2023届高考数学重难点训练数列求和-倒序相加

专题16数列求和一倒序相加

1.己知函数/（金）=77^-（m>0）,当①1、X2€/?,且61+电=1时，总有

41+m

⑴求加的值.

⑵设&=/（3）+六3+〃3+.—+/（三），求凡•

nnnn

2.一般地，如果函数/（，）的图象关于点（a,b）对称，那么对定义域内的任意工，则

/（x）+/（2a-x）=2b恒成立,已知函数/（i）=-^―的定义域为R,其图象关于点

41+m

11

“（5,5）对称.

（I）求常数m的值；

（n）解方程：log/i-/（X）］iog2［4-7（x）］=2；

（皿）求证：心）+©+...+/（—）+六厘）+Q⑴€N，）

3.已知函数？=1(傍>0述/1)在［2,4］上的最大值与最小值之和为20,记,3)=工一行

ar+v2

(1)求a的值；

⑵求证：*工)+六1一工)为定值；

122n2n

⑶求六加）+六赤T）+•••+的值•

4.已知函数/(工)=正干.

(1)若0<a<l,求六a)+7(1-a)的值;

⑵求六诉1）+9/（沏）+〃薪3）+,•♦+/（蒜9022）的值•

1

5,设4%/（皿）），久密义］?））是函数〃H）=$+log2Gi---）的图象上的任意两点.

/X-X

（1）当Z1+劣2=1时，求/（®1）+/（^2）的值；

⑵设&='（+）+/（磊）+〃磊）+…+人累）+/（4）'其中EN*,求

S"：

6.已知函数满足/⑴=2,/(-2)=~.

ax+b2

⑴求实数Q和b的值；

⑵若干(工)=西，其中工＞0,求

S=尸Q)+F(2)+F(3)+...+F(2019)+尸。)+F©)+.••+尸(4仃)的值.

Q

7.已知/(劝=/+6-%&>0且(#1)是兄上的奇函数，且〃1)=:

⑴求/㈤的解析式;

⑵若关于工的方程,(gid一1)+/(1-3^-2)=o在区间［0,1］内只有一个解，求m取值集

合；

(3)设9⑵="工一3+1，记F(n)=gg)+g(3+9(；)+•••+g(三。)(neM)，是否存

2nnnn

在正整数打，使不等式f(2x)》尸(n)〃H)对一切TW［-1,1］均成立？若存在，求出所有n的

值，若不存在，说明理由.

8.设/(工)=e1+aef,且『(，)为奇函数.

(I)求实数a的值；

(n)设函数尸(工)=/(工一3+1，令

S=F(-)+F(-)+F(-)+…+F(—)(nWM,n22),求S”；

nnnnn

(111)是否存在实数心使得不等式

fl^sinff4-(1—x)2cos0+V^x(l—x)t]-f\2x(x—l)tsin(6+/])()对任意的x€(0,1)

及任意锐角9都成立？若存在，求出力的取值范围；若不存在，请说明理由.

答案和解析

—a1

1.【答案】解⑴取6=/2=3,则八3

石=-=-

24

⑵因为当叼、X2ER,且Z1+劣2=1时，总有y(Xi)4-f(》2)=Z)

所以心+咕J咕+〃?)J…

因为&=/A+fC)+〃《)+•••+/6-

nnnn

,,“n、”71—1、“n—2、.O

故S”=/(-)+/(——)+/(——)+-••+/Z(-X)-

nnnn

两式相加得：

2sli=[yA++[/A+八『)]+...+[/§+/A]=耍

nnnnnn2

【解析】本题考查函数的求值，考查数列的求和方法：倒序相加求和，考查运算能力，属于较易

题.

(1)由题意，可令①1=为=：，代入函数，计算即可得到加=2；

⑵由当m、X2ER,且6+仍2=1时，总有人工l)+f32)='运用倒序相加求和方法，即可

得到sn.

4111

2.【答案】⑴解：•.•函数〃H)=的图象关于点“点》对称,

44+mi2.

.•JQ)+/(1-工)=1

43c41Ts“

•_1___________=1

••4%+m"一工+m

.然4

••44+m+m・4"+4’

m=2；

(2)解:由⑴知，

B十/

logj[l-f(①中的性一句切=2

••/。92(1-不为'。8(4-工-万羽)=2

10ff2(炉+2)尸一4例(4,+2)-2=0

：.log^+2)=2或，如4①+2)=-1

1

-'-X=2；

(3)证明：设g(n)=心+展)+&)+•••+〃F)+〃》可写成

5(n)=+f(1)+•••+心+f&

两式相加，由于义工)+注(1-£)=1,

2g(n)=n-1+2/(-)=n-1+2/(1)=凯：，,

no

【解析】本题考查了函数的对称性，考查倒序相加法求和及求解对数方程，属于中档题.

AX11

⑴利用函数"6)=五的图象关于点对称，可得了(劝+/(1—力=1,代入化简,

可得结论；

(2)由(1)知，八卬)=石三，代入化简方程，可求方程的解；

(3)利用/(工)+六1一①)=1,倒序相加,可得结论.

3.【答案】解：⑴函数？=优伍>0,1/1)在［2,4］上的最大值与最小值之和为20,

而函数y=a%a>0,a#l)在［2,4］上单调递增或单调递减，

/.a2+a4=20>

解得。2=4,或<?=一5(舍去),

a=2；

⑵证明：由⑴知，a=2,

nx2,一工

•・J3)+〃17)=H0+K^

一乃I2E\®T

2H+G24-x212a!+x/25”'

(3)由(2)知,f(x)+f(l-x)=l.

12020_22019_10101011_

**2021+2021='2021+2021='…，2021+2021='

19202n

则s=/©+/©+•-■+〃薪）②

①+②得

2s=［f（/）+f（鬣）］+［陶）+f（篇）］+•

=2020

.-.S=1010.

【解析】本题考查了指数函数的单调性及其应用，利用指数运算性质化简求值，倒序相加的求和

思想，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.

（1）因为函数V=a%a>0,a/l）在［2,4］上单调递增或单调递减，所以最大值和最小值一定取到端

点处，列方程即可解得a值；

（2）利用指数运算性质，代入函数解析式即可化简证明；

（3）注意到和式中的自变量的特点，利用（2）的结论，运用倒序相加即可得到・

4.【答案】解：（1）：函数〃/）=京七，

//、£/,、16a161-0

16

_16。1_16。4

-16a+4164»16°~16°+416a+4~1

诲+16a

⑵：/（a）+/（I-a）=1,

/（2023）+:（2023）+，（2023）+'''+'（2023）

1、<,2022、2、,.2021,,.1011,,.1012,

="2023）**2023）+”2023）+，（2023）+"，+，（2023）+'（2023）='

【解析】本题主要考查与指数函数有关的基本运算，考查了函数值的求法以及倒序相加法求和，

属于中档题.

（1）由函数/（工）=得将z=a和①=1—a代入，结合指数的运算性质，可得当0<a<l

10+4

时，/(a)+/(I-a)=1,

(2)由(1)的结论，两两结合，即可得到答案.

5.【答案】解：（1）:4（工ij（电）），3（出"（工2））是函数六/）=：+1。82（7三）的图象上的任意

两点，

Vxi,X26（Oj1）,且/1+电=1时，即电=1一血，

/（«1）+/（与）=1++1+

=1+logs1=1；

⑵由（1）可得，/（x）+/（l-x）=l,

Sn=f1）+/岛）+…+/（M）+f（言i）①'

Sn=f岛）+s（M）+…+/岛）+f（击）②,

①+②得，

2sLT（+）+，（含）］+K（磊）+f（M）］+…+［（含）**+»

2sli=n,

【解析】本题考查函数值的求法，数列的前冗项和的求法，考查运算能力，解题时要注意倒序求

和法的合理运用.

(1)由①2=1-W1,推导出f(Xl)+f(X2)=1+10g21=1;

⑵由(1)可得*切+八1一①)=1,利用倒序相加求和法得到2sl="，由此能求出片.

6.【答案】解：（1）•.•/（?）=吐叶满足/⑴=2,/（-2）=4）

ax+b2

々=2

•-5=5，

—2a+62

解得"二

二.Q=1,b=0;

⑵由⑴可知六z)=,

X

㈤=君=卓=3(］>°)，

X

、口/1、&0a1r

+2=+=1,

,(a)+，(&)=^710)+1^+1^+1

而尸⑴二高二也

AS=F(l)+F(2)+F(3)+...+F(2019)+F(1)+F(§+...+F(盍)，

=F(l)+2018,

_4037

=-2-，

【解析】本题考查了函数的解析式、倒序相加求和，考查了学生的观察分析能力.

(1)待定系数法联立方程组可解得a，b的值，

(2)由歹3)=忘，先求出尸(a)+F(；)的值，由此发现规律即可求得S.

7.【答案】解：⑴由奇函数的性质可得：/(O)=fc-a-0+ao=O,解方程可得：fc=-1.

此时〃工)=膜一a-"满足〃一力=一，(力，即函数/Q)是奇函数.

♦.•^l)=a-±=5，；.a=3或一?负值舍去)，人口的解析式为：八切=炉一3一，

a33

⑵函数的解析式为f{x}=炉一3-',

结合指数函数的性质可得，*切是定义域内的增函数，

由,伊一生-1)+f(1一3^-2)=0，

即f(9™2-21-1)=-/(I-3^-2)=/(3^-2-1).

由/Q)是定义域内的增函数，可得9"ia-1+1-3"»-2=0在区间［0,1］内只有一个解.

转化为h(x)=2mx2-(4+rri)x+2=0在区间［0,1］内只有一个解.

①当m=0时，x=^)符合题意；

②当时，ft(0)=2>0,

当△=0时，(4+m)2—16m={m—4)2=0,解得m=4,

此时对称轴为直线工=竽"=1,满足题意；

4m2

当△沟)时，若Ml)=2m—4一瓶+2<0,解得m<2且加#0,显然满足题意；

若无(1)=0,解得m=2,此时对称轴为直线①=竽巴='，

47n4

可得八(工)=0在［0,1］内有两解的=:，玫=1，不满足题意.

综上，m取值集合{m|m<2或m=4}.

(3”.•函数/(2)是奇函数.

••・必)=加一品1关于4,1)对称，

/.g(l-劣)+g(*=2,

尸⑴)=gg)+9&+sA+...+ff(^)(n€M),

nnnn

尸(n)=g(一)+g(l)+g(l)+•••+g(3(n€'*)，

得2F(n)=2(n-1).

/,尸(n)=n-1,

f(2x)>F(n)f(x),即32H-3-加>(n-l)(3I-3-x),

当H=0时，等号成立，

Q2X_q-2x

当0<z〈l时，也一1(二—=3x+3-x,

3Z—3一工

・:0<E<1时，3］+3一①>2,

二打一142,解得mW3且？iwN*,

o2x_q-2x

当一工<0时，上一1》二一=3"+3~,

33X-3T

•.•一1答多<0时，2<3"+3-飞学，

M

，n-12学，解得n24+^neN*,

综上，不存在满足条件的n，

所以不存在正整数n,使不等式*2x)》F(n)f(z)对一切工€［-1,1］均成立.

【解析】本题考查了函数的奇偶性，单调性的应用，不等式恒成立问题，考查转化思想，属于较

难题.

(1)利用奇函数得到关于实数K的方程，解方程求得L再代入〃1)的值求出。；

(2)结合函数的单调性和函数的奇偶性转化求解即可；

(3)由函数的对称性及图象平移规律可得g(l-工)+g(z)=2,F(n)=n-1,代入

八陵)》尸(n)j(z),分类讨论即可求解.

8.【答案】解：(I)依题意，j(O)=l+a=O,解得a=—1,经检验a=-1符合题意;

(11*(1一劝+尸(劝=解一工)+1+/(工一)+1=2，

又&=尸C)+F&+F&+...+F(—),

TLTh71Th

——/Tl—1、_7l—2、—/Tl—3、L/1、

sn=F(——)+F(z——)+F(——)+...+F(-),

nnnn

2&=+尸(—)]+4)+尸(三2)]+…+[F(三3+FA]=2(n-1),

nnnnnn

/.Sn=n-1；

(in)易知〃/)在R上为增函数，则原不等式等价于

x^sinO+(1—xfcosQ+y/2x(l—x)t22x(1—x)tsin(0+,

即a^sinff+(1—x)2cos02[2sin(fl+g)—V^]x(l—x)t,

由于£6(0,1),故£(1一£)>0,两边同时除以t(l一笈)得，

n*1__nj乃__

-----sinOH------cosff》[2sin(fl+—)—V^]t=V2tfsinG+cos0—1),

1—xx-----------------4

<j»1__①

令h(x)=-----sin8H------cos。,xe(0,1),

1—xx

又令*=vJ€(°，+8),

1-X

CO80____

则h(x)=ksinO+22^.=两也依+驾6)》sin8-2J"啜=2Vsin6-cosQ9

K>KVSIH(7

\/2•y/sinO-cos0

•'、sin。+cos。—1

令sin8+cosO=y/2sin(。+g)=m,

21

由于66(0,3),故?Ti6(1,A/5],sinffcosO=——,

/2

.s/2-y/sinG-cosO_"，y_2__lm+1_R2-,

-sinC+cos。-1m—1\m—1Vm—1

而当me(1,时，U单调递减，

Vm—1

其有最小值J1+=逐+1,

Vv^-1

存在符合要求的实数K且

【解析】本题考查函数性质的综合运用，考查换元思想，构造思想，化归与转化思想，考查运算

求解能力，属于较难题目.

(I)由函数为奇函数知/(0)=0,由此求得a的值，注意需验证；

(n)易知F(1—①)+尸(工)=2,则利用倒序相加法可得Sn；

(m)原不等式可等价为t4'./而,再通过换元的思想求得♦?小叱cos?的最小

sin0+cosd-1sme+cosS-1

值即可.