第六章 离散概率分布

第六章离散概率分布2023/6/22商学院1第一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院2第6章离散概率分布

（DiscreteProbability

Distributions）

第1节随机变量（randomvariable）第2节离散型随机变量的概率分布（DiscreteProbabilityDistributions）第3节离散型随机变量的数学期望和方差（expectedvalueandvariance）第4节几种常用的离散型概率分布第二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院3随机变量

(randomvariables)一次试验的结果的数值性描述一般用X，Y，Z

来表示例如：投掷两枚硬币出现正面的数量根据取值情况的不同分为离散型随机变量（discreterandomvariables）和连续型随机变量（continuousrandomvariables）第三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院4离散型随机变量随机变量X取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来x1,x2，…以确定的概率取这些不同的值离散型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查100个产品一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售销售一辆汽车取到次品的个数顾客数销售量顾客性别0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性为0,女性为1第四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院5连续型随机变量

可以取一个或多个区间中任何值所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点连续型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查一批电子元件新建一座住宅楼测量一个产品的长度使用寿命(小时)半年后工程完成的百分比测量误差(cm)X00

X100X0第五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院6离散型随机变量的概率分布(probabilitydistribution)第六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院7离散型随机变量的概率分布列出离散型随机变量X的所有可能取值列出随机变量取这些值的概率通常用下面的表格来表示X=xix1，x2

，…，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…，pn

P(X=xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数pi0；第七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院8离散型随机变量的概率分布

(例题分析)【例】一部电梯在一周内发生故障的次数X及相应的概率如下表故障次数X=xi0123概率P(X=xi)pi0.100.250.35一部电梯一周发生故障的次数及概率分布

(1)确定的值(2)求正好发生两次故障的概率(3)求故障次数多于一次的概率(4)最多发生一次故障的概率第八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院9离散型随机变量的概率分布

(例题分析)解：(1)由于0.10+0.25+0.35+

=1所以，

=0.30

(2)P(X=2)=0.35(3)P(X2)=0.10+0.25+0.35=0.70(4)P(X1)=0.35+0.30=0.65第九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院10离散型随机变量的数学期望和方差第十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院11

我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律。但在许多实际问题中,这样的全面描述并不使人感到方便。

已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了。平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高。如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握,又难以迅速地作出判断。第十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院125416212817103只数Nk3210-1-2日走时误差xk则抽查到的100只手表的平均日走时误差为即例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手表的日走时误差,其数据如表:第十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院13

如果另外再抽验100只手表,每作一次这样的检验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误差的平均值。由关于频率和概率关系的讨论知,理论上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的平均值才是理论上(也是真正)的平均值。

这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念。第十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院14离散型随机变量的数学期望

(expectedvalue)离散型随机变量X的所有可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和描述离散型随机变量取值的集中程度记为或E(X)计算公式为第十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院15所以A的射击技术较B的好。0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称例:有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？解A射击平均击中环数为B射击平均击中环数为第十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院16例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律：

易知E(XA)=E(XB)=0。由数学期望无法判别两种手表的优劣。但直觉告诉我们A优于B,怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢?第十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院17分析原因：

A手表之所以优于B手表,是因为A手表的日走时较B手表稳定。其日走时与其日平均误差的偏离程度小。

研究随机变量与其均值的偏离程度是有必要的。怎么样去度量这个偏离程度呢?(1)xk-E(X)表示xk与E(X)之间的偏差;(2)E[X-E(X)]不能反映X与E(X)之间的整体偏差;(3)E{|X-E(X)|}可以度量X与E(X)之间的整体偏差,但运算不方便;(4)E{[X-E(X)]2}可以度量X与E(X)之间的整体偏差,且运算也较方便。第十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院18离散型随机变量的方差

(variance)随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为2

或D(X)描述离散型随机变量取值的分散程度计算公式为方差的平方根称为标准差(standarddeviation)，记为或D(X)第十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院19离散型数学期望和方差

(例题分析)【例】一家电脑配件供应商声称，他所提供的配件100个中拥有次品的个数及概率如下表次品数X=xi0123概率P(X=xi)pi0.750.120.080.05每100个配件中的次品数及概率分布求该供应商次品数的数学期望和标准差

第十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院20TheprobabilitydistributionfordamageclaimspaidbytheNewtonAutomobileInsuranceCompanyoncollisioninsurancefollows.payment0500100030005000800010000probability0.850.040.040.030.020.010.01第二十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院21a.Usetheexpectedcollisionpaymenttodeterminethecollisioninsurancepremiumthatwouldenablethecompanytobreakeven.b.Theinsurancecompanychargesanannualrateof$520forthecollisioncoverage.Whatistheexpectedvalueofthecollisionpolicyforapolicyholder?(Hint:Itistheexpectedpaymentsfromthecompanyminusthecostofcoverage.)Whydoesthepolicyholderpurchaseacollisionpolicywiththisexpectedvalue?第二十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院22常用离散型概率分布离散型概率分布两点分布二项分布泊松分布超几何分布第二十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院23两点分布一个离散型随机变量X只取0和1两个可能的值它们的概率分布为

或也称0-1分布第二十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院24两点分布

(例题分析)

【例】已知一批产品的次品率为p＝0.04，合格率为q=1-p=1-0.04=0.96。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为X=xi01P(X=xi)=pi0.050.950.5011xP(x)第二十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院25二项试验

(伯努利试验)

二项分布与伯努利试验有关贝努里试验满足下列条件一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败”“成功”是指我们感兴趣的某种特征一次试验“成功”的概率为p，失败的概率为q=1-p，且概率p对每次试验都是相同的试验是相互独立的，并可以重复进行n次在n次试验中，“成功”的次数对应一个离散型随机变量X

第二十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院26 例：1.独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果：正面，反面，如果是不放回抽样呢？ 2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验只有两个结果： 3.从52张牌中有放回地取n次，设A={取到红牌}，则每次只有两个结果：第二十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院27设A在n重贝努利试验中发生X次，则并称X服从参数为p的二项分布，记推导：设Ai={第i次A发生}，先设n=3第二十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院28二项分布

(Binomialdistribution)重复进行n

次试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布，记为X~B(n，p)设X为n次重复试验中出现成功的次数，X取x

的概率为第二十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院29例：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。 考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人负责20台；其二是由3个人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。第二十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院30第三十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院31

例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。

(1)求Y的概率分布律；

(2)求恰好遇到2次红灯的概率。

解：这是三重贝努利试验

第三十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院32

例：某人独立射击n次，设每次命中率为p，

0<p<1，设命中X次，(1)求X的概率分布 律；(2)求至少有一次命中的概率。

解：这是n重贝努利试验同时可知：上式的意义为：若p较小，p≠0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。第三十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院33

例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验， 从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大 于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件 中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p． 求这批产品能被接受的概率L(p)．L(P)=P(A)解： 设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数； 则X～b(10,p)，Y～b(5,p)，且{X=i}与{Y=j}独立。A={接受该批}。第三十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院34二项分布对于P(X=x)0，x=1,2,…,n，有同样有当n=1时，二项分布化简为第三十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院35二项分布

(例题分析)

【例】已知一批产品的次品率为4%，从中任意有放回地抽取5个。求5个产品中：(1)没有次品的概率是多少？(2)恰好有1个次品的概率是多少？(3)有3个以下次品的概率是多少？第三十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院36Auniversityfoundthat20%ofitsstudentswithdrawwithoutcompletingtheintroductorystatisticscourse.Assumethat20studentsregisteredforthecourse.a.Computetheprobabilitythattwoorfewerwillwithdraw.b.Computetheprobabilitythatexactlyfourwillwithdraw.c.Computetheprobabilitythatmorethanthreewillwithdraw.d.Computetheexpectednumberofwithdrawals.第三十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院37泊松分布

(Poissondistribution)1837年法国数学家泊松(D.Poisson，1781—1840)首次提出用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布泊松分布的例子一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数一定时间内，到车站等候公共汽车的人数一定路段内，路面出现大损坏的次数一定时间段内，放射性物质放射的粒子数一匹布上发现的疵点个数一定页数的书刊上出现的错别字个数

第三十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院38泊松分布

(概率分布函数)—

给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数e=2.71828x

—给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数第三十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院39泊松分布

(例题分析)【例】假定某航空公司预订票处平均每小时接到42次订票电话，那么10分钟内恰好接到6次电话的概率是多少？解：设X=10分钟内航空公司预订票处接到的电话次数

第三十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院40Airlinepassengersarriverandomlyandindependentlyatthepassenger-screeningfacilityatamajorinternationalairport.Themeanarrivalrateis10passengersperminute.a.Computetheprobabilityofnoarrivalsinaone-minuteperiod.b.Computetheprobabilitythatthreeorfewerpassengersarriveinaone-minuteperiod.c.Computetheprobabilityofnoarrivalsina15-secondperiod.d.Computetheprobabilityofatleastonearrivalina15-secondperiod.第四十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院41泊松分布

(作为二项分布的近似)当试验的次数n

很大，成功的概率p

很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即实际应用中，当P0.05，n>20，np5时，近似效果良好第四十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2023/6/22商学院42例：一个由500人组成的团体，其中恰好有X个人在元旦过生日的可能性有多大？X二项泊松00.253630.25413210.3484270.34813620.238850.23845630.1089370.10888740.0371890.03729150.0101360.010217