弧长及扇形的面积

第三章

圆第9节弧长及扇形的面积本文档共35页；当前第1页；编辑于星期六\5点3分1课堂讲解弧长公式

扇形面积公式2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升本文档共35页；当前第2页；编辑于星期六\5点3分我们在小学学习了圆的面积和扇形的面积，也学习了圆的周长，那么圆上一部分的长，也就是一条弧的长怎么去求呢？现在重新学习圆的面积和扇形面积，比以前是不是有了更深的要求呢？下面我们就来学习本节内容.本文档共35页；当前第3页；编辑于星期六\5点3分1知识点弧长公式如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.(1)转动轮转一周，传送带上的物品A

被传送多少厘米？(2)转动轮转1°,传送带上的物品A被

传送多少厘米？(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？知1－导本文档共35页；当前第4页；编辑于星期六\5点3分归纳知1－导（来自教材》）

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：

l=__________________.本文档共35页；当前第5页；编辑于星期六\5点3分（1）半径为R的圆，周长是多少？（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？（3）1°圆心角所对的弧长是多少？（4）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？（5）n°圆心角所对的弧长是多少？（1）C=2πR（2）360°（3）（4）n倍（5）也可以用ABl表示AB的长.知1－讲n°o⌒⌒本文档共35页；当前第6页；编辑于星期六\5点3分知1－讲（来自《点拨》）1．弧、弧长、弧的度数间的关系：

弧相等表示弧长、弧的度数都相等；

度数相等的弧，弧长不一定相等；

弧长相等的弧，弧的度数不一定相等．2．易错警示：在弧长公式

l＝

中，n表示1°的n

倍，180表示1°的180倍，n，180不带单位．本文档共35页；当前第7页；编辑于星期六\5点3分知1－讲（来自教材）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算如图所示的管道的展直长度，即

的长（结果精确到0.1mm).例1解：R=40mm，n=110，所以

的长=76.8(mm).因此，管道的展直长度约为76.8mm.本文档共35页；当前第8页；编辑于星期六\5点3分知1－讲（来自《点拨》）〈衡阳〉如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，则劣弧BC的长为________．例2导引：由切线性质可知∠OBA＝90°.因为∠A＝30°，所以∠BOA＝60°，因为BC∥AO，所以∠CBO＝60°.又因为OB＝OC，所以△OBC为等边三角形，所以∠BOC＝60°，代入公式l＝

＝2π(cm)．2πcm本文档共35页；当前第9页；编辑于星期六\5点3分总

结知1－讲（来自《点拨》）求弧长需要两个条件：(1)弧所在圆的半径；(2)弧所对的圆心角．

当题中没有直接给出这两个条件时，则需利用圆的相关知识：弦、弦心距、圆周角、切线等求出圆的半径或弧所对的圆心角．本文档共35页；当前第10页；编辑于星期六\5点3分知1－练（来自《典中点》）如图，某田径场的周长(内圈)为400m，其中两个弯道内圈(半圆形)共长200m,直线段共长200m，而每条跑道宽约1m(共6条跑道).(1) 内圈弯道半径为多少米？(结果精确到0.1m)一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差多少米？(结果精确到0.1m)1本文档共35页；当前第11页；编辑于星期六\5点3分知1－练（来自教材）解：(1)设内圈弯道的半径为rm．由题意知×2πr＝100.

解得r≈31.8.∴内圈弯道的半径约为31.8m.(2)设外圈弯道的半径为Rm．

∵共有6条跑道，故外圈弯道的半径R＝

∴一个外圈弯道的弧长为×2πR＝πR＝π＝(100＋6π)(m)．

∴一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差约100＋6π－100＝6π≈18.8(m)．本文档共35页；当前第12页；编辑于星期六\5点3分【中考·三明】在在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是(

)A．πB．2πC．4πD．6π知1－练（来自《典中点》）2B本文档共35页；当前第13页；编辑于星期六\5点3分【中考·南宁】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则BC的长等于(

)A.B.C.D.知1－练（来自《典中点》）3︵A本文档共35页；当前第14页；编辑于星期六\5点3分【中考·烟台】如图，在▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则DE的长为(

)A.πB.πC.πD.π知1－练（来自《典中点》）4︵B本文档共35页；当前第15页；编辑于星期六\5点3分2知识点扇形面积公式知2－导

在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗.（1）这只狗的最大活动区域有多大？（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，

那么它的最大活动区域有多大？本文档共35页；当前第16页；编辑于星期六\5点3分知2－讲1.半径为R的圆,面积是多少？2.圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？3.1°圆心角所对扇形面积是多少？1.S=πR22.360°3.若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积为S，则ABO思考1：本文档共35页；当前第17页；编辑于星期六\5点3分知2－讲思考2：扇形面积的大小与哪些因素有关系？扇形面积的大小与扇形的半径和圆心角有关.本文档共35页；当前第18页；编辑于星期六\5点3分知2－讲比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长表示扇形面积：其中l为扇形的弧长，R为半径.本文档共35页；当前第19页；编辑于星期六\5点3分知2－讲（来自教材）扇形AOB的半径为12cm，

∠

AOB=120°，求

的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2).例3解：

的长=

25.1(cm).S扇形=

150.7(cm2).因此，

的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2.本文档共35页；当前第20页；编辑于星期六\5点3分知2－讲（来自《点拨》）〈广东〉如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为(

)A．6

B．7

C．8

D．9例4D本文档共35页；当前第21页；编辑于星期六\5点3分知2－讲（来自《点拨》）导引：由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB＝

lR，计算即可．由条件可知：扇形的弧DCB的长就是正方形的边BC与CD长的和，为6，半径为3，则S扇形＝×6×3＝9.本文档共35页；当前第22页；编辑于星期六\5点3分总

结知2－讲（来自《点拨》）扇形的面积计算有两个公式：1.当已知扇形的圆心角时，用公式S扇形＝

较为简便；2.当知道扇形的弧长时，用公式S扇形＝

lR较为简便．本文档共35页；当前第23页；编辑于星期六\5点3分知2－讲（来自《点拨》）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上的一点，∠ADB＝30°.(1)求∠AOC的度数；(2)若弦BC＝6，求图中阴影部分的面积．例5本文档共35页；当前第24页；编辑于星期六\5点3分知2－讲（来自《点拨》）导引：(1)根据垂径定理得到相等的弧，再由同圆或等圆中，弧、圆心角、圆周角之间的关系求得∠AOC的度数；(2)先求出⊙O的半径，再求出圆心角∠BOC的度数，利用面积差求出阴影部分的面积．本文档共35页；当前第25页；编辑于星期六\5点3分知2－讲（来自《点拨》）解：(1)∵弦BC垂直于半径OA，∴BE＝CE，.

又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠BOA＝60°.(2)∵BC＝6，∴CE＝

BC＝3.

在Rt△OCE中，∠OCE＝30°，

设OE＝x，则OC＝2x，CE＝

x＝3，解得x＝.∴OE＝

，OC＝2.∵，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，∴S阴影＝S扇形OBC－S△OBC

＝×π×(2)2－×6×＝4π－3.本文档共35页；当前第26页；编辑于星期六\5点3分总

结知2－讲（来自《点拨》）本例中求弓形面积可转化为两个规则的基本图形(扇形、三角形)面积的差来解决．将所求面积转化为其他几个规则图形面积的和或差，是求阴影面积最常用的方法．本文档共35页；当前第27页；编辑于星期六\5点3分知2－练（来自《教材》）如图，水平放置的一个油管的横截面半径为12cm，其中有油的部分油面高6cm，求截面上有油部分的面积(结果精确到0.1cm2).1本文档共35页；当前第28页；编辑于星期六\5点3分知2－练（来自教材）解：如图，连接OA，OB.设OC⊥AB于点C，交圆O于点D.∵CD＝6cm，OD＝OA＝12cm，∴OC＝12－6＝6(cm).在Rt△AOC中，AC＝∴AB＝12cm，cos∠COA＝∴∠COA＝60°.∴∠AOB＝120°.∴截面上有油部分的面积为S扇形AOB－S△AOB

＝≈88.4(cm2)．本文档共35页；当前第29页；编辑于星期六\5点3分【中考·兰州】如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为(

)A．π＋1B．π＋2C．π－1D．π－2知2－练（来自《典中点》）2D本文档共35页；当前第30页；编辑于星期六\5点3分【中考·桂林】如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA，ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是(

)A．πB.C．3＋πD．8－π知2－练