2023届高三上期优质模拟试题汇编与精讲：解析几何（教师版）

2023届高三上期优质模拟试题汇编与精讲

解析几何压轴题

。2

题1.（泉州一诊）.已知椭圆C?+春-Igb＞。）过点A（-2,0）.右焦点为尸，纵坐标为

3

彳的点M在C上，且A尸，皿尸.

（1）求C的方程；

（2）设过A与x轴垂直的直线为/,纵坐标不为0的点尸为C上一动点，过厂作直线84的

垂线交/于点。，证明：直线PQ过定点.

解析：（1）设点尸（GO）,其中,=行了'＞（），则因为椭圆C过点A（-2,0）,则

99

"=2,将点”的坐标代入椭圆C的方程，c24J所以4-从上］J解得匕=6,

r+£=1-----+-Y=1

a~h"4b~

因此，椭圆。的标准方程为工+《=1；

43

(2)设点尸(如%)伍#±2,%*0),则即八=T、，所以，直线上4的垂线的斜率为

玉,+2

女=一%上2,由题可知尸（i,o）,故直线尸。的方程为丫=-工拦（x-i）,

在直线尸。的方程中，令x=-2,可得y=3"＞+2）(3(%+2)、

即点Q-2,q_L

%I^0)

35+2）

所以，直线P。的方程为_3（%+2）=y（、+3（x0+2）-y；

%%+2-%小+2）

3伉+2『］

即”"I，因噂+J"所以火=3一苧

一3（%+2）"

3(一+2『3(%+2『(为+2)

7-H-

所以3(x0+2)-y；3(4+2)_31_?2~~工0

1-

4

所以"3（%：2）奈（x+2-4）=3（%：2）个（）一？）,所以，直线也过定点（2,0）.

_%5+2）_%（与+2）

题2.（广州一模）已知抛物线C:yJ2px（p>0）的焦点尸到准线的距离为2,圆M与V轴

相切，且圆心用与抛物线C的焦点重合.

（1）求抛物线C和圆M的方程;

（2）设厂小,%）（题工2）为圆M外一点，过点尸作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两

/?

个不同的点4（与，3）,3（%2,%）和点。（玉，%），（%4，乂）.且3%%%=16,证明：点尸在一条

定曲线上.

解析：（1）由题设得P=2,所以抛物线C的方程为y?=4x.因此，抛物线的焦点为尸（1,0）,

即圆"的圆心为"（1,0）由圆M与了轴相切，所以圆M半径为1,所以圆M的方程为

(x-1)2+y2=1.

（2）证明：由于P®,%）&x2）,每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则与H0.

故设过点P且与圆M相切的切线方程为卜一券=%（万一事），即爪-y+%-依）=0.

依题意得与蓍Ll,整理得他一2*—2小-叫"=0①;

设直线PAPQ的斜率分别为附乃人,右，则占，为是方程①的两个实根，故

—景义依=公当②’由入-y+%-K=°e

2得

y=4A元

由2-4丁+4（%-5）=0③,因为点4（5,%）,3（_¥2，%），Q（不,必），氏（王，%）

则.二烟产④‘必”=4（%一七修）

⑤，由②，④，⑤三式得:

16(%—匕々))(%—%2/)_16［云—(K+42)々＞%+X：猴21

当为%为=

伏

16国一（勺+3与%]…1%一6一2）叫「，，

=-u-------------2+16汇=―u-----------------2+16汇=16,

岫°°

一（--2）

即可飞（同-2）-2%（%-1）为％=（1一%）（y一1）,则

）海-2y；x。-2y；x；+2x0y：=y；-X：%-1+x：,即x：+y；=1,所以点尸在圆V+y?=1.

推广：抛物线C：y2=2px,圆。2：（%一机）2+y2=/,设。（%,为）（%#±⑼为圆C?外

一点，过P作圆。2的两条切线，分别与曲线G相交于点A、B和C、D,求证：当P在

定直线x=t上运动时，四点A,氏C,。的纵坐标乘积为定值的充要条件为m2=t2+r2.

证明：设P（f,%）,由y0H±m知过P所作圆G的切线的斜率Z存在且非零，每条切线都

与G有两个交点，设切线方程为丁一%=%（％7），即kx—y+（%—后）=。，故

的军也二^=「，整理得[（加一）2-/卜+2yO（,〃T火+（$一3=0①那么，过p所

Jl+%21

2%“一加）

作的两条切线PAPC的斜率勺，&是方程①的两个实根，故有匕+心=

（zn-Z）2-r2

②联咪O"得+-爪。③

设点A,B,C,D的纵坐标为必，必，为，”，由③得,％=2P（+7）.同理

y3y4=2，（普一），于是得）4％%）%=4/（外一。（兽—）=4/）。T）严+右）+『

K2k、k2[_k]k2

若设〉：-仪＞6+%2）=。匕自（其中。为常数），把②式代入整理得

yl（m2-t2-r2-C）+C-r2=0,

欲使上式与先的取值无关，当且仅当常数C=0且m2=d+/，此时四点A,5,C,。的纵

坐标乘积为定值4P2户.

22

题3.（武汉九月调考）己知椭圆£:二+马=1伍＞6＞0）,过点尸（-1,-1）且与x轴平行的直

ab

线与椭圆E恰有一个公共点，过点P且与）’轴平行的直线被椭圆E截得的线段长为百.

（1）求椭圆E的标准方程：

（2）设过点P的动直线与椭圆E交于M,N两点，T为V轴上的一点，设直线和NT的

11

斜率分别为仁和心，若屋+二为定值，求点7的坐标.

解析：由题意，椭圆的下顶点为故6=1.

由对称性，椭圆过点-1,土;，代入椭圆方程有■4+==1,解得：。=2.

故椭圆E的标准方程为：—+y1=\.

4

2

(2)设点T坐标为(0,在当直线MN斜率存在时，设其方程为y=Mx+l)-l,与3+产=1

联立得：(4%2+1)9+8%(%-1)%+4%(%-2)=0.

设^(西方),可々,%),则占+々=砧=.

4公+14%+1

■1+J-=」!_+*2=i+____&_____,

k、k,y\-t)'2—tkx、+k—I—tkx-,+k—1—t

2fctiw+(Z-1T)(X1+X2)

k~X[X,+&(&-]-£)(&+x))+(左—1—f)~

__________8%2仕_2)_弘(％_1)t_1-/)__________

4%3(%_2)_8%2(&_1)伏_1_/)+(&_1—)：!(4公+1)，

8永2-8(/+l)&

(4/2-3)Jt2-2(r+l)*+(r+l)2

为定值，即与A无关,则。+1）』,”7,此时2A一8.

经检验，当直线MN斜率不存在时也满足;+：=-8,故点7坐标为（0,-1）.

22

推广：已知椭圆E:亍+与=1（。＞匕＞0）,点P为直线y=T?上任一点，过P的直线/与

椭圆E交于M,N两点，设椭圆E的下顶点为T,则」-+」一=——2a2

k”也

2，8

题4.（温州一模）.已知双曲线「：工-汇=1的左右焦点分别为工，户是直线/：y=9-

54

上不同于原点。的一个动点，斜率为勺的直线尸耳与双曲线「交于A,B两点，斜率为网的

直线PF?与双曲线「交于C,。两点.

（1）求;+（的值；

&向

（2）若直线04,OB,0C,。。的斜率分别为七2%,,©c，k”，问是否存在点尸，

满足％3+勺阳+噎+勺加=0，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

解析：（1）由析知耳（-3,0）,居（3,0）,设尸（9彳,-8团,（440）,

8兀-----8--2--1--1-------3----9--2----1-9--2-----3--9

-3-9294-3&kf82—8/14;

（2）设P（9%,-8%）,.•.尤=卢\，，直线AB的方程是丫=言］（》+3）,设

彘…代入双曲线方程得请一音

4%，X）B(x2,%),y=(d+6x+9)=20,

即(x：+54x0+9)/_480X)-(1125x*+27Oxo+45)=0,x,+x2=-------------

AQ+54式0+9

1125x：+270%+45

*=――x：+54.+9'

%+%="+&=-含[2+3+工)=_2y2+也3

x,x29x0+3x]x29Ao+3XjX2

__8x()______3・48°为_______8/仁_____32x；

―9%+3-1125x^-27Oxo-45--9x0+3-25片+6%+1

—8XQ2(3/+1)—-16(3x0+1)同理cr•的方程为y=#1a-3）,设c（w，%）,

9x0+325XQ+6x()+125x；+6x0+1

OUp”），仿上，直线方程代入双曲线方程整理得:

480焉

(x：-54x+9)x2+480x；x-1125x：+270x-45=0,x^+x=—；--------------,

0044—54%+9

-1125x：+270%-45

x；—54x)+9

•••噎+如=&+&=+[2-^^]=-8x3-48(濡

x3x4就一3XyXA9x()-31125片-270%+45

-8%Q32Ao)_76/(3/-1)

由k0A+MB+k0c+kOD=0得

9XQ—325XQ—6XQ+13(25XQ—6x0+1)

-16(3%o+l)।-16工0(3工0_1)_0

整理得々（25宕7）=0,//WO,/.x0=±^,

25xj+6x()+13(25x；-6x0+1)

・••存在尸（19-18）或尸（-丁9?8满足题意.

方法2.齐次化

（2）由题意知直线AB：y—&x=3匕，与双曲线方程联立得片一片=81刍立.，同除

-549k；

2

以令人=?得（:+靠北2一套"一亳=°'因此"°A+"°B=E^=^7.

49k；

8k?

同理将直线8：3-42%=-3%2与双曲线方程联立可得火oc+Z。。所以

9代+4

L+MB+%+kon=1+2.=。，即(匕+k1)(9k/?+4)=0.

yrC12+4y/c^2+4

由（1）知人声一&,令点p（x°,—Jxo），所以kkIL―产，4,所以解得

12XQ+3x0-39

99898

九o=±y,，存在尸（不一q）或尸（一满足题意.

题5(徐州一模).已知椭圆C：,+£=1.>/,>0)的离心率为半，直线/过C的焦点且

垂直于x轴，直线/被C所截得的线段长为0.

(1)求C的方程；

(2)若C与y轴的正半轴相交于点P,点A在x轴的负半轴上，点B在C上，PA±PB,

ZPAB=60°,求的面积.

解析：(1)不妨设直线/过C的右焦点(c,0),则直线/的方程为x=c,

£+4=1解得),=±/，故竺①，由于椭圆的离心率

Sx2y21

crb-aa

22

qa—2L-1

由①②解得Y=：,〃==,所以椭圆C的方程为勺+3

22—­—

22

，设4&0)#<0,即4=土，由于以±依，所以即8=2=返

(2)由(1)得P0,

2rJ63

f2

工+匕v=1

93

所以直线O'的方程为k争+当'

由，22,消去y并整理得

\[6t瓜

V=-------XH--------

J32

底t-6t瓜-6倔2V6

(1+2/)/+6及=0,解得---X-----4---=------H-------，

2

31+2/23+6/2

由于NB48=60。，所以相=6,则归呼=3|幺『,

-6rY(-6y/6rY=3卜+[*]，解得.所以|PAf=〃+(*]=|+|=2,

题7.（长沙一诊）.设4,B是椭圆］+丁=1上异于P（0』）的两点，且直线AB经过坐标原

点，直线布，PB分别交直线y=-x+2于C,。两点.

（1）求证：直线孙，AB,PB的斜率成等差数列;

（2）求APC。面积的最小值.

解析：（1）设A@,y）,则以-5,-乂），（+城=1,直线A8的斜率直线"的

2xi

.y,—1,—y.-1y.+1

斜率为女抬一，直线尸B的斜率为即8=——=-一,

%一%为

kPA^kPB=h^-^h^-=—=2kAB，故直线南，48,P8的斜率成等差数列；

内凡内

（2）直线B4的方程为卜1=上二%,与y=-x+2联立得：

Xc=「I，同理可得：直线08的方程为yT="x,与y=-x+2联立得：

M+y-l%

%=故|CD|=g|%7/=0———^-=2>/2-~~

x+y+ix+x—i芭+y+i(耳+凹)

因为+y,=1,设％=&cos，,x=sin。,

V2cos04

故|cq=2血4

(及cosJ+sinO)-1|cos^+2\/2sin^||3sin(g+°)/

其中tanp=¥，故当sin（6+e）=l时，|8|=丽於研取得最小值，最小值为g，

又尸（0,1）点到直线V=T+2的距离”==孝,

故#CD面积的最小值为Lx9x包=@.

2323

题8（皖南八校联考）.已知椭圆C:£+，=l（a>0>0）经过点（右,；），其右焦点为

尸（6,0）.

（I）求椭圆c的标准方程；

（2）椭圆C的右顶点为A,若点P,Q在椭圆C上，且满足直线”与4。的斜率之积为，，

求△AP。面积的最大值.

a=2,、

3I

解析：Q）依题可得~2+~77J=^'解得,I所以椭圆C的方程为工+丁=1；

a'4b~c=64

a1=b2+c2,

（2）易知直线与A。的斜率同号，所以直线尸Q不垂直于x轴,

故可设PQ：5=丘+〃?,P（X,yj,。（与％），

/2=1

+222

由，4'可得，（1+4k）x+8mJ<x+4m-4=0,

y=kx+m

所以%+々=]8；&中2=:"《攵?'二二16（4公+1-加2）>0,BP4k2+1>ZH2,

而小沁=+,即=化简可得20（依+m）（5+利）=（3-2股-2）,

Z\j人|乙42乙乙U

2

20k之内吃+20hw（玉+X2）+20W=^XJ-2（可+x,）+4,

22

4m-4-8mk“24A??-4--8mkA9八

20K------+20km-------+20/H-------7-~2XTV+4,化间得6Z~+〃次一机-=0,

1+4左21+451+4F1+4-

所以机=-2人或%=33所以直线产。：丫=%@-2）或^=耳》+3）,因为直线P。不经过点A,

所以直线PQ经过定点（-3,0）.所以直线PQ的方程为），=々（X+3）,易知女H0,

设定点B（-3,0）,S^APQ=\S*ABP-S,ABQJ=AB||x-对=。网后一々I

争"=（M（言一4x.

_5网J】6（4火2+1一.）=I（）J（1―56伙二因为△>（）,且机=3左，所以1-5〃>0,所以

21+4/1+4公

设"4公+1{1,|）,所以山，2

0<公

5

Q1S

当且仅当，=J,即公=77时取等号，即面积的最大值为:

7143

推广：

22

1.设P(0/)为椭圆三+==1(。＞人＞0)上顶点，是椭圆上一条动弦，直线

ah~

4民尸423的斜率分别为乂匕,左2,贝1J：

(1)o直线A5过定点[o,"：+£%]

aIb-at)

(2)若匕+七*0,则任任=/^。则直线A3过(0,加).

km+b

22

2.设P(x0,y。)为椭圆「+2=1(。＞人＞0)上的定点，AB是椭圆上一条动弦，直线

ao

AB,PA,PB的斜率分别为Z,匕,&；

(1)若k、k,=纥,则有/*0次=一生，(2)若k、kF吗,则直线43过定点，

ax0a

2

bx

(3)若匕+3=0,则有(4)若勺+伤力。，则直线AB过定点.

才丫0

题9.(云南师大附中高三模拟)己知F为抛物线C:x2=2p)，(p>0)的焦点，尸(-4,⑼是C

上一点，P位于尸的上方且|PF|=5.

(1)求C的方程；

(2)已知过焦点的直线/交C于A,8两点，若尸尸平分角/4/归，求/的方程.

8

解析：由尸(-4,咐是C上一点知：16=2/〃〃，故机=一.由抛物线定义可知：

P

|PF\=m+^=^-+^=5,化解得p?-10p+16=0,解得p=2或p=8,

QD

又因为尸位于F的上方，故一>号，故P=2,故抛物线方程为x2=4y.

P2

(2)由(1)知P(-4,4),尸(0,1),

显然，直线/的斜率存在，设直线/的方程为产丘+1,设点小吟„吟)，

y=fcv+l

联立得/一4丘一4=0,故占+%=4左,*/2=-4,若PF平分角NAP8,则

x2=4y，

/2\2

(石+4『+4—4

02亍―工；+8芭+32

\PA\______________1/2

l^£l=A,,LW*即乌，即芈-------------二号

7(2、2

两\BF\~x2'乂两

&+4『+辛-4士玉■-¥+85+32/

16一2

剧j^2_.x；-X；4+8为工2犬2+32x；=+8X|X|12+32x；,将为々=-4代入化简得

1616

3lx；-32x2=31x：-32%,即31(x2+xt)(x2-x,)-32(x2一xJ=0,因为玉片々，故

oo

31(X2+X,)=32,即31X4A=32,得&=白，故直线/的方程为y