第八章系统频率响应及其仿真

第八章系统频率响应及其仿真第一页，共二十九页，编辑于2023年，星期四第八章系统频率响应及其仿真频率响应分析方法的基本思想是把控制系统中的各个变量看成是由许多不同频率的正弦信号叠加而成的信号；各个变量的运动就是系统对各个不同频率的信号的响应的总和。这种源于通讯科学的分析方法，于20世纪30年代引进到控制工程后，立即得到广泛应用。这主要是由于频率响应法具有鲜明的物理意义，能够大大简化复杂机构的动力学分析和设计，更能够启发人们区分影响系统的主要因素和次要因素；其次还可以通过实验方法比较准确地求出系统的数学模型并可减少手工计算量。古典控制理论实际上就是以频率响应法分析可用常系数线性微分方程描述的SISO系统。由于许多工业过程都可以近似抽象成线性定常系统，因此频率响应法在控制工程中仍然是一种重要的方法。第二页，共二十九页，编辑于2023年，星期四第八章系统频率响应及其仿真8.1频率特性的一般概念8.1.1频率响应与频率特性频率响应：系统对谐波输入的稳态响应。对于线性系统，当输入为：xi(t)=Xisint

其稳态输出为同频率的正弦信号：

xo(t)=Xo()sin[t+()]第三页，共二十九页，编辑于2023年，星期四8.1频率特性的一般概念8.1.1频率响应与频率特性频率特性：是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。可表示为

频率特性还可表示为因此频率特性还可再分为

实频特性：

U（）虚频特性：

V（）幅频特性：相频特性：第四页，共二十九页，编辑于2023年，星期四第八章系统频率响应及其仿真8.1频率特性的一般概念8.1.2Nyquist图与Bode图Nyquist图利用封闭的Nyquist轨迹可进行系统稳定性的分析，即Nyquist稳定判据。Nyquist图不便于分析频率特性中某个环节对频率特性的影响。频率特性G(j)是频率的复变函数，可以在复平面上用一个矢量来表示。该矢量的幅值为，相角为。当从0变化时，G(j)的矢端轨迹被称之为频率特性的极坐标图或Nyquist图。第五页，共二十九页，编辑于2023年，星期四第八章系统频率响应及其仿真8.1频率特性的一般概念8.1.2Nyquist图与Bode图Bode图把频率特性函数G(j)的角频率和幅频特性都取对数，则称之为对数幅频特性和对数相频特性，其中：对数幅频特性：（单位为分贝db）对数相频特性：（单位为度）其频率轴采用对数分度lg。则以lg为横坐标，L(G(j))和(G(j))为纵坐标绘制的曲线分别称之为对数幅频特性图和对数相频特性图，统称为系统的Bode图。Nyquist稳定判据引申到对数频率特性中即成为对数判据，因而也可以用Bode图分析系统的稳定性。第六页，共二十九页，编辑于2023年，星期四第八章系统频率响应及其仿真8.1频率特性的一般概念8.1.2Nyquist图与Bode图稳定裕度利用系统开环频率特性的稳定裕度，可以分析闭环系统的稳定性。稳定裕度又分为幅值裕度和相位裕度。在Bode图上表示为：幅值裕度(db)：相位裕度：【说明】g为相位穿越频率,即开环相频特性曲线穿越–1800线时的频率.c为幅值穿越频率,即开环幅频特性曲线穿越0分贝线时的频率.在工程上通常要求kg>6db,=30o~60o第七页，共二十九页，编辑于2023年，星期四第八章系统频率响应及其仿真8.2频率特性的MATLAB函数8.2.1频率响应计算函数MATLAB提供了用于计算线性时不变系统的频率响应的函数，其调用格式为h=freqs(b,a,w)

指定正实角频率向量，返回响应值。freqs(b,a,w)

绘制对指定角频率向量的幅频和相频特性曲线.其中b、a均为系统传递函数的分子、分母的系数向量。在返回指令值的指令中，需调用abs（）和angle（）求取幅频和相频特性。第2种调用可直接绘制系统的幅频和相频特性曲线，其中幅频特性曲线为全对数坐标，而相频特性曲线为半对数坐标，并且可以不指定频率向量。第八页，共二十九页，编辑于2023年，星期四

【例2】频率响应演示：绘制系统频率响应曲线。num=[1111];den=[11540];w=0.05:0.01:0.5*pi;%产生频率向量freqs(num,den,w)%指定频率向量freqs(num,den,w)%不指定频率向量指定频率向量不指定频率向量第九页，共二十九页，编辑于2023年，星期四8.2频率特性的MATLAB函数8.2.2频率特性图示法Nyquist图nyquist(sys)基本调用格式绘制sys的Nyquist图nyquist(sys,w)指定频率范围w，绘制sys的Nyquist图nyquist(sys1,sys2,…,sysn)在同一坐标系内绘制多个模型的Nyquist图nyquist(sys1,sys2,…,sysn,w)在同一坐标系内绘制多个模型对指定频率范围的Nyquist图

【说明】MATLAB中频率范围w除可直接用冒号生成法生成外，还可由两个函数给定：logspace(w1,w2,N)产生频率在w1和w2之间N个对数分布频率点；linspace(w1,w2,N)产生频率在w1和w2之间N个线性分布频率点；N可以省略。调用nyquist()指令若指定w，则w仍然必须是正实数组,MATLAB将自动绘制与-w对应的Nyquist轨迹。所绘Nyquist图的横坐标为系统频率响应的实部,纵坐标为虚部.第十页，共二十九页，编辑于2023年，星期四【例3】系统开环传递函数为，绘制当K=5、30时系统的开环频率特性Nyquist图，并判断系统的稳定性。w=linspace(0.5,5,1000)*pi;sys1=zpk([],[0-10-2],100);%建立模型1,K=5sys2=zpk([],[0-10-2],600);%建立模型2,K=30figure(1),nyquist(sys1,w);%绘Nyquist图1title('SystemNyquistChartswithK=5')figure(2),nyquist(sys2,w)%绘Nyquist图2title('SystemNyquistChartswithK=30')K=5K=30由于系统开环稳定,因此K=5时系统是稳定的(开环Nyquist曲线没有包围(-1,j0)点,即图中的“+”号);而K=30时系统是不稳定的。

第十一页，共二十九页，编辑于2023年，星期四第八章系统频率响应及其仿真8.2频率特性的MATLAB函数8.2.2频率特性图示法Bode图bode(sys)基本调用格式，绘制Bode图bode(sys,w)指定频率范围，绘制Bode图bode(sys1,sys2,…,sysn)

在同一图内,绘制多个模型的Bode图[mag,phase,w]=bode(sys)返回响应的幅值和相位及对应的,不绘制Bode图bodemag(sys)

仅绘制幅频bode图[说明]当不指定频率范围时，bode()将根据系统零极点自动确定频率范围。

第十二页，共二十九页，编辑于2023年，星期四【例4】系统开环传递函数为sys1=zpk([],[0-10-2],100);%建立模型1，K=5sys2=zpk([],[0-10-2],600);%建立模型2，K=30figure(1),bode(sys1)%绘Bode图1title('SystemBodeChartswithK=5'),gridfigure(2),bode(sys2)%绘Bode图2title('SystemBodeChartswithK=30'),grid绘制当K=5、30时系统的开环频率特性Bode图，并判断系统的稳定性K=5K=30K=5时,因为c<g

所以系统闭环稳定；而当K=30时,c>g,所以系统闭环不稳定。第十三页，共二十九页，编辑于2023年，星期四第八章系统频率响应及其仿真8.2频率特性的MATLAB函数8.2.2频率特性图示法计算幅值、相位裕度

margin(sys)为基本调用，用于绘制Bode图，并在图中标出幅值裕度和相位裕度。[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)返回幅值裕度Gm，相位裕度Pm，相位穿越频率Wcg和幅值穿越频率Wcp，不绘制Bode图。[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,w)根据给定幅频向量mag，相频向量phase和对应的频率向量w，计算并返回Gm，Pm，Wcg和Wcp。[说明]Gm=1/|G(jWg)|是Nyquist图对应的幅值裕度，单位不是分贝。第十四页，共二十九页，编辑于2023年，星期四sys1=zpk([],[0-10-2],100);%建立模型1sys2=zpk([],[0-10-2],600);%建立模型2[kg1,r1,wg1,wc1]=margin(sys1)[kg2,r2,wg2,wc2]=margin(sys2)【例5】计算例4中K=5和K=30时系统的幅值与相位裕度。由于K=30时，相位裕度小于零，幅值裕度小于1（即小于零分贝），因此系统不稳定。kg1=2.4000r1=19.9079wg1=4.4721wc1=2.7992kg2=0.4000r2=-18.3711wg2=4.4721wc2=6.8885（K=5）（K=30）第十五页，共二十九页，编辑于2023年，星期四第八章系统频率响应及其仿真8.3系统频域校正8.3.1频域校正的基本方法控制系统的频域校正或频域设计是根据给定的频域性能指标,如稳定裕度、频宽、谐振频率等进行控制器的设计，是古典控制理论的一种主要设计方法。控制器的频域校正有以下几种形式相位滞后校正相位超前校正相位滞后-超前校正PID校正本节以相位滞后校正为例，介绍应用MATLAB进行系统校正的方法。第十六页，共二十九页，编辑于2023年，星期四8.3.2相位滞后校正相位滞后校正装置相位滞后校正可以使系统具有希望的相位裕度和低频增益(稳态误差)，校正装置的传递函数为相位滞后校正设计思想先确定增益Kc使系统具有希望的稳态精度，再确定校正装置的转折频率使系统具有希望的相位裕度。Kc也可合并到G(s)中。相位滞后校正设计步骤根据稳态误差计算Kc;根据Kc下原系统开环幅、相频曲线，寻找满足要求相位裕度 所对应的频率作为幅值穿越频率c;根据c确定校正环节的转折频率：即校正环节最大转折频率为幅值穿越频率的1/10第十七页，共二十九页，编辑于2023年，星期四【例】设校正前系统开环传递函数为，设计滞后校正控制器使系统相位裕度为600，开环增益为49。Gp=tf(1,[2,1])*tf(1,[0.5,1])*tf(1,[0.05,1])*4;%改变增益前系统开环传递函数模型Gp1=Gp*49/4;%改变增益后系统开环传递函数模型figure(1),margin(Gp)

%改变增益前系统开环Bode图figure(2),margin(Gp1)%改变增益后系统开环Bode图计算改变增益前后，系统开环对数频率特性。K=4K=49第十八页，共二十九页，编辑于2023年，星期四计算改变增益后，具有希望相位裕度的系统开环对数幅频穿越频率wc.考虑到校正环节在幅值穿越频率wc处相位滞后的影响，增加100的预补偿量，则W=logspace(-1,2,100);%生成对数频率向量[mag,ph]=bode(Gp1,W);%产生系统幅频、相频矩阵<2>mag=reshape(mag,100,1);%将幅频矩阵变为幅频向量<3>ph=reshape(ph,100,1);%将相频矩阵变为相频向量<4>Wc=interp1(ph,W,-110)%计算相位为-1100时的频率<5>Wc=1.4189即在幅值穿越频率c处，系统开环频率特性的相位为-1100。[说明]<2>中bode()函数返回的幅频mag、相频ph计算结果均为11100的三维矩阵，需要将其转化换为向量，以便于数值计算<5>中interp1()为插值函数，用于确定ph中与-1100对应的角频率c.第十九页，共二十九页，编辑于2023年，星期四确定校正环节参数在c处校正环节的对数幅值应满足：一阶微分环节转折频率1/T1可根据相位裕度的变化进行调整。mag110=interp1(ph,mag,-110);%计算c处幅值（非分贝值）Beta=mag110%求取T1=6/Wc;BT1=Beta*T1;%计算转折频率Gc=tf([T1,1],[BT1,1])%建立校正环节模型Beta=13.2494Transferfunction:4.228s+1-----------56.02s+1第二十页，共二十九页，编辑于2023年，星期四系统校核sys=Gc*Gp1

%建立串联校正环节系统开环传递函数模型figure(3)margin(sys)

%计算幅值裕度、相位裕度、相位穿越频率、幅值穿 越频率，并绘图由图可知，校正后系统的幅值裕度为22.8dB，相位裕度为60.80，满足要求。第二十一页，共二十九页，编辑于2023年，星期四时间响应比较

figure(4)subplot(2,1,1),step(feedback(Gp1,1,-1))%绘制校正前系统阶跃响应曲线subplot(2,1,2),step(feedback(sys,1,-1),'r')%绘制校正后系统阶跃响应曲线下图为校正后系统阶跃响应曲线，与上图未校正的系统阶跃响应相比，系统的动态特性明显改善。第二十二页，共二十九页，编辑于2023年，星期四第八章系统频率响应及其仿真8.4系统分析图形用户界面MATLAB控制工具箱提供的线性时不变(LTI)系统仿真的图形用户分析界面—LTIViewer，可更为直观地分析系统的时域、频域响应。其使用也很简单，只需在指令窗中建立起要分析的系统模型;在指令窗中键入：ltiview;即可调出LTIViewer窗口，进行分析。第二十三页，共二十九页，编辑于2023年，星期四【例6】LTI-Viewer使用演示。设单位负反馈系统的开环传递函数

建立MATLAB系统模型

Gk=zpk([-5-40],[0-0.1-20-20],20);sys=feedback(Gk,1,-1);执行以上指令，系统模型sys便存入MATLAB工作空间。在指令窗中输入：>>ltiview即可进入LTI-Viewer可视化仿真环境，如图。

第二十四页，共二十九页，编辑于2023年，星期四在进入LTI-Viewer后，点击菜单FILE，选择Import项后，弹出一个装入LTI系统的窗口如图所示。该窗口将显示工作空间或指定目录的文件夹内所有的系统模型对象

第二十五页，共二十九页，编辑