河北省唐山市迁安沙河驿高级中学高三数学文测试题含解析

河北省唐山市迁安沙河驿高级中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥FB，设∠ABF=θ且，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．（2，+∞）参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．则四边形AFBF′为矩形．因此|AB=|FF′|=2c．|AF|=2csinθ，|BF|=2ccosθ．可得e===，求出即可．【解答】解：如图所示，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．∵AF⊥FB，∴四边形AFBF′为矩形．因此|AB=|FF′|=2c．则|AF|=2csinθ，|BF|=2ccosθ．∵|AF′|﹣|AF|=2a．∴2ccosθ﹣2csinθ=2a．即c（cosθ﹣sinθ）=a，则e===，∵，∴∈（，），则cos（）∈（0，），cos（）∈（0，），则=，即e＞，故双曲线离心率的取值范围是，故选：C2.已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（﹣a）、f（a）、f（3a）成公差不为0的等差数列，则过坐标原点作曲线y=f（x）的切线可以作（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出a，再分类讨论，求出切线的条数．【解答】解：∵f（﹣a）、f（a）、f（3a）成公差不为0的等差数列，∴2f（a）=f（﹣a）+f（3a），代入化简可得a4﹣a2=0，∵a≠0，∴a=±1，a=﹣1，函数f（x）=﹣x3﹣3x2+1，设切点A（x0，y0），∵f′（x）=﹣3x2﹣6x，∴切线斜率为﹣3x02﹣6x0，又切线过原点，∴﹣y0=3x03+6x02①又∵切点A（x0，y0）在f（x）=﹣x3﹣3x2+1的图象上，∴y0=﹣x03﹣3x02+1②由①②得：2x03+3x02+1=0，方程有唯一解；a=1，函数f（x）=x3﹣3x2+1，设切点A（x0，y0），∵f′（x）=3x2﹣6x，∴切线斜率为3x02﹣6x0，又切线过原点，∴﹣y0=﹣3x03+6x02①又∵切点A（x0，y0）在f（x）=x3﹣3x2+1的图象上，∴y0=x03﹣3x02+1②由①②得：2x03﹣3x02﹣1=0，方程有唯一解；故选C．3.集合=(

）A．

B．{1}

C．{0,1,2}

D．{-1,0,1,2}参考答案：C4.（5分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（） A． （﹣∞，﹣1） B． （1，+∞） C． （﹣1，1）∪（1，+∞） D． （﹣∞，+∞）参考答案：C考点： 函数的定义域及其求法．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．解答： 解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．点评： 本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．5.一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是A.2π

B.4π

C.8π

D.16π参考答案：C6.已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）(

)A． B．C． D．参考答案：D考点：利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．解答：解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．故当0＜a＜时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣．故选：D．点评：本题考查了利用导数研究函数极值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．7.已知函数f(x)=，则f[f（2013）]=

A．

B．-

C．1

D．-1参考答案：D，所以，选D.8.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知，，则（

）A．

B．

C．14

D．15参考答案：D9.若复数满足，则的虚部为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B【知识点】复数的基本概念及运算.L4

解析：由得，所以的虚部为【思路点拨】主要考查复数的基本运算，复数的定义.10.命题“存在R，0”的否定是

（

）

A.不存在R,>0

B.存在R,0

C.对任意的R,0

D.对任意的R,>0参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=

．参考答案：3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：y=ax﹣ln（x+1）的导数，由在点（0，0）处的切线方程为y=2x，得，则a=3．故答案为：3．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．12.若函数在区间上的图象如图所示,则的值

可能是

A.

B．

C．

D．参考答案：B13.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_______.参考答案：【分析】记事件为“一天的空气质量为优良”,事件为“第二天的空气质量也为优良”,根据条件概率公式可求出答案.【详解】记事件为“一天的空气质量为优良”,事件为“第二天的空气质量也为优良”,则,,根据条件概率公式可得:.故答案为:.【点睛】本题考查了条件概率的计算,考查了条件概率公式的应用,属于基础题.14.一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_______。参考答案：12试题分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则棱锥的斜高为该六棱锥的侧面积为

15.

“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为___________；参考答案：答案：

16.已知复数(i为虚数单位),则的实部为

▲

.参考答案：17.已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜，ω＞0）的图象的一部分如图所示．则f（x）的表达式

．参考答案：f（x）=2sin（2x+）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由函数图象的顶点的纵坐标求出A，由周期为π可解ω，把点（0，1）代入可解φ的值．解答： 解：把点（0，1）代入y=Asin（ωx+φ）可得，1=2sinφ，解得sinφ=，又|φ|＜，故φ=，又∵当x=时，y=0，∴ω×+=2π，解得ω=2，故f（x）的表达式为：f（x）=2sin（2x+），故答案为：f（x）=2sin（2x+）．点评：本题考查根据y=Asin（ωx+?）的部分图象求其解析式，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，，．在梯形中，∥，且，⊥平面．(1)求证：；(2)若二面角为，求的长．参考答案：

19.春节来临，有农民工兄弟、、、四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若、、、获得火车票的概率分别是，其中，又成等比数列，且、两人恰好有一人获得火车票的概率是.（1）求的值；（2）若、是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设表示、、、能够回家过年的人数，求的分布列和期望.参考答案：解：（1）、两人恰好有一人获得火车票的概率是………1分联立方程………3分，解得………5分（2）………6分………7分………8分………9分………10分的分布列为01234………11分………12分20.设二项展开式（n∈N*）的小数部分为.（1）计算的值；（2）求证：.参考答案：21.已知函数(I)当，且时，求的值.(II)是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是，若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）因为时，，所以在区间上单调递增，因为时，，所以在区间（0，1）上单调递减.所以当，且时有，，所以，故；(2）不存在.

因为当时，在区间上单调递增，所以的值域为；而，所以在区间上的值域不是.故不存在实数，使得函数的定义域、值域都是(也可构造方程，方程无解，从而得出结论.）22.已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对任意的a，b∈R，恒有f(ab)=af(b)+bf(a).(Ⅰ)求f(0)，f(1)的值；(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(Ⅲ)若f(2)=2，，n∈N*，求数列{un}的前n项和Sn.参考答案：解析：(Ⅰ)解:f(0)=f(0×0)=0·f(0)+0·f(0)=0.又∵f(1)=f(1×1)=1·f(1)+1·f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.(Ⅱ)∵f(1)=f[(－1)2]=－1·f(－1)－1·f(－1)=－2f(－1)=0，∴f(－1)=0∴f(－x)=f(－1·x)=－1·f(x)+x·f(－1)=－f(x)，∴f(x)为奇函数(Ⅲ)解法一：∵0=f(1)=f(2×2－1)=2f(2－1)+2－1f(2)=2f(2－1)+1，∴f(2－1)=－………9分又f(2－n)=f(2－n－1·2)=2－n－1f(2)+2f(2－n－1)=2－n+2f(2－n－1)∴2n+1f(2－n－1)－2nf(2－n)=－1∴数列{2nf(2－n)}是以2f(2－1)=－1为首项，以－1为公差的等差数列∴2nf(2－n)=－1+（n－1）·(－1)=－n∴un==－∴Sn==－1解法二：∵f(2n+1)=f(2n·2)=2nf(2)+2f(2n)=2n+1+2f(2n)∴=1+，∴－=1∴数列{}是以=1为首项，以1为公差的等差数列∴=1+（n－1）·1=n，∴f(2n)=2n·n又∵f(1)=f(2n×2－n)=2nf(2－n)+2－nf(2n)=0∴un===－∴Sn==－1解法三：由f(a2)=af(a)+af(a)=2af(a)，f(a3)=a2f(a)+af(a2)=3a2f(a)，猜测f(an)=nan－1f(a).下面用数学归纳法证明①当n=1时，f(a1)=1·a0·f(a)，公式成