2023届高中数学大题二轮复习第11讲求值问题一-解析版

第11讲求值问题（1）

在立体几何中，通常会涉及求角度和距离的问题.对于求角度问题,如果学过空间向量可

以快速地解决这类问题，这里讲的求角度问题是按照一般的方法求解的，不涉及空间向量，所

以可以把它作为一个思维拓展来学习.

求体积

求体积时我们需要找合理的高和底面,带入体积公式，当然有时候我们无法直接求解,需要进

行一些转换，通常有四种解法:直接转化法、顶点转移法、割补法和同底缩放法.具体看下面

例题,要在解题过程中慢慢总结出自己的方法.

方法一:直接转化法

直接转化法:证明或者找到一组线面垂直关系，选择线面垂直的线作为高h，线面垂直的面作

为底S，带入锥体体积公式求解.

［例1］如下图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面A8C。为正方形，平面平面

ABCD,PALPD,PA=PD=1,点E为AD的中点.

⑴求证:PEJ•平面ABCD.

（2）求四棱锥P-ABCD的体积.

【解析】（1）证明24=p。=1,七为4。的中点,

.-.PE±AD,

■平面J_平面ABCD,

平面ESc平面ABCD=AD,

r.PE_L平面ABCD.

（2）PA±PD,PA^PD^\,

AD=y/2,PE=—.

2

^P-ABCD=*♦

【例2】如下图所示，在三棱锥V-ABC中，平面立钻，平面A6C,aL48为等边三角形,

AC，BC且AC=8C=&,点。，点M分别为A&L4的中点.

（1）求证:平面MOC，平面VA3.

（2）求三棱锥V-ABC的体积.

【解析】（1）证明：AC=5C,O为A3的中点,

:.OC1AB.

「平面必犯，平面ABC,

平面WLBc平面A5C=AB,

OCu平面ABC,

.♦.OC_L平面OCu平面MOC,

平面MOC_L平面%8.

（2）AC1.8C§.AC=3C=0,

点.。为AB的中点，

OC-1,AB=2,SVAB=gx2x6—乖!.

又・OC_L平面以8,

X

^V-ABC~^C-VAB=。。*S.VAB=

【例31如右图所示，在四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD中，

AD//BC,AD^BC,AD=CD,ADLDC，在，PAD中，PA=PD,ZAPD=60,平面

B4Z）J_平面PCD.

⑴证明：平面P4D

（2）若AB=4,Q为线段的中点，求三棱锥。-PCD的体积.

【解析】（1）证明如右图所示，取PO的中点0,连接A0.

在.皿）中,PA=PD,/APO=60，则皿＞为等边三角形.

，点。为PO的中点,，A0A.PD.

■：平面R4O_L平面PC。,平面PWc平面PCD=PD,AOu平面PAD,

.•.AO1■平面PCD

8u平面PCD,:.CDYAO.

CD±AD,AOr^AD=A,

：.CD1平面尸4）.在四边形ABCD中，A。//8C且AO=BC,四边形ABC。为平行四

边形.

AB//CD.ABPAD.

(2)由⑴题知,四边形ABC。为平行四边形.

AD=CD,AD±CD,

：.四边形ABC0为正方形,:.AD=AB=4.

是边长4为等边三角形.

AO1.平面PCD,A到平面PC。的距离d=AO=>JAD2-OD2=2拒.

AB//CD,AB<z平面PCD,

CDu平面PCD,ABII平面PCD.

A,B两点到平面PCD的距离相等，均为d.

又・。为线段形的中点,二。到平面

PCD的距离〃一.一百.

2

由(1)题知,平面P4O,

•■.VQ_PCD=；XSpCDxh=^x^x4x4xy/3=^y-

方法二:顶点转移法

顶点转移法：

第一步:找线面平行或面面平行.在求锥体体积时，找到与底面平行的直线或者平面，该直线或

者平面包含着顶点.

第二步:顶点转移.利用线面平行或者面面平行距离相等的性质实现顶点转移,从而得到可直

接求解的高线.

第三步:带入体积公式.求出底面积，求出高线，代入体积公式,即可求出锥体体积.

［例1］如下图所示，在六面体中，四边形A8C0是边长为4的正方形,

EFHBC,EF=2,CE=DE,CE±,平面CDE±平面A8C。.求三棱锥B-ADF的体

积.

【解析】瓦'//3。,5。＜=平面43。。,族0平面488,

:.£7?//平面488.

.•.点F到平面A3CD的距离等于点E到平面ABCD的距离.

..V/j-ADF=^F-ABD=^E-ABD•

如下图所示，取C。的中点。，连接E。.

CE=DE,CELDE,

平面J•平面ABC。,

.•.£O_L平面ABCD.

棱锥E—43。的高E。=2.

SABD=5乂4*4=8,

I।[6

%-ABO=§xSABDxEO=-x8x2=—.

方法三:割补法

割补法:若所求几何体的体积不容易直接求解出来，就通过切割组合的方式，先分别求出

标准几何体体积,然后再通过组合切割的方式求解.

【例1】如下图所示,四棱锥P—ABCD中底面438,43,4),闻3//。。,点

E,点尸分别为PC,OC的中点,24=DC=243=2AD=2.求三棱锥P—的体积.

【解析】点E为PC的中点，匕＞_"欧=2腺一.。•又Vp_BDE=Vp_BDC~yE-BDC，

Vp-BDE=%-BDC,

xx

SBDC=_12=1,

Vp_BDC=§SBDC,4P-T，

Vp_BDE=

【例2】如下图所示，已知四边形ABCD和ABEG均为平行四边形，点E在平面ABC。内

的射影恰好为点A，以3£＞为直径的圆经过点A,C,AG的中点为点尸,CD的中点为点尸，且

AD=AB=AE=2.

(i)求证:平面EFPJ*平面BCE.

(2)求几何体4)G-BCE的体积。

【解析】（1）证明，点E在平面A3CO内的射影恰好为点平面4BCD.

又•••?!£（=平面A3EG,

平面ABC。，平面A8EG.

又•:以8。为直径的圆经过点点.A，点C,AD=AB,:.ABC。为正方形.

,/平面ABCDc平面ABEG=AB,

BCJ_平面ABEG.

EEu平面ABEG,BC工EF,

又：AB=AE=GE,

71

：.NABE=NAEB=2.

4

jr

•••AG的中点为AAEF=-,

4

n

'：NAEF+NAEB=-,:.EFLBE.

2

BEu平面BCE,BCu平面BCE,

BCcBE=B,:.EF±平面BCE.

•；EFu平面EFP,

，平又平面3CE.

（2）连接DE（图略），由（1）题知，

AE平面ABCD,：.AEJ.AD.

又：AB±AD,AEoAD^A,

二ABJ_平面ADE.

又,•,A3//GE,

.•.6后_1_平面4）上.

•,匕DG-8CE=^G-ADE+^E-ABCD=§*

GExSMDE+—xAExSMBCO=3x2x

—x2x2+—x2x2x2=4.

23

/.几何体ADG-BCE的体积为不

【例31如下图所示，四棱锥S-ABCD的侧面SAO是正三角形，AB//CD,且

AB1AD,AB=2CD=4,点E是S8的中点.

⑴求证:CE//平面%O.

（2）若平面SAD±平面ABCD,H.SB=4应，求多面体S-ACE的体积.

【解析】（1）证明：如下图所示，取SA的中点尸，连接Er.

E是SB的中点，，所//AB,且AB=2E尸.

s

又AB//CD,AB=2CD,

:.EF//DC,EF=DC,

即四边形EEDC是平行四边形.

：.EC//FD.

又一EC仁平面EDU平面1s4。，