式的应用，复习公式，巩固知识点。二、评测练习1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的仰角为β,则α,β的关系为()A.α>β B.α+β=90° C.α=β D.α+β=180°2.如图,三点B,C,D在地面的同一直线上,DC=a,在D,C两点测得点A的仰角分别为α,β(α>β),则点A离地面的高为()A.QUOTEasinαsinβsin(α-β)asinαC.QUOTEacosαcosβsin(α-β)acosα3.在200m的山顶上,测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为()A.QUOTE40034003m B.QUOTE4003340033m C.QUOTE2003320033m D.QUOTE20032003m4.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30m至点C处测得顶端A的仰角为2θ,再继续前进10QUOTE33m至D点,测得顶端A的仰角为4θ,则θ=.

5.飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔20250m,速度为180km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°30',经过120秒后又看到山顶的俯角为81°,求山顶的海拔高度(精确到1m).6.在某电场中,一个粒子的受力情况如图所示,则粒子的运动方向为()A.南偏西 B.北偏西 C.北偏东 D.南偏东7.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cosθ=.

8.一辆汽车从A点出发,沿一条笔直的海岸公路以100km/h向东匀速行驶,汽车开动时,在点A的南偏东方向距点A500km的B处的海上有一快艇,此时,快艇所在B处距海岸300km.现快艇上有一快递要送给汽车的司机,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角,并求出快艇的最小速度.答案1.C2.A3.A4.15°5.解:设飞行员的两次观测点依次为A和B,山顶为M,山顶到直线AB的距离为MD.如图,在△ABM中,由已知,得∠A=18°30',∠ABM=180°-81°=99°,∠AMB=81°-18°30'=62°30'.又AB=180×QUOTE12060×6012060×根据正弦定理,可得BM=QUOTE6sin18°30'sin62°30进而求得MD=QUOTE6sin18°30'sin81°sin62°30可得山顶的海拔高度为20250-2120=18130(m).6D7.QUOTE21142114解析:如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,即得BC=20QUOTE77(海里).由正弦定理,QUOTEABsin∠ACB=BCsin所以sin∠ACB=QUOTEABBCABBCsin∠BAC=QUOTE217217.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,cos∠ACB=QUOTE277277由θ=∠ACB+30°,则cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=QUOTE21142114.8.分析:设快艇在B处以vkm/h的速度出发,在△ABC中,由正弦定理QUOTEBCsin∠BAC=ACsin∠解:如图,设快艇在B处以vkm/h的速度出发,沿BC方向航行t小时与汽车相遇(在C点).在△ABC中,AB=500km,BQ=300km,AC=100t,BC=vt.则sin∠BAC=QUOTEQBAB=35QB在△ABC中,由正弦定理得QUOTEBCsin∠BAC=ACsin即QUOTEvt35=100tsin则v=QUOTE60sin∠ABC60sin∠ABC≥60,当且仅当∠故快艇最小速度为60km/h且行驶方向与AB成直角.应用举例课时2教学反思1、结合多种形式、多个角度，集中解决一个核心问题，并做好思想方法总结，实效性较好；2、这样的教学方式能使得课堂气氛活跃起来，能充分调动学生学习的积极性，激活思维，受学生喜欢，可以作为传统数学课堂的有效补充与继承发展；3、问题启发式教学值得注意与有待加强的地方：（1）设计问题时应考虑该问题是否有深入研究学习的价值，对课堂教学是否有帮助，对学生的思维是否有提升；（2）提问题应精简、明确，有针对性、启发性，能突出重点，体现关键点；（3）启发要得当，老师不能全权代办；4、开放式交流讨论教学值得注意与有待加强的地方：（1）时间的把握。本节课绝大部分时间在解决探究问题一，若能有时间让学生对探究问题二进行小组讨论研究，并交流设想的话，效果会更好，问题能得到更好的深化，能力能得以更好地提升；（2）避免跑题。学生对问题进行开放式交流与讨论，容易把问题过于发散而造