2023鲁教版七年级下学期数学练习-第2课时等边三角形

第十章三角形的有关证明

第2课时等边三角形

基础过关全练

知识点3等边三角形的性质定理

1.（2022贵州毕节月考）如图，将一等边三角形沿虚线剪去一个角后,Nl+N2=

A.1400B.240°C.280°D.3600

2.（2022河南新乡原阳期末）如图,AABC为等边三角形，延长CB到点。使BD=BC.

延长8C到点£使。七二3。.连接则NZME的度数是（）

DUCK

A.130°B.120°C.110°D.100°

3.【手拉手模型】（2022山东淄博博山一模）如图,△ABO小AEC都是等边三角形,

则N30。的度数是()

A.135°B.1250C.1200D.1100

知识点4等边三角形的判定定理

4.如图万是等边"BC中AC边上的点,N1=N2,8E=C0则对"DE的形状最准确

的判断是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.不等边三角形D.不能确定形状

5.（2022山东滨州博兴期末）如图,A3=4GDB=QC若/43。=60。乃后=3cm,则AB=

cm.

6.（2022河北石家庄裕华期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为9,E,F是边BC

上的三等分点，分别过点居尸沿着平行于BA,CA方向各剪一刀，则剪下的△。石厂的

周长是.

A

ZA\.C

"EF

7.（2022浙江宁波海曙期末）一艘轮船从海平面上A地出发，沿北偏东50。方向航行

60海里到达B地，再由B地沿南偏东10。方向航行60海里到达C地，则A,C两地相

距海里.

8.（2021陕西咸阳武功期末）如图，在△A3C中,A8=8C,NABC=120。,8cAe于点D,

且试判断的形状，并说明理由.

cE

知识点5含30。角的直角三角形的性质

9.如图，在AABC中,NACB=90O,CO，A8于点。/4=30。乃。=1,贝1」AB的长度是

)

A.8B.6C.4D.2

10.如图，有一张简易的活动小茶桌，现测得04=03=30cm,OC=OD=50cm,两条桌

腿与地面所夹的锐角为30。,则桌面离地面的高度为

________cm.

11.如图，已知NAOB=60。,点P在边0A上，点M、N在边0B上.

⑴若NPNO=60。,证明:APON是等边三角形；

⑵若PM=PNQP=12,MN=2,求OM的长度.

A

L

0MNR

知识点6反证法

12.（2022浙江温州期末）用反证法证明“在"3。中，若AB=AC,贝时，应假

设（）

A.NBH90°B.ZB=90°

C.N8>90°D.ZB>90°

能力提升全练

13.（2022山东泰安中考,5,蝴）如图,/i〃b点A在直线/i上，点8在直线/2上,AB=3G

A.70°B.65°C.60°D.55°

14.1角平分线+平行线模型】（2022山东淄博桓台期末,4,倘）如图，在△ABC中,N

ABC和NACB的平分线相交于点片过点F作Q£〃8G交AB于点。交AC于点

若AB=4,AC=5,则△ADE的周长为（）

A

D,E

A.8B.9C.10D.13

15.（2022海南中考,9,俄）如图，直线m//n,LABC是等边三角形，顶点B在直线n上,

直线相交A3于点£交AC于点匕若Nl=140。,则N2的度数是

A.80°B.100°C.120°D.140°

16.【易错题】（2022山东威海乳山模拟,5,播）若等腰三角形一腰上的高与另一腰

的夹角为54。,则该等腰三角形底角的度数为

A.72°B.72。或36°C.36°D.72。或18°

17.（2022山东滨州中考,14,解）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形淇中A8=AC立

柱A。，3G且顶角N3AC=120。,贝IZC的大小为.

18.（2022浙江温州中考,20,馈?）如图乃。是AABC的角平分线,QE〃8C,交AB于点

E.

⑴求证:NEEANEDB；

⑵当A3=A。时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.

19.(2022山东济宁鱼台期中,24/愉如图,zvlBC是等边三角形.

⑴如图L0E〃3C,分别交A3、AC于点。、£求证:AAOE是等边三角形;

(2)如图2,LADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE,求NBEC的度

数及线段4从BE、CE之间的数量关系

图1图2

素养探究全练

20.【推理能力】(2020浙江绍兴中考)问题:如图，在AAB。中，区4=8D,在BD的延长

线上取点£C,作使E4=EC，若NA4E=9()o,N8=45。,求ND4C的度数.

答案:ND4C=45。.

思考：

⑴如果把响题”中的条件28=458去掉淇余条件不变，那么ND4C的度数会改

变吗?说明理由.

⑵如果把“问题”中的条件“N3=458去掉，将"N3AE=906'改为其余

条件不变，求ND4c的度数.

答案全解全析

基础过关全练

1.B等边三角形的各个内角都是60。,根据三角形外角的定理得/1=60。+180。-/

2,则Nl+N2=240。.故选B.

2.B△ABC为等边三角形，，NABC=ZACB=ZBAC=60°,AB=BC=CA.'：

BD=BC,AB=BD.：.ZBAD=ZD=-ZABC=30°.同理可得NCAE=30°.：,Z

。4£=120°.故选巳

3.CVAABZ),AAEC都是等边三角形,.,.AQ=A8,AE=ACND4B=NCAE=NADB=

ZDBA=6Q°,六ZDAB+ZBAC=ZCAE+ZBAC,：.ZDAC=ZBAE,：.ADAC^A

BAE(SAS),六/ADC=/ABE,：.ZBOC=ZBDO+ZDBA+ZABE=ZBDO+ZDBA+

ZADC=ZADB+ZDBA=600+60°=120°,ZBOC的度数是120。,故选C.

4.B'..△ABC为等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°l

又Z1=Z2,BE=CD,：.△48E也△AC。

AE=AD,ZCAD=NBAE=60°,

...△AOE是等边三角形.故选B.

5.答案6

AB=AC,

解析在△A3。和△ACO中,DB=DC,：.AABD^AACD.：.NBAD=/CAD.又：

AD=AD,

AB=AC,：.BE=EC=3cm.BC=6cm.'：AB=AC,NABC=60。,

，AABC为等边三角形.：.AB=BC=6cm.

6.答案9

解析•••等边三角形纸片ABC的边长为9.E,F是边BC上的三等分点,，EF=3,

'：/\ABC是等边三角形,ZB=ZC=60°,

又，：DE〃NB,DF//AC,

：.ZDEF=ZB=60°,ZDFE=ZC=60°,

...△。石厂是等边三角形，

，4DEF的周长是3x3=9.

7.答案60

解析如图，

由题意得AB=BC=60海里,/BAD=5。。,NCBE=l()o,AD〃BE,

，ZABE=ZBAD=50°,

，ZABC=ZABE+ZCBE=60°,

.'.△ABC是等边三角形，

：.AC=AB=60海里，故4c两地相距60海里.

8.解析是等边三角形.

理由：：AB=BC,ZABC=120°,BE±AC,

，/CBE=NABE=6U。.

又DE=DB,BELAC,：.CB=CE.

.'.△CEB是等边三角形.

9.CAABC中,NACB=90o,NA=30。,，ZB=60°,'：CD±AB,：.ZBDC=90°,Z.Z

BCD=30。.在Rt^BCD中，N38=30。/。=1,30=233=2.在RtAABC中，N

A=30°,BC=2,.•.A3=23C=4.故选C.

10.答案40

解析如图，过O作NMLCD,交AB于点N,交CD于点M,

ANB

C.MI)

'：AB//CD,：.MN±AB,

ZOCD=30°,：.ZABO=30°,

：.ON=^OB=15cm,OgOC=25cm,

：.MN=ON+OM=15+25=4Qcm,

，桌面离地面的高度为40cm.

11.解析⑴证明：：ZAOB=60°,ZPNO=60°,

，ZOPN=60°,：.ZPON=ZPNO=ZOPN,

.'.△PON是等边三角形.

⑵过P作PHVMN于H,如图,：PM=PN,

1

：.MH=NH=-MN=1,

2'

在R3PO”中，

NPO”=60。,

11

ZOPH=30°,：.OgOP=；xl2=6,

：.OM=OH-MH=6-1=5.

12.D

能力提升全练

13.A如图，

AB=BC,ZC=25°,，ZBAC=ZC=25°,：l\//h,Z1=60°,Z

3£4=180。-60。-25。=95。，

ZBEA=ZC+Z2,/2=95。-25。=70。.故选A.

14.B•/B/平分平分N4GB,

，ZABF=ZFBC,ZACF=ZFCB,

'：DE//BC,

：.ZBFD=ZFBC,ZCFE=ZFCB,

：.NABF=ZBFD,ZACF=ZCFE,

：.BD=FD,CE=FE,

'：AB=4,AC=5,

...△AQE的周长为

AD+DE+AE=AD+FD+FE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=4+5=9.^^B.

15.BVAABC是等边三角形,.,.NA=NABC=NC=60o.：Nl=NA+NAEF=140。,

，/4石/=140°-60°=80°,，ZDEB=ZAEF=SQ°,'Zm//n,：.Z2+ZZ)EB=180°/.Z

2=180。-80。=100。,故选区

16.D在等腰△ABC中,AB=AC,8D为腰AC上的高,N480=54。.

当BD在AABC内部时，如图1,:BD为高，

ZADB=9Q°,ZBAD=90o-54o=36°,；AB=AC,：.ZABC=Z

ACfi=|x(180o-36o)=72°；

当BD在外部时，如图2；：BD为高，

，ZADB=90°,ZBAD=90°-54o=36o,'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,^'：NBAD=N

ABC+ZACB,：.ZACB=-ZBAD=\S°.

综上所述，这个等腰三角形底角的度数为72。或18。.故选D.

17.答案30°

解析AB=ACSLZBAC=120°,Z.ZC=Zfi=|(180°-ZBAC)=|x60°=30°.

18.解析(1)证明:：8。是△ABC的角平分线，

，ZCBD=ZEBD,

'：DE//BC,：.ZCBD=ZEDB,：.ZEBD=ZEDB.

⑵C£>=ED,理由如下：

,

：AB=AC,：.ZC=ZABCI

'：DE//BC,：.ZADE=ZC,ZAED=ZABC,

，ZADE=ZAED,：.AD=AE,：.CD=BE,

由(1)得/EBD=/EDB,：.BE=DE,：.CD=ED.

19.解析⑴证明:'..△ABC是等边三角形，

，ZA=ZB=ZC=60o,

'：DE//BC,

：.ZADE=ZB=60°,/AED=ZC=60°,

...是等边三角形.

⑵由题意知AB=AC,AD=DE=AE,Z34060°,ZDAE=ZADE=ZAED=