第九章 拉普拉斯变换

第九章拉普拉斯变换第一页，共一百页，编辑于2023年，星期四9.0引言连续时间对应的复频域是用直角坐标 表示的复数平面，简称为S平面或连续时间复频域（s域）.S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号,整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。第二页，共一百页，编辑于2023年，星期四S平面S平面上虚轴上的所有点代表整个周期复指数信号集第三页，共一百页，编辑于2023年，星期四9.1拉氏变换一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：记作：或第四页，共一百页，编辑于2023年，星期四几个典型信号的拉氏变换第五页，共一百页，编辑于2023年，星期四拉普拉斯变换的收敛域与零极点收敛域：一般把使积分收敛的s值的范围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。第六页，共一百页，编辑于2023年，星期四ReReS-planeS-planeImIm-a-a第七页，共一百页，编辑于2023年，星期四零极点只要x(t)是实指数或复指数信号的线性组合，X(s)就一定是有理的,具有如下形式：N(s)和D(s)分别为分子多项式和分母多项式。使N(s)=0的根为X(s)的零点，在s平面上用“O”表示。使D(s)=0的根为X(s)的极点，在s平面上用“×”表示。第八页，共一百页，编辑于2023年，星期四例ReIm12xx-1请问：x(t)的傅立叶变换存在吗?第九页，共一百页，编辑于2023年，星期四9.2拉氏变换收敛域的性质性质1:拉氏变换收敛域的形状：X(s)的ROC在s平面内由平行于jω轴的带状区域所组成。S-planeReReReImImImRLLR××ReIms平面第十页，共一百页，编辑于2023年，星期四性质2：对有理拉氏变换来说，ROC内不包括任何极点。性质3：如果x(t)是有限持续期，并且是绝对可积的，那么ROC就是整个s平面。ReIms平面第十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果这条线位于ROC内，那么的全部s值都一定在ROC内。ReIms平面第十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果这条线位于ROC内，那么的全部s值都一定在ROC内。x(t)T2te-0te-1tReIms平面第十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果这条线位于ROC内，那么ROC就一定是由s平面的一条带状区域所组成，直线位于带中。第十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四S-planeReReReImImImRLLR第十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四性质7：如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，那么它的ROC是被极点所界定或延伸到无限远。性质8：如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，若x(t)是右边信号，则其ROC在s平面上位于最右边极点的右边；若x(t)是左边信号，则其ROC在s平面上位于最左边极点的左边。第十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四例××ReIms平面-2-1求其可能有的所有的收敛域-2-1××ReIms平面第十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四××ReIms平面-2-1××ReIms平面-2-1第十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四××ReIms平面-2-1-2-1××ReIms平面第十九页，共一百页，编辑于2023年，星期四时域信号x(t)的特点拉氏变换X(s)的ROC有限长整个S平面左边时间信号某一左半平面右边时间信号某一右半平面双边时间信号某一带状收敛域第二十页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：求其拉氏变换X(s)，并画零极点图以及收敛域。解：第二十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四9.3拉氏反变换信号x(t)的拉氏变换为：利用傅立叶反变换：两边同乘以est即可从拉氏变换中恢复x(t)：拉氏反变换第二十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四所有实信号x(t)可以表示成复指数信号est的加权。拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的像函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于虚轴的一条自下而上的直线。Im××Res平面第二十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四一、求解拉氏反变换的方法

1、留数定理；（这里不讨论）√2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得未知的拉氏变换，或它们的反变换。√3、对于有理形式拉氏变换，最常用的是部分分式展开法。第二十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四二、部分分式展开法求解拉氏反变换思路：单个单边复指数信号的拉氏变换是一些简单的有理函数，其收敛域也是单纯的。单边实指数和复指数线性组合而成的信号，它们的拉氏变换一定是有理函数，其收敛域是每一项复指数分量相应的收敛域的交集。第二十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四部分分式展开的第一步是把分母N(s)进行因式分解，然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。第二十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四一、假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次（有理真分式），那么X(s)就可以展开成如下形式：第二十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：对X(s)进行部分分式展开：ReIm-1xx-2X(s)的零极点图和ROC如图所示：分别对应什么时间信号？第二十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：对X(s)进行部分分式展开：X(s)的零极点图和ROC如图所示：ReIm-1xx-2第二十九页，共一百页，编辑于2023年，星期四设：对X(s)进行部分分式展开：X(s)的零极点图和ROC如图所示：ReIm-1xx-2第三十页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：求x(t)解：先转换为真分式：故：第三十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：已知：求x(t)将X(s)进行部分分式展开：第三十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四第三十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四二、二阶和高阶极点当N(s)＝0有r重根，其余为单根的分解式为：第三十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：已知：求x(t)将X(s)进行部分分式展开：第三十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四故：则：第三十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四9.4由零极点图对傅立叶变换进行几何求值目的：揭示信号和系统的复频域表示与其频域特性间的关系。对于系统函数是有理函数的因果稳定LTI系统，其收敛域包括s平面虚轴，那么系统的频率响应H(jω)第三十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四如果有理系统函数H(s)表示为分别为零点和极点这类因果稳定LTI系统的频率响应为：第三十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四根据复数的向量表示法，复数可用复平面上原点到该点的向量来表示。按照向量和差运算法则，两个复数的差分别是s平面上点指向点jω的向量。第三十九页，共一百页，编辑于2023年，星期四零点指向点jω的向量为零点向量，记作极点指向点jω的向量为极点向量，记作幅频响应H(jω)：第四十页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：求其幅频特性与性与相频特性曲线第四十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四第四十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四9.5拉氏变换的性质一、线性则ROC但有时候会扩大第四十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：已知：求：X(s)解：第四十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四二、时移性质例：求：X(s)解：第四十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四三、S域平移例：求：X(s)解：已知则同理：第四十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四四、时域尺度变换五、共轭注：若x(t)为实函数，如果X(s)有一个极点或零点为复数在s=s0处，那么X(s)也一定有一个复数共轭的极点或零点，且对于X(s)的部分分式展开式中的系数也互为共轭。第四十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四六、卷积性质那么七、时域微分但ROC有可能扩大第四十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四八、s域微分九、时域积分第四十九页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：求的拉氏变换解：故：推广：及：故：第五十页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：关于一个拉氏变换为X(s)的实信号x(t)给出下列条件：1、X(s)只有两个极点；2、X(s)在有限s平面没有零点；3、X(s)有一个零点在-1+j；4、e2tx(t)不是绝对可积；5、X(0)=8求X(s)第五十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四解：由（1）由（2）由（3）由（4）不含jω轴由（5)得：第五十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四十、初值和终值定理则若t<0，x(t)=0且在t=0不包括任何冲激或高阶奇异函数，则初值定理所得到的初值都是x(t)在t=0+时刻的值，而不是在t=0或t=0-时刻的值。sX(s)的收敛域一定要包含jω轴第五十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：求该信号的终值解：当a<0时，收敛域包括jω，故：解：当a>0时，收敛域不包括jω，故：不存在第五十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四9.6常用拉氏变换对P499表9.2。第五十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四9.7用拉氏变换分析与表征LTI系统利用卷积性质，有：H(s)为系统函数或转移函数。第五十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四一、因果性一个因果系统的系统函数的ROC是某个右半平面。对于一个具有有理系统函数的系统来说，系统的因果性就等效于ROC位于最右边极点的右边的右半平面。第五十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四例有一系统，其单位冲激响应为其系统函数和ROC为：系统函数是有理的，ROC是右半平面，所以系统是因果的。例考虑下面系统函数请问该系统是因果的吗？第五十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四例有一系统，其单位冲激响应为其系统函数和ROC为：ROC不是右半平面，不是因果的第五十九页，共一百页，编辑于2023年，星期四二、稳定性定理一：当且仅当系统函数H(s)的ROC包括jω轴[即：Re{s}=0]时，一个LTI系统就是稳定的。ReImxs=jws-plane系统稳定h(t)绝对可积H(jω)收敛第六十页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：考虑一LTI系统，系统函数ReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-planeReIm-1xx2s=jws-plane因果、不稳定系统非因果、稳定系统反因果、不稳定系统第六十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四定理二：一个具有有理系统函数H(s)的因果LTI系统，当且仅当系统函数H(s)的全部极点都位于s平面的左半平面时，也即全部极点都有负的实部时，该系统才是稳定的。ReImxxs=jws-plane第六十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：ReIm-1xx-2s=jws-plane收敛域包括虚轴，故该系统是稳定的。第六十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：已知一因果LTI系统的系统函数如下问：讨论该系统的稳定性解：该系统的零极点图为：收敛域不包括虚轴，故该系统是不稳定的。由于是因果系统，则其收敛域为：第六十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四三、由线性常系数微分方程表征的LTI系统第六十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：已知一因果LTI系统，其微分方程为：求（1）系统函数H(s)（2）若输入信号x(t)为e-tu(t),求y(t)（3）若输入信号x(t)为e2t,求y(t)第六十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四解：（1）（2）(3)根据特征函数特征值的概念：第六十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四9.8系统函数的方框图与信流图表示一、LTI系统互联的系统函数H1(s)H2(s)xyw第六十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四反馈互联实际例子：控制飞机的副翼，使其沿着特定的轨迹飞行等。H2(s)H1(s)xyw+-+第六十九页，共一百页，编辑于2023年，星期四二、微分方程、有理系统函数、因果LTI系统的方框图表示第七十页，共一百页，编辑于2023年，星期四2系统的信号流图表示对于比较大的系统，如果用方框图的方式就比较麻烦，而由上面的讨论可知，一个系统的特性完全由其子系统的系统函数以及各个子系统之间的连接方式所决定。因此可以将方框图简化，用系统的信号流图来表示。第七十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四信号流图中的一些术语：节点：表示系统中变量或信号的点：X(s)、Y(s)、x2源点：只有输出支路的节点，其对应的是输入信号；阱点：只有输入支路的节点，其对应的是输出信号；支路：连接两个节点之间的定向线段，支路的增益即为其转移函数。转移函数：两个节点之间的增益：b0、b1第七十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（注意：不允许有相反方向支路存在）前向通路：从源点到阱点方向的通路上，通过任何节点不多余一次的全部路径；闭合通路：通路的终点为通路的起点，且与任何其它节点相交不多于一次，又称为环路；前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积；环路增益：环路中各支路转移函数的乘积；不接触环路：两环路之间无任何公共节点；第七十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四信号流图的性质：1）

信号只能沿着支路上的箭头方向通过；2）

节点可以将所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路；3）

具有输入和输出支路的混合节点，可通过增加一个具有单位传输函数的支路，将其变成输出节点处理；4）

给定的系统，其流图形式不唯一；5）

流图转置后，其转移函数保持不变；第七十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四3：信号流图的简化梅逊公式：gk：表示由源点到阱点之间第k条前向通路的增益；△k：称为对于第k条前向通路特征行列式的余因子,是除去与第k条前向通路相接触的环路外，余下的子图行列式其中：△称为流图的特征行列式：k：表示由源点到阱点之间第k条前向通路的标号；第七十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：例：第七十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：有一因果系统的微分方程为：求（1）系统函数H(s)（2）画出信流图。第七十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四第七十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四例.一个LTI系统，其系统函数为：当x(t)=e-tu(t)时，y(t)=(e-t-e-2t)u(t)1.求出具有这一特性的系统函数H(s)。做零极点图、标收敛域，并判定因果性、稳定性。2.求该系统的冲击响应h(t)。3.求出描述该系统的数学模型（常系数微分方程）4.画出该系统的信号流程图与方框图。5.若输入x(t)＝e2t，求输出y(t)。第七十九页，共一百页，编辑于2023年，星期四解：（1）因果性：该系统的收敛域位于最右边极点的右边，且系统函数为有理函数，故其是因果的；稳定性：该系统的收敛域包括虚轴（jω轴），故是稳定的。第八十页，共一百页，编辑于2023年，星期四（4）方框图与信流图：（5）若输入信号为e2t，则响应为：(2)(3)单位冲激响应：微分方程：第八十一页，共一百页，编辑于2023年，星期四一、定义根据时间变量t取值范围的不同，拉氏变换有双边拉氏变换和单边拉氏变换之分。如果t的取值范围是从-∞到+∞，则称为双边拉氏变换；如果t的取值范围是从0-到+∞，则称为单边拉氏变换，其定义式为:

9.9单边拉普拉斯变换单边拉氏变换的重要价值在于求解非零状态下的系统响应！第八十二页，共一百页，编辑于2023年，星期四双边拉氏变换和单边拉氏变换的主要差别在于收敛域的不同因此，对于单边拉氏变换，常常不标出它的收敛域。此外，在某些性质上两者之间也略有差异。单边拉氏变换的收敛域只有两种可能：要么在最右边极点右边的s平面，要么是整个s平面。第八十三页，共一百页，编辑于2023年，星期四例考虑信号x(t)这个信号的双边拉氏变换为：这个信号的单边拉氏变换为：第八十四页，共一百页，编辑于2023年，星期四对于在t>0-具有相同函数表达式，而在t<0-时却并不相同的任何信号，都有完全一样的单边拉氏变换，但他们的双边拉氏变换却各不相同。对于任何因果时间函数，单边拉氏变换起到了双边拉氏变换相同的作用。第八十五页，共一百页，编辑于2023年，星期四二、性质P517表9.3。单边拉氏变换不同于双边拉氏变换的性质：时域微分第八十六页，共一百页，编辑于2023年，星期四单边拉氏变换的时域微分性质第八十七页，共一百页，编辑于2023年，星期四例：已知一系统的微分方程为：

求分别输入

时的输出y(t)。解：第八十八页，共一百页，编辑于2023年，星期四解：