第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计

第六章无限脉冲响应数字滤波器的设计第一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四本章目录数字滤波器的技术指标与设计方法

模拟滤波器的设计IIR数字滤波器的设计

脉冲响应不变法

IIR数字滤波器的Matlab仿真实现

双线性变换法

2第二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四数字滤波器的设计就是设计一个因果稳定的离散线性移不变系统H(z)去逼近所需的频响性能,是一个系统综合的问题。数字滤波器的设计实际上就是确定其系统函数并实现的过程。6.1引言3第三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四一、数字滤波器设计的步骤1.根据任务，确定滤波器的性能指标。2.设计因果稳定的线性时不变系统函数H(z)。3.用有限精度算法实现这个系统函数。4.用适当的软、硬件技术实现。（包括采用：通用计算机软件、数字滤波器硬件、或者二者结合。）4第四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四频响函数幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况

二、数字滤波器的技术指标5第五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四说明选频滤波器：对相位的要求不严格，只要求满足一定幅度特性的滤波器。线性相位滤波器：对相位有严格线性要求的滤波器，用FIR容易实现。对相位要求严格的信号处理：语音信号处理、图像信号处理、波形传输等。IIR6第六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四数字低通滤波器技术指标通带阻带过渡带ωp：通带截止频率ωs：阻带截止频率ωc：3dB截止频率

δ1：通带波纹幅度

δ2：阻带波纹幅度7第七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四通带内允许的最大衰减阻带内允许的最小衰减H(ej0)归一化为1DF指标：ωp、ωs、ωc(边界频率)、αp、αs数字低通滤波器技术指标8第八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四概念：片段常数特性对于选频滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数特性”。所谓片段，是指“通带”和“阻带”，常数是指“通带波纹幅度δ1”和“阻带波纹幅度δ2”。9第九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四三、IIR数字滤波器的两类设计方法借助于模拟滤波器的设计方法先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足给定指标的数字滤波器。很方便，这是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图、表供查阅。直接在频域或者时域中进行设计在频域或者时域中直接进行设计，这是一种最优化设计法。由于要解联立方程，因此需要计算机辅助进行设计。

学习内容10第十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四6.2模拟滤波器的设计模拟低通滤波器的设计，即设计Ha(s)；模拟滤波器的频率变换（即模拟高通、带通、带阻滤波器的设计）主要内容：11第十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四6.2.1模拟低通滤波器的设计

常用的模拟滤波器巴特沃斯（Butterworth）滤波器具有单调下降的幅频特性切比雪夫（Chebyshev）滤波器幅频特性在通带或者阻带内有波动椭圆（Ellipse）滤波器在通带和阻带内都有纹波贝塞尔（Bessel）滤波器等通带内有较好的线性相位特性

模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。12第十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四理想模拟滤波器幅频特性

13第十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四一、模拟滤波器的技术指标幅度平方函数模拟低通滤波器的技术指标通带截止频率通带最大衰减阻带截止频率阻带最小衰减3dB截止频率通带阻带过渡带14第十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四以|H(j0)|=1归一化其中：模拟指标：Ωp、Ωs、Ωc、αp、αs15第十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四二、模拟滤波器的设计思路

Ha(s)由给定的、、和求出由得到滤波器的系统函数16第十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四三、巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：N为滤波器阶数Ωc为3dB截止频率现成的公式17第十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四巴特沃斯低通滤波器的特点幅度特性随着Ω增加单调下降，下降的速度与阶数有关。随着N增大，幅度下降的速度越快，过渡带越窄，在通带内更接近于1，在阻带内迅速接近于零，因而幅度特性更接近于理想的矩形频率特性。不管N的取值是多少，都经过点。

见书P15518第十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四现成的曲线19第十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四幅度平方函数的极点分布幅度平方函数有2N个极点这2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上（该圆称为巴特沃斯圆），间隔是/Nrad。这些极点以虚轴为对称轴，而且不会落在虚轴上。20第二十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四Butterworth圆21第二十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四求得Ha(s)在S平面总共有2N个极点，为了保证所设计的滤波器是稳定的，将s平面左半平面的N个极点分配给Ha(s)，而将右半平面的N个极点分配给Ha(-s)，得：|Ha(jΩ)|2→Ha(s)22第二十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四对频率以Ωc归一化令：23第二十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四Ha(p)表达式归一化系统函数归一化系统极点24第二十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四Ha(p)的求得只要确定N，即可确定pk，及Ha(p)。Ha(p)可查表求得：分母多项式形式极点形式分母因式形式N=?现成表格见书P157表6.2.125第二十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四Ha(s)的求得对Ha(p)去归一化即可得到Ha(s)ΩC=?26第二十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四滤波器阶数N的确定根据技术指标求出滤波器阶数N：技术指标：由得：同理：令则：N取大于或等于N的最小整数27第二十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四滤波器Ωc的确定其中技术指标给出或由下式求出：阻带指标有富裕量或通带指标有富裕量

28第二十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四四、模拟Butterworth低通滤波器设计步骤

由给定的设计指标Ωp、αp

、Ωs和αs确定巴特沃斯滤波器的阶数N和频率Ωc。由阶数N，按所要求的形式，查表6.2.1,得到Ha(p)。由Ha(p)去归一化得到Ha(s)。Ωp、Ωs、αp、αsN、Ωc阶数NHa(p)29第二十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减αp=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解:(1)确定阶数N。例6.2.1注意要取大于或等于N的整数30第三十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四直接查表，由N=5，得到：

极点：-0.3090±j0.9511,-.8090±j0.5878;-1.0000得到Ha(p)或：直接查表,由N＝5，得到：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361（2）求Ha(p)31第三十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四

(3)将Ha(p)去归一化，得到Ha(s)将Ωc代入得到：B、将p=s/Ωc代入Ha(p)中，去归一化得到：A、先求3dB截止频率Ωc。

fs=12kHz有富裕量32第三十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四巴特沃斯滤波器的MATLAB实现33第三十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四IIR数字滤波器的Matlab仿真实现IIR模拟滤波器设计模拟滤波器到数字滤波器的转换

34第三十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四IIR数字滤波器设计设数字滤波器系统函数为模拟滤波器的系统函数为35第三十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四函数buttord的调用格式

函数buttord的调用格式为>>[n,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)

%设计数字Butterworth滤波器>>[n,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)

%设计模拟Butterworth滤波器其中，n为滤波器阶数，Wc为3dB截止频率。Lowpass:Wp=.1,Ws=.2Highpass:Wp=.2,Ws=.1Bandpass:Wp=[.2.7],Ws=[.1.8]Bandstop:Wp=[.1.8],Ws=[.2.7]36第三十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四函数butter的调用格式

函数butter的调用格式为>>[b,a]=butter(n,Wc,‘ftype’,‘s’)%设计模拟Butterworth滤波器>>[b,a]=butter(n,Wc,‘ftype’)%设计数字Butterworth滤波器其中‘ftype’定义滤波器的类型；

Wc为一个变量时，默认为低通，高通时‘high’Wc为二元矢量时，默认为带通，带阻时‘stop’37第三十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四例6.2.1的MATLAB程序wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Rp=2;As=30;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[B,A]=butter(N,wc,'s');k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));gridonxlabel(‘频率(kHz)’);ylabel(‘幅度(dB)’)axis([0,14,-40,5])38第三十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四例6.2.1的结果图幅度频率39第三十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四五、切比雪夫滤波器的设计方法切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的，称为切比雪夫Ⅰ型滤波器；在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫Ⅱ型滤波器。巴特沃斯滤波器的频率特性无论在通带或阻带都随频率而单调变化，因而如果在通带边缘满足指标，则在阻带内肯定会有富裕量，会超过指标的要求，因而并不经济，所以，更有效的办法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀分布在阻带内，或同时均匀分布在通带和阻带内，这样在同样的性能要求下，可以设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。40第四十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度特性41第四十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四切比雪夫Ⅱ型低通滤波器的幅度特性42第四十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四切比雪夫多项式

N

为切比雪夫多项式的阶数切比雪夫多项式的递推公式43第四十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四不同N值的切比雪夫多项式的曲线

切比雪夫多项式的零点在区间内；当时，曲线具有等纹波特性；当时，曲线按双曲余弦函数单调上升。

44第四十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四切比雪夫滤波器的幅度平方函数

ε是小于1的正数，称为纹波参数，是表示通带内纹波大小的一个参数，ε愈大，纹波也愈大。Ωp称为有效通带截止频率。频率通常对Ωp归一化，

45第四十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四六、其它类型的模拟滤波器Ellipse型：幅度平方函数为N阶雅可比椭圆函数Bessel型：幅度平方函数为贝塞尔函数切比雪夫型、椭圆型、贝塞尔型滤波器的MATLAB实现46第四十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四函数cheb1ord的调用格式

函数cheb1ord的调用格式为>>[n,Wpo]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs)

%设计数字切比雪夫Ⅰ型滤波器>>[n,Wpo]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)

%设计模拟切比雪夫Ⅰ型滤波器其中，n为滤波器阶数，Wpo为通带截止频率。47第四十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四函数cheby1的调用格式

函数cheby1的调用格式为>>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wpo，‘ftype’)%设计数字ChebyshevⅠ型滤波器>>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wpo,’ftype’,‘s')%设计模拟ChebyshevⅠ型滤波器其中，n为滤波器阶数，Rp为通带内的纹波系数，Wpo为通带截止频率。48第四十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四函数cheb2ord、cheby2的调用格式

[n,Wso]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs)[n,Wso]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)[b,a]=cheby2(n,Rs,Wso，‘ftype’)[b,a]=cheby2(n,Rs,Wso,’ftype’,‘s')调用参数为阻带截止频率49第四十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Rp=0.1;As=60;[N1,wp1]=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,'s');[B1,A1]=cheby1(N1,Rp,wp1,'s');subplot(2,2,1);fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B1,A1,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));gridonxlabel(‘频率(kHz)’);ylabel(‘幅度(dB)')axis([0,12,-70,5])例6.2.2的MATLAB程序切比雪夫Ⅰ型50第五十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四例6.2.2的MATLAB程序切比雪夫Ⅱ型wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Rp=0.1;As=60;[N1,ws1]=cheb2ord(wp,ws,Rp,As,'s');[B1,A1]=cheby2(N1,As,ws1,'s');subplot(2,2,2);fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B1,A1,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));gridonxlabel(‘频率(kHz)’);ylabel(‘幅度(dB)')axis([0,12,-70,5])51第五十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四例6.2.2结果图N=5切比雪夫Ⅰ型切比雪夫Ⅱ型52第五十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四函数ellipord的调用格式

函数ellipord的调用格式为>>[n,wpo]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs)

%设计椭圆数字滤波器>>[n,wpo]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)

%设计椭圆模拟滤波器其中，n为滤波器阶数，wpo为通带截止频率。53第五十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四函数ellip的调用格式

函数ellip的调用格式为>>[b,a]=ellip(n,Rp,Rs,wpo,’ftype’)%设计椭圆数字滤波器>>[b,a]=ellip(n,Rp,Rs,wpo,’ftype’,’s')%设计椭圆模拟滤波器其中，n为滤波器阶数，Rp为通带最大衰减，

Rs为阻带最小衰减，wpo为通带截止频率。54第五十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四例6.2.2椭圆模拟滤波器N=4wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Rp=0.1;As=60;[N,wpo]=ellipord(wp,ws,Rp,As,'s');[B,A]=ellip(N,Rp,As,wpo,'s');

又名考尔(Cauer)滤波器，是一种性能价格比最高的滤波器，应用非常广泛。55第五十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四6.3.2频率变换法设计高通、带通、带阻AF模拟高通、带通和带阻滤波器的设计方法

模拟低通滤波器指标模拟（高通、带通或带阻）滤波器频率变换设计模拟低通滤波器模拟（高通、带通或带阻）滤波器指标？？56第五十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四一、模拟低通到模拟高通的变换

G(p)H(q)57第五十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四频率、函数转换关系模拟低通到模拟高通的映射关系：频率变换公式：模拟高通滤波器的转移函数为：高通低通58第五十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四

(1)确定高通滤波器的技术指标：Ωph,Ωsh,αp,αs。(2)确定相应低通滤波器的技术指标：①λp=1；②；③通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减仍为αs。模拟高通滤波器的设计步骤(3)设计归一化低通滤波器G(p)。(4)求模拟高通59第五十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四例6.3.2设计巴特沃斯模拟高通滤波器,fh=4kHz,fs=1kHz，通带最大衰减为0.1dB，阻带最小衰减为40dB。解:①高通技术指标：fp=4kHz,αp=0.1dB;fs=1kHz,αs=40dB②低通技术指标：60第六十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四③设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器④求模拟高通61第六十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四巴特沃斯高通滤波器的MATLAB实现（1）实现函数：LP2HP调用格式：[bh,ah]=lp2hp(b,a,wph)wp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[B,A]=butter(N,wc,'s');wph=2*pi*4000;[BH,AH]=lp2hp(B,A,wph);

例6.3.2程序：62第六十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四例6.3.2程序结构图63第六十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四（2）直接用buttord和butter实现巴特沃斯高通滤波器的MATLAB实现例6.3.2程序：wp=2*pi*4000;ws=2*pi*1000;Rp=0.1;As=40;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[BH,AH]=butter(N,wc,'high','s');实际应用中常用该种方法64第六十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四二、模拟低通到模拟带通的变换

Ωpu：通带上截止频率Ωpl：通带下截止频率Ωsl：阻带下截止频率Ωsu：阻带上截止频率Bw=Ωpu-Ωpl:带通滤波器的带宽通带中心频率65第六十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四模拟低通到模拟带通的频率变换关系

66第六十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四模拟低通到模拟带通的频率变换关系

模拟带通滤波器的系统函数为：

频率变换关系函数变换关系67第六十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四(1)确定模拟带通滤波器的技术指标

Ωpu，Ωpl，Ωsu，Ωsl模拟带通的设计步骤(2)确定归一化低通滤波器的技术指标(3)设计归一化低通G(p)。(4)将G(p)转换成带通H(s)。实现函数：lp2bp68第六十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四设计巴特沃斯模拟带通滤波器，要求通带上、下边界频率分别为4kHz和7kHz，阻带上、下边界截止频率分别为2kHz和9kHz，通带内最大衰减αp=1dB，阻带最小衰减αs=20dB。例6.3.3解(见书P175）程序如下：wp=2*pi*[4000,7000];ws=2*pi*[2000,9000];Rp=1;As=20;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[BB,AB]=butter(N,wc,'s');

69第六十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四例6.3.3结果图：70第七十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四三、模拟低通到模拟带阻的变换

71第七十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四模拟低通到模拟带阻的频率变换关系

模拟带阻滤波器的系统函数为:

频率变换关系函数变换关系72第七十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四

设计巴特沃斯、椭圆模拟带阻滤波器，要求阻带上、下边界频率分别为4kHz和7kHz，通带上、下边界截止频率分别为2kHz和9kHz，通带内最大衰减αp=1dB，阻带最小衰减αs=20dB。例6.3.4见书P177实现函数：lp2bs73第七十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四设计思想：

s平面z平面模拟系统数字系统H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应

即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆因果稳定的Ha(s)映射到因果稳定的H(z) 即s平面的左半平面Re[s]<0 映射到z平面的单位圆内|z|<16.4脉冲响应不变法Ha(s)→H(z)74第七十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四设计方法：脉冲响应不变法阶跃响应不变法双线性变换法75第七十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四一、脉冲响应不变法变换原理使数字滤波器的单位取样响应h(n)与相应的模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)的取样值完全一样。

76第七十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四推导转换公式77第七十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四二、AF到DF的数字化方法极点：s＝sk极点：78第七十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四s和z的关系：ω和Ω的关系：r和σ的关系三、s平面到z平面的映射关系保证系统稳定保证频响逼近线性关系79第七十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四Ω以2Π/T为周期变化时，映射值不变，因此，由s面到z面，形成多对一的映射关系。三、s平面到z平面的映射关系80第八十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四注意问题由于s→z是多对一的映射关系，不是简单的一对一的关系，因此，不能用以下公式，将模拟滤波器转换为数字滤波器。×81第八十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四四、混叠失真现象82第八十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四混叠失真现象频谱无混叠频谱有混叠失真的位置83第八十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四减少失真的方法设计锐截止特性的AF，在Π/T处衰减越大越好。加大Ωs。注意：该方法无法完全消除失真。（1）任何AF滤波器都不可能严格带限；（2）h(n)=ha(t)|t=nT时，相当于开窗，截断后，时域有限，频域无限。84第八十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四五、脉冲响应不变法优缺点优点：缺点：保持线性关系：两者线性的关系使得 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器频谱产生混叠 只适用于设计限带的低通、带通滤波器，不适合用于设计高通和带阻的滤波器。h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t) 时域逼近良好85第八十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四当T很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正令：则：六、公式修正86第八十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四七、脉冲响应不变法设计IIRDF的步骤（1）确定数字低通滤波器的技术指标

（2）将数字滤波器的技术指标转化为模拟滤波器指标（３）按模拟指标设计模拟低通滤波器（4）将模拟滤波器Ha(s)转换成数字滤波器H(z)87第八十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四例6.4.1设模拟滤波器的系统函数为试利用脉冲响应不变法求数字滤波器的系统函数。解:将Ha(s)展开成部分分式得用代换得到88第八十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四取T=1，得到数字滤波器的频率响应为89第八十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四b=2;a=[143];[h,w]=freqs(b,a);subplot(2,1,1);plot(w,abs(h));xlabel('\Omega');ylabel('Ha(j\Omega)');gridonbz=0.318;az=[1-0.41770.01831];[hz,wz]=freqz(bz,az);subplot(2,1,2);plot(wz,abs(hz));xlabel('\omega');ylabel('H(ej\omega)');gridon90第九十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四模拟滤波器和相应的数字滤波器的频响91第九十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四例6.4.2设计低通数字滤波器，用巴特沃斯AF设计，要求用脉冲响应不变法设计。技术指标如下：解：(1）数字低通滤波器技术指标为：（2）转化为模拟低通滤波器的技术指标为：（3）由模拟指标设计巴特沃斯模拟低通滤波器Ha(s)（4）由模拟滤波器Ha(s)转换为数字滤波器H(z)92第九十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四程序清单[bz,az]=impinvar(b,a,fs)T=1;Fs=1/T;wp=0.2*pi/T;ws=0.35*pi/T;rp=1;rs=10;[N1,wc1]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s');[B1,A1]=butter(N1,wc1,'s');fk=0:Fs/2/512:Fs/2;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B1,A1,wk);subplot(2,2,1);plot(fk,20*log10(abs(Hk)));gridon；xlabel(‘f(Hz)’);ylabel(‘幅度(dB)')axis([0,0.5,-50,5]);title('(a)');93第九十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四程序清单[bz,az]=impinvar(b,a,fs)[Bz1,Az1]=impinvar(B1,A1,Fs);Hz=freqz(Bz1,Az1,wk);subplot(2,2,3);plot(wk/pi,20*log10(abs(Hz)));gridon;xlabel(‘\omega/\pi’);ylabel(‘幅度(dB)')axis([0,1,-50,5]);title('(b)');94第九十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四结果：模拟滤波器的幅频数字滤波器的幅频95第九十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四

变换原理Ｓ和Ｚ的变换关系

Ω和ω的关系数字化方法具体设计步骤本节内容小结：脉冲响应不变法设计ＩＩＲ数字低通滤波器96第九十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四6.5节的内容见另外一文件。97第九十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四6.6.2模拟滤波器到数字滤波器的转换设模拟滤波器系统函数为数字滤波器的系统函数为从模拟滤波器到数字滤波器的转换有两种方法，即脉冲响应不变法和双线性变换法。98第九十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四脉冲响应不变法

脉冲响应不变法:代换Ha(s)中的(s-sk)即可得到H(z)，从而将模拟滤波器转换为数字滤波器格式。可用函数impinvar实现，调用格式为>>[bz,az]=impinvar(b,a,fs)其中，fs为取样频率。99第九十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四双线性变换法双线性变换法:代换Ha(s)中的s即可得到H(z)，从而将模拟滤波器转换为数字滤波器格式。可用函数bilinear实现，调用格式为>>[zd,pd,kd]=bilinear(z,p,k,fs)其中，z，p，k和zd，pd，kd分别为s域和z域系统函数的零点、极点和增益。100第一百页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四例：模拟滤波器转换数字滤波器例6.6.2利用impinvar将一模拟低通滤波器变换成数字滤波器(取样频率为10Hz)，程序段为[bz,az]=impinvar(b,a,10);程序运行结果为bz=1.0e-006*-0.00000.13240.51920.12730az=1.0000-3.92165.7679-3.77090.9246101第一百零一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四总结：数字低通滤波器的设计数字低通指标模拟低通指标模拟低通滤波器Ha(s)数字低通滤波器H

(z)6.7IIR数字高通、带通、带阻滤波器的设计102第一百零二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四数字高通、带通、带阻滤波器的设计数字高通、带通、带阻指标模拟低通指标模拟低通滤波器数字高通、带通、带阻滤波器模拟高通、带通、带阻指标频率变换频率变换模拟高通、带通、带阻滤波器103第一百零三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四例6.7.1设计一个数字高通滤波器，要求通带下限频率，阻带上限频率为，通带衰减不大于3dB，阻带衰减不小于15dB。解:(1)数字高通滤波器的技术指标为104第一百零四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四(3)模拟高通指标频率变换为低通指标(2)模拟高通滤波器的技术指标，取T=1105第一百零五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四(5)将模拟低通转换成模拟高通N=2(4)设计模拟低通滤波器G(P)Ωc为高通的3dB截止频率该例中Ωc=Ωp106第一百零六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四用双线性变换法(6)将模拟高通转换为数字高通107第一百零七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四MATLAB实现lp2hpwp=0.8*pi;ws=0.44*pi;rp=3;rs=15;wph=2*tan(wp/2);wsh=2*tan(ws/2);wch=wph;wpl=1/wph;wsl=1/wsh;[n,wcl]=buttord(wpl,wsl,rp,rs,'s');[b,a]=butter(n,wcl,'s');[bh,ah]=lp2hp(b,a,wch);[bz,az]=bilinear(bh,ah,1）；……108第一百零八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3πrad到0.4πrad，通带内最大衰减为3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。解(1)数字带通滤波器技术指标为通带上截止频率ωu=0.4πrad

通带下截止频率ωl=0.3πrad

上阻带下截止频率ωs2=0.5πrad

下阻带上截止频率ωs1=0.2πrad

通带内最大衰减αp=3dB

阻带内最小衰减αs=18dB。例6.7.2109第一百零九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四

(2)模拟带通滤波器技术指标如下：T=1(通带中心频率)(带宽)

110第一百一十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四将以上边界频率对带宽B归一化，得到ηu=3.348,ηl=2.348;ηs2=4.608,ηs1=1.498;η0=2.804(3)模拟归一化低通滤波器技术指标：归一化阻带截止频率:归一化通带截止频率:λp=1,αp=3dB,αs=18dB111第一百一十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四

(4)设计模拟低通滤波器：查表得到归一化低通传输函数G(p),112第一百一十二页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四(5)

将归一化模拟低通转换成模拟带通：(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。113第一百一十三页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率ωl=0.19π,阻带下截止频率ωs1=0.198π，阻带上截止频率ωs2=0.202π，通带上限频率ωu=0.21π，阻带最小衰减αs=13dB，ωl和ωu处衰减αp=3dB。采用巴特沃斯型。

例6.7.3114第一百一十四页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四MATLAB实现低通到带通：lp2bp低通到带阻：lp2bs练习：写出相应的程序115第一百一十五页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四6.8IIR数字滤波器的优化设计零极点累试法频率最小均方误差设计时域直接设计间接设计的缺陷：对于任意幅度特性的滤波器不适合。116第一百一十六页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四6.8.1零极点累试法系统特性取决于系统零极点的分布。极点dr：影响频响的峰值位置、尖锐程度。零点cr：影响频响的谷值位置、凹下程度。117第一百一十七页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四零极点累试法步骤：按所要求设计的频响曲线，大致确定零、极点位置；按零、极点写出其系统函数；按系统函数画出其频响曲线；将之与所要求设计的频响曲线作比较，不满足要求时，移动零、极点修正，反复，直到满足要求为止。118第一百一十八页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四举例：设计带通滤波器，通带中心频率为w0＝π/2，w＝0，π时，幅度衰减到0。解：由其频响曲线有：119第一百一十九页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四图6.6.1例6.6.1图(a)零极点分布；(b)幅度特性120第一百二十页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四在确定零极点位置时要注意：(1)极点必须位于z平面单位圆内，保证数字滤波器因果稳定；(2)复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系数是实的。零极点累试法原则：121第一百二十一页，共一百三十三页，编辑于2023年，星期四6.8.2频率最小均方误差设计理想滤波器的频率响应：Hd(ejω)设计的滤波器的频率响应：H(ejω)频率最小均方误差设计方法就是寻找滤波器的频率响应H(ejω)，使最小

122第一百二十二页，共一百