2023届广东省新高考复习3立体几何解答题提分计划含解析

2023届广东省新高考复习

专题3立体几何解答题专项提分计划

1.(2023•广东惠州•统考模拟预测)如图，在四棱锥尸中，底面Z88为正方形,

尸4_L底面/BCD,P4=AB=2,E为线段尸8的中点，F为线段8c上的动点.

(1)证明：平面/EF_L平面P8C；

(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为平，求点P到平面AEF的距离.

2.(2022・广东广州•统考一模)如图多面体/8CDE/中，四边形是菱形，

ZABC=60°,E/_L平面EAHBF,AB=AE=2BF=2

(1)证明：平面ENCJ•平面EFC；

(2)在棱EC上有一点M,使得平面M3。与平面/8CO的夹角为45。，求点M到平面

BCF的距离.

3.(2022・广东・统考模拟预测)某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个

数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计

了一道数学探究题，如图1,E、F、G分别是边长为4的正方形的三边CD、的

中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形即G裁掉，再将剩下的五边形"8CFG沿着

线段EF折起，连接/8、CG就得到了一个“刍薨”(如图2)。

图1图2

(1)若。是四边形E8C尸对角线的交点，求证：/O//平面GCF；

2

(2)若二面角A-EF-B的大小为:兀，求平面OAB与平面ABE夹角的余弦值.

4.(2022•广东中山・中山纪念中学校考模拟预测)如图，C是以48为直径的圆。上异

于48的点，平面P4C_L平面/8C,PA=PC=AC=2,BC=4,旦尸分别是尸仁尸^的

中点，记平面/瓦1与平面Z8C的交线为直线/.

(2)直线/上是否存在点2,使直线P。分别与平面/所，直线EF所成的角互余？若存

在，求出|，。|的值；若不存在，请说明理由.

5.(2022•广东韶关•统考一模)已知矩形/8CO中，AB=4,BC=2,E是CD的中点,

如图所示，沿BE将ABCE翻折至△8FE,使得平面平面

(1)证明：BF工AE:

(2)若丽=2丽(0<2<1)是否存在/I,使得PF与平面OE尸所成的角的正弦值是,？

若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.

6.(2022•广东广州•统考一模)如图，已知四棱锥P-Z8CD的底面N8CD是菱形，平

面「8c人平面Z8CZ),N/CD=30',E为N。的中点，点尸在尸/上，AP=3AF.

p

A

(1)证明：PCH平面BEF；

Q)若NPDC=NPDB,且尸。与平面/BCD所成的角为45。，求平面NEE与平面8£厂夹

角的余弦值.

7.(2023•广东广州•统考二模)在四棱锥P-48CO中，平面底面N8CD,底面

Z8C。是菱形，E是的中点，PA=PD,AB=2,ZABC=60°.

(1)证明：PB〃平面E4c.

(2)若四棱锥的体积为地，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值.

3

8.(2023・广东肇庆•统考二模)如图，三棱柱44G中，侧面NCG4为矩形,

4BJ.AC且4B=AC=2,D为B©的中点，AA、=B1C=26.

⑴证明：/C"/平面48。;

(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

9.(2022・广东广州・华南师大附中校考三模)如图所示，已知矩形N8CD和矩形4JEF

所在的平面互相垂直，AD=2AF=2AB=2,M,N分别是对角线8。，4E上异于端点

的动点，且6"=4V.

FE

BC

(1)求证：直线MN〃平面CDE：

(2)当MN的长最小时，求二面角A-MN-D的正弦值.

10.(2022・广东深圳•深圳市光明区高级中学校考模拟预测)如图，48是圆。的直径,

点C是圆O上异于48的点，直线PC，平面/8C,瓦尸分别是我，尸C的中点.

(1)记平面与平面N8C的交线为/,求证：直线///平面P/C；

(2)若PC=/5=2,点C是筋的中点，求二面角E-/—C的正弦值.

11.(2022•广东・统考模拟预测)如图，在直四棱柱/8CD-/'8'C'D'中，底面Z8CO是

直角梯形，AD//BC,ADLCD,AD=RD=3BC=3,4c与BD交于■点、O.

(1)求证：8。4平面/CC'；

⑵若。0=1,求二面角C-/C'-。'的余弦值.

12.（2022・广东•校联考模拟预测）如图，在三棱柱N5C-48c中，“8C为边长为2

的正三角形，。为BC的中点，AAt=2,且/£<%=60。，平面8片C。，平面/8C.

(1)证明：C.DLAB.

（2）求平面AtACt与平面ACQ所成角的正弦值.

13.（2022•广东佛山•校联考模拟预测）如图，三棱柱/8C-48c中，侧面5CC£是

菱形，ZSCC,=60°,AC=AB.

（1）证明：AQ1BC.

Q）若AB=BB、=2,AB、=M，求二面角4-用的余弦值.

14.（2022•广东汕头•统考三模）如图，在四棱锥尸中，四边形为菱形，

PD=AD=2,E,E分别是以，PD的中点，过E,F作平面a交线段尸8,PC分别于

点G,H,且两=/.而

⑴求证：GH//BC-,

⑵若平面ABCD,且二面角A-PD-C为120°,二面角E-FG-P的正弦值为叵,

4

求f的值.

15.(2022•广东茂名•统考模拟预测)某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明

的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方

体/8CO-44G。中，AB=A,AD=AAX=2,圆台下底圆心。为的中点，直径为2,

圆与直线交于民F，圆台上底的圆心。|在4名上，直径为1.

(1)求4c与平面4口》所成角的正弦值;

(2)圆台上底圆周上是否存在一点P使得FPL/G，若存在，求点P到直线4月的距离,

若不存在则说明理由.

16.(2022•广东韶关•校考模拟预测)如图，在四棱锥尸-N8CD中，底面/8CZ)是平行

四边形，PC平面N8C。，BDLAP,BD=BC=1.

(1)证明：平面PBD；

(2)若PB与平面尸/。所成角为:，求二面角8-PC-D的余弦值.

17.(2022•广东•统考三模)如图，已知四棱锥尸-48CD的底面为矩形,AB=2,AD=242,

顶点P在底面ABCD的正投影为力。的中点O.

(1)求证：平面/MC_L平面尸08

(2)若平面R18与平面PC。的交线为/,PD=2,求/与平面以C所成角的大小.

18.(2022・广东深圳•深圳市光明区高级中学校考模拟预测)在三棱柱/8C-44G中,

四边形44圈8是菱形，AB1AC,平面44圈8,平面45C,平面44G与平面/C的交

线为/.

(1)证明：AtBlB,C；

(2)已知NABB、=60。，48=ZC=2,/上是否存在点P,使A.B与平面ABP所成角为60。？

若存在，求的长度；若不存在，说明理由.

19.(2022•广东•统考模拟预测)在四棱锥尸中，底面ABCD为直角梯形，ABHCD,

AB1BC,PD=BC=CD=2AB=2AP=2,E为C。的中点，点P在平面内的

投影厂恰好在直线HE上.

(1)证明：CD工4P.

(2)求直线PB与平面PAD所成角的正弦值.

20.(2022・广东广州•统考二模)如图，已知四边形是边长为2的菱形,

ZABC=60°,EF〃AC,AC=2EF,平面AEFC1平面ABCD,AE=AB.

⑴求证：平面8皮)，平面/EFC；

(2)若ZEJ./C,求二面角Z-b-Q的余弦值.

21.(2022•广东茂名•统考二模)如图所示的圆柱中，是圆。的直径，月4，CC、为

圆柱的母线，四边形N8CZ)是底面圆。的内接等腰梯形，且CZ)=8C=5=5/4,

E,尸分别为4。，CG的中点.

⑴证明：所〃平面N8CD；

(2)求平面AA}D与平面QEB所成锐二面角的余弦值.

22.(2022・广东茂名•统考模拟预测)如图在斜三棱柱N8C-44G中,

=/8=ZC=8C=12,4/C=60。，侧面ZCC/，底面/8C,点/，N分别为

45,8C的中点，点。为线段4C上一点，且4D="c.

⑴求证：〃平面4°N；

(2)求二面角M-/N-C的正弦值.

23.(2022•广东梅州•统考二模)如图①，在直角梯形力BCD中,ABLAD,AB//DC,

AB=2,AD=CD=4,尸分别是ZO,3c的中点，将四边形/8FE沿EF折起，

如图②，连结BC,AC.

(1)求证：EF1AD-,

(2)当翻折至4C=2新时，设。是EF的中点，P是线段/C上的动点，求线段尸。长的

最小值.

24.(2022•广东茂名•统考模拟预测)如图，在三棱锥N-8CQ中，"8C是正三角形,

平面/8C1平面BCD,BDLCD,点、E,尸分别是8C,。。的中点.

(1)证明：平面/CD_L平面/EF；

(2)若Z88=60。，点G是线段8D上的动点，问：点G运动到何处时，平面血与平

面ZC。所成的锐二面角最小.

25.(2022・广东肇庆•统考模拟预测)如图，在三棱柱N5C-48c中，平面/8C上平

面ACC/,ZABC=9O,AB=BC,四边形/CC/是菱形，N//C=60。，。是/C的

中点.

(1)证明：8c1平面

(2)求二面角/-0区-G的余弦值.

26.(2022・广东江门•统考模拟预测)如图,在正四棱锥S-Z58中,AC^BD=O,

SA=CAB，尸在侧棱S。上，S£>_L平面21c.

s

D

(1)求平面“8与平面P/C所成的锐二面角的余弦值:

(2)侧棱SC上是否存在一点E,使得5E〃平面P/C?若存在，求SE:EC的值；若不存在,

请说明理由.

27.(2023•广东茂名•统考一模)如图所示，三棱锥尸-ABC,8c为圆。的直径，力是

弧死上异于8、C的点.点O在直线/C上，0。〃平面£为PC的中点.

(1)求证：£>£//平面以8：

(2)若PA=PB=PD=AB=AD=4,求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.

28.(2022・广东茂名•统考二模)如图，四棱锥P-48CO的底面是等腰梯形，

BC=2AD,乙I8C=6O°,E是棱尸8的中点，尸是棱尸C上的点，且4、D、E、/四点

共面.

(1)求证：F为PC的中点；

(2)若△为。为等边三角形，二面角P--8的大小为120。，求直线8。与平面4。尸£

所成角的正弦值.

29.(2022・广东•统考一模)如图，/8C。为圆柱00’的轴截面，E尸是圆柱上异于NO,

8c的母线.

(1)证明：BE上平面DEF；

(2)若Z8=8C=2,当三棱锥8-QE尸的体积最大时，求二面角8-OE-E的余弦值.

30.(2022•广东揭阳•普宁市华侨中学校考二模)如图，在四棱锥P-/BCD中，底面

Z8CZ)为直角梯形，其中AD=3,AB=BC=2,尸4_1平面/BCD,且P/=3,

点M在棱尸。上，点N为2c中点.

BNC

(1)证明：若DM=2MP,直线MV〃平面P/8；

(2)求二面角C-PO-N的正弦值；

(3)是否存在点必，使M0与平面PC。所成角的正弦值为近？若存在求出之值；若

不存在，说明理由.

2023届广东省新高考复习

专题3立体几何解答题专项提分计划

1.（2023•广东惠州•统考模拟预测）如图，在四棱锥尸-488中，底面/8CD为正方形，底面/8CD,

PA=AB=2,E为线段尸8的中点，F为线段8C上的动点.

⑴证明：平面平面P8C；

（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为平，求点P到平面AEF的距离.

【答案】（1）证明见解析

喈.

【分析】（1）利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量数量积等于零证明:

（2）利用坐标运算求点到平面的距离，或者用等体积法的思想求解.

【详解】（1）方法一：

因为尸底面/8C。，8（7匚平面/8。。，

所以「月_L8C.

因为N8CZ）为正方形，所以/8/8C,

又因为尸/口/8=4,P/u平面均8,平面R18,

所以8c上平面PAB.

因为ZEu平面所以/E_L8C.

因为尸N=E为线段P5的中点，

所以XEJ.尸8,

又因为P8c8C=8,PBu平面PBC,8Cu平面P8C,

所以/E_L平面尸8C.

又因为/Eu平面NEF,

所以平面/EFJ.平面PBC.

方法二：

因为P/，底面/BCD,/Mu平面B48,

所以平面P/8_L底面N8CD

又平面尸/5c底面48cz)=/8,BC1AB,8Cu平面/8CA,

所以8cl平面PAB.

因为/Eu平面P48,所以/E_L8C.

因为尸N=E为线段的中点，所以4E1P8.

因为PBcBC=B,P8u平面P8C,8Cu平面P8C,

所以/E_L平面PBC,

又因为4Eu平面NEF,

所以平面AEF1平面PBC

因为P/1底面/8C。，ABA.AD,

以/为坐标原点，以刀，而，万的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

z

则力(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),。(0,2,0),尸(0,0,2),E(l,0,1),

设3尸=(e[0,2D,则尸(2,f,0),

所以存=(1,0,1),AF=(2,t,0),PS=(2,0,-2),BC=(0,2,0),

设弁=（X”M，ZJ为平面的法向量,

n-AE=0,X.+z.=0,

则—所以2i=。取必=2,则—/,

n•AF=0,

则乃=（7,2"）,

设加=（%,外,Z2）为平面尸8C的法向量，

和f2x-2Z=0,

则｛_PB=0,所以.2-丁2'取X2=l,则y,=0,Z2=l,

m-BC=0,12y2=0,

则方=（1,0,1）

因为万•所=-f+0+r=0,所以万J■而，

所以平面N£F_L平面P8c

（2）（基于（1）解法一、二）

因为&_L底面/8C。，AB1AD,以/为坐标原点，以刀，而，万的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

z

A

则4(0,0,0),8(2,0,0),尸(0,0,20,1),

易知力=(0,1,0)是平面以8的法向量

设8尸=«fe[0,2]),则尸(2/,0),所以方=(1,0,1),万=(2/,0),

所以Icos(万,外1=可""

即/,==,得f=l,所以/尸=(2,1,0),

山+45

/、[ri'AE=0,

设万=(x“M，zJ为平面NEF的法向量，则一

n-AF=0,

所以平面力臣的法向量万=(T,2,1),

又因为万=(0,0,2)

所以点尸到平面AEF的距离为d=四四

1»1

2_76

所以点尸到平面AEF的距离为逅.

3

由(1)可知，/厂是直线NF与平面以8所成的角,

ABAB2y[5

所以cos/BAF

AFyjAB'+BF15

解得8/=故尸是8c的中点.

22

所以工尸=,482+8尸2=石，，E=；PB=6,EF=NAF?-AE2=6

^AEF的面积为S=LAE-EF=^

AT"22

因为尸/=48=2,^PAE的面积为SJL卜砂=94MB=1

设点尸到平面AEF的距离为h,则有

Vp-AEF=；S,AEF，h=^h=VF_PAE=1S.PAE,BF=；

解得//=逅

3

所以点尸到平面AEF的距离为逅.

3

(基于(1)解法三)

易知及=(0,1,0)是平面以8的法向量

所以Icos(万,外1=可""

BPI=>解得/=1

〃+45

所以为=(-1,2,1),

又因为#=(0,0,2)

所以点尸到平面AEF的距离为d=上与吐，

1«1

2V6

所以点尸到平面AEF的距离为逅.

3

2.(2022•广东广州•统考一模)如图多面体力8cZ)E尸中，四边形N5C£>是菱形，48C=60。，E/_L平面

ABCD,EAHBF,AB=AE=2BF=2

（1）证明：平面平面及C；

（2）在棱EC上有一点〃，使得平面〃8。与平面N8C。的夹角为45。，求点M到平面8c厂的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵当

4

【分析】（1）取EC的中点G,连接80交NC于N,连接GN,GF,证明GF//BN,利用8NL平面E/C,

证明GF1•平面E/C,从而平面EFCJ■平面E4C：

（2）建立平面直角坐标系，设由=几比，求出二面角，再求得2的值，即可得到M的坐标，再利用空间

向量法求出点到面的距离.

【详解】（1）证明：取EC的中点G,连接8。交/C于N,连接GN,GF,

因为是菱形，所以ZCIB。，且N是/C的中点，

所以GN/44E且GN=g/E,又AEHBF,AE=2BF=2,

所以GNHBF旦GN=BF,所以四边形BNGF是平行四边形，

所以GF//BN,

又E/_L平面480,BNu平面/8CD,所以E4_LBN,

又因为4C0|E力=4,4C,E4u平面及1C,

所以N8J：平面ERC,所以GF_L平面E4C,

又GFu平面EFC,所以平面£FCJ_平面E4C；

（2）解：取C。的中点H,由四边形/BC。是菱形，ZABC=60°,则4DC=60。，

.,."DC是正三角形，AHVCD,AHLAB,又_L平面Z5CZ）,

所以以A为原点，AH,AB,XE为坐标轴建立空间直角坐标系，

设在棱EC上存在点M使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45。，

则。(6,-1,0),5(0,2,0),C(国0),£(0,0,2),尸(0,2,1),4(0,0,0),

则设丽=/反=/(041(732,2,2-2/1),

所以而=(&-石,2+1,2-24),SA7=(V32,2-2,2-22),就=("-1,0),旃=(0,0,1),

设平面O8A/的一个法向量为衍=0,y,z）,

n-DM=0(V3A-V3)x+(A+l)^+(2-2Z)z=0

令x=VJ，y=i.

ii-BM=Q&x+(Z-2)y+(2-22)z=0

平面ABCD的法向量可以为云=（0,0,1）,

设平面8c5的个法向量为i=（a,6,c）,

fi7-BC=0y/5a-b=0„3-/厂、

则〈――八，即(，取a=l,得“=(1,30),

此8尸=0[c=0'7

限函73

所以点M到平面BCF的距离d=一^」=一.

H4

3.（2022•广东•统考模拟预测）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九

章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1,£、F、G分别

是边长为4的正方形的三边45、CD、的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩

下的五边形NBCFG沿着线段£尸折起，连接/8、CG就得到了一个“刍薨”（如图2）。

图1图2

（1）若。是四边形E8C尸对角线的交点，求证：/O//平面GCF；

2

（2）若二面角/-E尸-8的大小为］兀,求平面048与平面Z8E夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析:

（2）f-

【分析】（1）取线段C尸中点，，连接OH、GH,可得四边形4OHG是平行四边形，然后线面平行的判定

定理即得；

（2）由题可得N/E8即为二面角4-E尸-E的平面角，以E为坐标原点，丽，丽分别为x轴和F轴正向建

立空间直角坐标系E-斗，求解平面/8£和平面0/8的一个法向量，利用空间向量夹角公式即得.

【详解】（1）取线段CF中点H,连接OH、GH,

由图1可知，四边形E8CE是矩形，且C8=2EB,

.♦.O是线段与CE的中点，

?.0H//BC且OH=、BC,

2

在图1中NG//8C且/G=45C,EF//BCaEF=BC.

2

所以在图2中，月G//8C且/G=LBC,

2

AG//OHSLAG^OH,

四边形是平行四边形，则/0//HG,

由于4O<Z平面GCRHGu平面GCF,

二力。〃平面GCF.

（2）由图1,EFYAE,EFLBE,折起后在图2中仍有£尸，/E,EFLBE,

：.N/E8即为二面角N-E尸-B的平面角.

ZAEB=-it,

3

以E为坐标原点，EB＞方分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系后-呼如图,

设CB=2EB=2EA=4,则8(2,0,0)、0(1,2,0)、

A05=(1,-2,0),&4=(-3,0,^),

易知平面ABE的一个法向量所=(0,1,0),

设平面048的一个法向量/=(*,%z),

万•丽二0(x-2y=0

由＜_，得《厂八，取》=2,贝ijy=l,z=2-73，

n,BA=0—3x+。3z=0

于是平面0/8的一个法向量万=(2,1,2码,

/_nin1

•.3(〃，昉=丽=而,

二平面ABE与平面OAB夹角的余弦值为姮.

17

4.(2022•广东中山・中山纪念中学校考模拟预测)如图，C是以为直径的圆O上异于48的点，平面

PNC_L平面月8C,PA=PC=AC=2,BC=4,E,尸分别是PC,尸3的中点，记平面/£尸与平面/8C的交线

为直线/

(1)求证：直线/工平面P/C；

(2)直线/上是否存在点。，使直线尸。分别与平面直线E尸所成的角互余？若存在，求出|/。|的值;

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)存在，|力。|=1

【分析】(1)证明8C〃M,可得面EE4,根据线面平行的性质可得BC〃/,再根据面面垂直的性

质可得2c1面尸/C,即可得证；

(2)取NC中点连接尸A/,MO,说明MO,历尸两两垂直，分别以线段MO,历尸所在

的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系M-xyz,利用向量法可得出答案.

【详解】(1)证明：,：E,尸分别是尸8,PC的中点，,5C〃£F,

又EFu平面£尸4,BCU面EFA,；.BC〃面EFA,

又5Cu面/8C,面£7Xc面Z8C=/,ABC//I,

又SC_LZC,面PNCCI面为8C=ZC,面PNC_L面N8C,

8C上面尸ZC,则/上面PZC；

(2)解：取/C中点/，连接PM,VPA=PC=AC,：.PM1AC,

,：平面PAC1平面ABC,平面P4Cn平面N8C=AC,

又,/PMu平面PAC,：.PM1平面ABC,

又「C是以48为直径的圆。上异于48的点，8C,

•.•点/，。分别是力C,48中点，

连接MO,则MO_LNC,

分别以线段M4，MO,MP所在的直线为x轴，V轴，z轴建立空间直角坐标系M-xyz,

则/(1,0,0),5(-1,4,0),P(0,0,V3),C(-,0,0),E一;,0,4,F一；，2,等，

—►3V3―-,

AE——,0,—,EF=(0,2,0),

\7

设0(l,y,O),互=(1,招-@,

设面AEF的法向量为m=(x,y,z),

_3V3

A.E,=X---Z=O.——/r~\

则《22,取z=6,得机=0,0,G),

EFih=2y=0

依题意，得卜os(而，丽)卜加(而，矶

\y\1

即-/=^匕=-/-----解得歹=±1,即。(1,±1,0),

V4+/V4+/

：.\AQ\=i,

.•.直线/上存在点2,使直线尸。分别与平面4£5、直线EF所成的角互余，且=

5.(2022,广东韶关•统考一模)已知矩形力8c。中，AB=4,BC=2,E是C。的中点，如图所示，沿BE将

△8CE翻折至△8;石，使得平面平面/SCO.

(1)证明：BFLAE；

(2)若丽=2万(0<4<1)是否存在；I，使得户户与平面。所所成的角的正弦值是逅？若存在，求出入的值;

3

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

3

(2)存在，A=—

【分析】（1）根据Z5C£>为矩形，且E是C。中点得到“E=8E=2近，利用勾股定理得到NE，8E,然后

利用面面垂直的性质定理得到AE1平面BEF,再结合BFu平面BEF即可证明AELBF；

（2）建立空间直角坐标系，根据丽=4万（0<2<1）得到方=卜4-3,1-24后），然后利用向量的方法求

尸尸与平面DM所成的角的正弦值，列方程求力即可.

【详解】（1）依题意力88矩形，AB=4,BC=2,E是C。中点，

所以AE=BE=26，

又45=4,所以，AE2+BE2=AB2-AELBE,

因为平面8即J_平面ABCD,平面BEFI平面ABCD=BE,

所以/E_L平面BEE,

又BFu平面8£5，所以4E_L8F.

以C为原点，C。所在直线为x轴，C8所在直线为》轴，建立如图所示空间直角坐标系.

则C（0,0,0）,£>（4,0,0）,8（0,2,0）,£（2,0,0）,

设N是BE的中点，

因为尸E=FB,所以FNLBE,

又平面BEF1平面ABCD,平面BEFI平面ABCD=BE,

所以平面F（1,1,V2）,

假设存在满足题意的4，则由赤=2丽（0<4<1）.

可得，PF=-ADB+DF=（4A-3,\-2A,42）,

设平面的一个法向量为；=（x,y,z）,

n-DE=-2x=0_/、

则__，-，令y=6,可得x=0,z=-1,即力=（0,6-1）,

n-DF=-3x+y+42z=0''

设P户与平面尸所成的角为。，所以sinO^cos(而㈤卜篇;1

|何2"1)+闽_J

V3-7(3-4A)2+(2A-l)2+(->^)23

3

解得几==(4=1舍去)，

4

综上，存在2==，使得PF与平面ZOE所成的角的正弦值为业.

43

6.(2022•广东广州•统考一模)如图，已知四棱锥尸的底面Z8CZ)是菱形，平面P8CJ,平面,

N/CD=3(F,E为的中点，点尸在尸/上，AP=3AF.

(1)证明：2€7/平面8叮：

(2)若NPOC=/尸。8,且PD与平面Z8C。所成的角为45°,求平面尸与平面8E尸夹角的余弦值.

【答案】(1)见解析

⑵坐

4

【分析】(1)设ZC,8E的交点为O,连接尸。，可证得/O//PC,再由线面平行的判定定理即可证明;

(2)取8c的中点为H,连接尸〃，由面面垂直的性质定理可证得则PHJ.平面/8CD,以〃为坐标原点,

为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面/E/与平面8EF的法向量，再由

二面角的向量公式即可得出答案.

【详解】(1)设/C8E的交点为O,连接尸。，已知。为△48。的重心,

A01IAOAF

所以就=5方=5,所以在MPC中,~AC~^4P~2

所以/0//尸。，所以QOu平面8£尸，PCO平面8E尸,

则尸C//平面BEF.

（2）因为4c£>=30°,所以乙4cB=30°,

所以△OC8为等边三角形，所以DC=DB,又因为NPDC=NPDB,

所以，DB三APDC,所以尸8=PC,

取8c的中点为〃，连接尸“，则P/7L8C,

平面PBC1平面N8CZ）,平面PBCc平面ABCD=BC,

则P"，平面488,以H为坐标原点，HD,HB,HP为x,y,z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

因为尸。与平面ABCD所成的角为4PDH=45°,所以尸"=，

设菱形的边长为2,所以PH=DH=6,所以

尸（0,0,有）*6（0,1,0）,4陶2,0）。（6O,O）E（向,0）,

因为后=3#，所以尸，

\/

EF=_当,/孚）,石=（0,-1,0鹿=（60,0）,

设万=（另乂z）_L平面ZE尸,

n[_y=o

\n-AE=QI—_

V—61V3八，令x=Ly=0,z=l,

,EF=01——x+§yH——z=0

所以7=（1,0,1）,

设加=（々,％,z2）J■平面8EF,

\in-BE=0[岳2=。

1一=<1y/3，令％=J3,%2=0/2=T,

麻砂=0卜深%+<%+与Z2=0-

所以而=

则（：05（也〃）=1西=―--,

HH4

所以平面ZEP与平面8£尸夹角的余弦值为正

4

7.（2023•广东广州•统考二模）在四棱锥P-/8CD中，平面PRO_L底面/BCD,底面48C。是菱形，E是

尸D的中点，PA=PD,AB=2,48C=60°.

⑴证明：尸8〃平面E4C.

⑵若四棱锥P-BCD的体积为半，求直线EC与平面P4B所成角的正弦值.

【答案】（1）证明详见解析

⑵也

【分析】（1）通过构造中位线的方法来证得P8〃平面E4C

（2）根据四棱锥尸-48CO的体积求得尸。，建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线EC与平面均8所

成角的正弦值.

【详解】（1）连接8D交NC于口，连接EF,

因为四边形是菱形，所以尸是8。的中点，

又E是尸。的中点,所以EF//PB,

因为u平面EAC,PB（Z平面EAC,

所以「8〃平面E4C.

p

(2)取的中点O,连接PO,则尸OL/Z),

因为平面平面458且交线为，2。匚平面「/。，

所以尸O1平面/BCD.

^PD=a,则/曰半，解得"3.

因为底面/8C。是菱形，ZABC=60°,所以。CLZD,且OC=6.

以0为坐标原点，以OCO2OP所在直线分别为x轴，V轴，z轴建立空间直角坐标系,

则力(0,-1,0),8("-2,0)©后0,0),产倒,0,2&),五)，

C£=^-73,1,V2^,ZP=(0,1,272),AB=(73,-1,0),

设平面尸48的法向量为"=(x,y,z),

ii-AP=y+2y/2z=0

则一：，

ii'AB=yj3x-y=0

故可设7=卜,46,-#),

X

8.(2023•广东肇庆・统考二模)如图，三棱柱ABC-48c中，侧面ACC,A,为矩形，AB1/C且48=AC=2,D

为8©的中点，AA\=B、C=2亚.

⑴证明：4G〃平面

(2)求平面AB.C与平面AAXD的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵乎

【分析】(1)连接力耳与48交于点O,连接QD,则ZC"/。。，利用线面平行的判定定理即可证明:

(2)由已知条件得C面耳4,则。由/82+4哥=8年得似A为坐标原点,

N8,/综/C分别为x轴，了轴，z轴建立空间直角坐标系，由”工面典C得平面第C的一个法向量为

H,=(1,0,0),设平面的法向量为％=(x,y,z),由「上求得〃2=(1,1,-1)，然后利用向量夹角公

A}Dn2=0

式求解即可.

【详解】(1)连接与48交于点。，连接

•.•/8。-4耳4为三棱柱，；.18司4为平行四边形，点。为力用的中点

又•.•。为BC的中点，则/CJ/OD,

又•.•ODu平面平面4B。，,力£〃平面

(2)解法1：

■.■CA1AB,CA1AA,,AB=A,C41ffiABB^

AB】u面ABBE】,:.CA±AB,

AB,=]CB：_AC2=J(2历-2，=2

•;AB=2,AB\=2,BB、=2正,4B?+4B；=BB；,HPAB1AB,

以A为坐标原点，片,/C分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

月(0,0,0),4(—2,2,0),3(2,0,0),5"0,2,0),G(-2,2,2),。(一1,2,1)

.•.五彳=(-2,2,0),丽=(1,0,1)

ABVAB„ABVAC,AB,r\AC=A

.:43/面480,则平面48c的一个法向量为i=(1,0,0)

LUAA.=0-2x+2y=0

设平面24。的法向量为%=(x,y,z).则,2,即

4。•%=ox+z=0

令x=1/=l,z=-I,?.n2=(1,1,-1)

设平面46c与平面力4。的夹角为氏

\n}-/72||lxl+0xl+0x(-l)|1也

/.COS0=

pi||«2|lxJ1+1+(-1)2百3

••・平面"与平面叱的夹角的余弦值是冬

解法2：设点E为8c的中点，点尸为NC的中点,

连接OE交耳。于点。，连接/瓦"。,以"

设点P为N。的中点，连接EP,FP

•・・点E为8c的中点，点。为4G的中点

E。//84且EQ=：=&，点。为5c的中点

•••NCC/为矩形，AC±AAt

又•.♦ZCl.Z8,N8c/4=4,4c，平面,:.AC1AB.

.,.在A"C4中，AC1ABt,AC=2,B}C=242,可得Ng=2

.•.△ZAC为等腰直角三角形，其中4c=4q=2,用。=20

而点。为8c的中点，••.NQ^AC且/。=&

,・・点P为力。的中点，点尸为ZC的中点

FP//BC且FP=gcQ=；B0=立，；.PP'4Q

又••・在Rt»8c中，AB=4C=2,点E为8C的中点，.•./£=J5

,在△/E0中，AE=EQ=AQ=6,且点P为N。的中点

:.EP1AQS.EP=—

2

NEPF即为平面ABtC与平面AAtD的夹角

，在中，EF=-AB=\,FP=—,EP=—

222

GTEP2+FP2-EF2V3

..cos/EPF=--------------=——・

2EPFP3

平面AB.C与平面的夹角的余弦值是立.

3

9.（2022・广东广州•华南师大附中校考三模）如图所示，已知矩形48C。和矩形即所在的平面互相垂直,

AD=2AF=2AB=2,M,N分别是对角线8。，/E上异于端点的动点，且.BM=AN.

（1）求证：直线MN〃平面CAE；

⑵当MN的长最小时.，求二面角A-MN-D的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵殍

【分析】（1）根据边对应成比例，可证明平行四边形，进而可得线线平行，即可求解.

（2）根据空间中两点距离公式，可得线段的最小值，进而根据空间向量，求平面法向量，进一步可求解.

（1）

过N作NN，〃AD与ED交于N，点、,过M作W〃/。与CZ）交于AT点，连接W.

由已知条件AD=2AF=2AB=2,可知矩形ABCD与矩形ADEF全等.

VBM=AN,AE=BD,NN'//AD//MM'

.NN'AE-ANBD-BMMM'A/M'

,•~AD~~AE---BD--BC~AD

：.NN'=MM'

又NN'〃AD〃MM',则四边形MMV'AT为平行四边形,

所以

MNU平面CDE,M'N'u平面CDE,

，MN〃平面CDE.

（2）

由平面N5CDJ_平面ADEF,平面/8C0C平面ADEF=AD,

又/尸u平面/OEF,AFLAD,

平面/BCD.

以4为原点，分别以N8,AD,AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

过〃点作〃6，/。，垂足为G,连接NG,易知NG_LZ。，设/G=a（0<a<2）

可知当a=1时，MN长最小值为也.

2

此时〃（；,1,0）,

又“（0,0,0）,£>（0,2,0）,

.•.说丽=（彳,0,；）,丽=（；,一1,0

设平面AMN的法向量为〃?=（%,如zj,

不再+必=0

m•AM=0可得；

由<

m-MN=0

—x.+-z,=0

I221

令玉=2,可得用=（2,-1