2023届高考数学重难点训练等差数列与等比数列C卷

专题15等差数列与等比数列C卷

一、单选题

，设函数了(6)=(4cos2^-2,inz+co82c+2,记

1.已知等差数列｛3｝中，％=9

O

如=/（%）,则数列｛加｝的前9项和为（）

A.0B.10C.16D.18

2.等差数列｛厮｝的前几项和为S”，若Sao=90,$90=30,则$20=()

A.-30B,-120C.-180D.—240

3.已知两个等差数列2,6,10，•••,198及2,8.14,…，200)将这两个等差数列

的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列。则这个新数列的各项之和为（）

A.1460B.1472C.1666D.1678

7T

4.设函数外力=2H-COS工，设｛a｝是公差为的等差数列，

nO

/（O1）+/（O2）+,••+/（O5）=5”,则［/（O3）］2-0105=（）

A.0B.研2C,铲2D,

5.已知数列｛%｝的首项01=3,数列也”｝为等比数列，且-=簧•若如比4=3,则。23=

（）

A.312B.311C.2x311D.2x310

6.设｛册｝是递增的等差数列，ai=l,为a2,%4的等比中项，则数列｛-1—｝的

该打-1。2门+1

前8项和为（）

A.8B.C,§D,

JJJJ1（

+1

7.已知等比数列｛厮｝的前n项和Sn=Qy-b,数列｛（而）"｝的前n项和为Tn,若数

列｛&｝是等差数列，则非零实数a的值是（）

A.—3B.—C.3D.4

O

8.设等比数列｛an｝的前n项和为&,首项的=1,且2s2+$4=3$3，已知mN*,

若存在正整数4，，（1＜］＜/）,使得利因，mn,^出成等差数列，则77m的最小值为（）

A.16B.12C.8D.6

二、多选题

9.设等比数列｛斯｝的公比为g,前n项和为丛,前几项积为心，并满足条件的>1,

02020-02021>1>（&2020-1）•@021-1）<0.则下列结论中正确的有（）

A.。>1B.$2021>$2020

C.02020,02022<1D.乃020是数列｛4｝中的最大项

10.已知等差数列｛%｝的前n项和为队,等比数列也”｝的前n项和为或，则下列结论正

确的是（）

A.数列格为等差数列B.对任意正整数n,酸+窿+2》2%

C.数列｛S2n+2—Sa｝一定是等差数列D.数列｛瑞+2-瑞｝一定是等比数列

11.已知Sn是数列｛厮｝的前71项和，且何=勾=1，厮=0»-1+2斯_2（"》3）,则下列结

论正确的是（）

A.数列｛斯+%+1｝为等比数列B.数列｛而+1—2an｝为等比数列

2n+11n

c.Qn=+（-）D.&0=款。-1）

Jo

三、填空题

12.己知数列｛厮｝满足奇数项｛。2-1｝成等差，公差为d，偶数项｛做力成等比，公比为g,

且数列｛厮｝的前n项和为S”，ai=1,a2=2.S5=204+as,。9=（13+c4.若

0mom+1=0m+2,则正整数m=.

13.己知数列｛源｝是公差为d的等差数列，设的=y+2做+2。3+•..+2句，若存在常数m,

使得数列｛"+m｝为等比数列，则m的值为.

14.《张丘建算经》记载“今有女子善织布，逐日所织布以同数递增，初日织五尺，计织三

十日，共织九匹三丈，问日增几何？”，其所描述的就是中学等差数列求和的相关知识。现

如今已知某化工厂污染物排放量随产量增加而同数递增，为保护环境，该厂决定斥资修复被

污染的水土，经相关机构测算，修复被污染水土的单位费用随排放量的增加而成倍递增。设

该厂第1年污染物排放量为1个单位，修复费用为每单位2万元，第2年该厂污染物排放量为

2个单位，修复费用为每单位4万元，•••不计科技提升带来的影响，以此类推，则4年后，

该厂修复被污染水土的总费用为万元，n年后，该厂修复被污染水土的总费用为万

元.

四、解答题

15.设数列｛厮｝的前几项和为&,已知2Sn=a”+i—2"+i+l(ncN*),且做=5.

(1)求证：数列｛泉+1｝为等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

(2)设%=10g3(斯+2”),若对于任意的兀€N*,不等式&„(1+n)-入Mb+2)—6<0恒成

立，求实数人的取值范围.

._33%

16.已知数列｛斯｝的首项的=m,Qn+i=2而+i,4=1，2,­••.

⑴求证：数列｛^—1｝为等比数列；

⑵记Sn=L+工+.•・+工，若&<100,求最大的正整数孔.

02丽

⑶是否存在互不相等的正整数m，S，n,使m,s,冗成等差数列且斯,-1,g-1,

%一1

成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由.

在各项均不相等的等差数列｛厮｝中，的=且何，曲成等比数列，数列｛｝的

17.1,a2,4

前n项和8=2计1-2.

(1)求数歹IJ｛厮｝,｛4｝的通项公式；

设机，数列｛%｝的前n项和T,若不等式叫+狩＞a)对任意

(2)4=2=-log?n3iOga(l-

的正整数兀恒成立，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了三角恒等变换，三角函数性质，等差数列性质的应用，属于中档题.

根据三角恒等变换化简/(®),然后可确定/(x)关于(署,2)中心对称，即/(x)+/(y-®)=4,

然后根据等差数列性质可知了(他)+，。10-*)=4,1WkW5,keN,即可求解.

【解答】

解：函数/(a?)=(4cos2^-2)sinx+cos2z+2=288*sinz+cos2c+2,

—sin2x+cos2c+2=y/2sin(2z+g)+2

由2工+3="值62),可得H=^_*A：€Z),

当k=1时，X=—,

o

则了㈤关于停2)中心对称，

则/㈤+〃一一,)=4,

4

等差数列｛厮｝中，05=?.

O

37r

则+Qg=。2+。8=。3+。7=。4+。6=2两=丁，

4

1/n=fa)，则/(保)+=4,1W=W5,keN,

则数列｛加｝的前9项和为4x4+08in(2x畜+；)+2=18.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列的性质，属于中档题.

由题意利用等差数列的性质可得，S30,SGO—SM，S9a—Seo,S^-Sgo,仍然是等差数列，由

此求得S120的值.

【解答】

解：”等差数列｛厮｝前n项和为S”,若S30=90,Sgo=30,设Soo=a,

则90,a-90,30—a成等差数列，则2(a-90)=90+30-a,解得a=100,

由等差数列的性质可得，90,10.—70,820-30,仍然是等差数列，公差为—80,

S120—30=—70—80=—150,

所以5120-—120,

故选B.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查等差数列通项公式及前兀项和公式，属于中档题，

根据等差数列前n项和公式及通项公式即可得解，

【解答】

解：设两个数列分别为｛而｝,｛吼｝，由题易得%=4?1-2,=6n-4,

数列｛厮｝与｛6n｝首项ai=fei=2,

构成的新数列｛c“｝也是等差数列，且首项ci=2,公差为4和6的最小公倍数12,

所以％=12m—10,eg=194,且12n-10W198,neN*,

解得"可，即新数列有17项，

前17项和为Sn=I土12岁二1。)xn=1666.

故选C.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的性质，奇函数性质的应用，属于中档题.

【解答】

解：f(x)=2工一CO3X,

可令9(切=2x+sinx,则其是定义在R上的奇函数，

TT

•••｛a„｝是公差为a的等差数列，/(ai)+/(a)+...+/(a)=5”

o25

s(ai-J+gQ-》+・••+g®-5)=o,

7T7T37r

・.・。3=5，包=4，05=7

...\i227r37r137r2

[/(a3)l-°lfl5=7Tx—=-yg--

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查数列的递推关系，等比数列的性质，考查计算能力，属于中档题.

U

由题知I,i1=—,b2=—,■■■,622=—,从而得些=b也…电2,由。23=aiX(肋14)即

01。22曲

可求出答案.

【解答】

解：因为九=%曰，所以瓦=2,b2=~,•••,&22=—,所以等=加62・•，电2.

又数列｛4｝是等比数列，且加比4=3,

所以。23=aiX比X匕2X,••X%=a]X(历如)X(^21)X•••X(加创2)=a】X(6瓦。”=312.

故选A.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想

和运算能力.

设等差数列｛册｝的公差为d(d〉0),由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得

公差，进而得到所求通项公式；求得广:—==3工工一工3)，运用

数列的裂项相消求和，计算可得所求和.

【解答】

解：设等差数列｛源｝的公差为d(d〉O),

由口5为a2,&14的等比中项，可知磺=£12014，

即(l+4d)2=(l+d)(l+13d),整理，得出—2d=0,

解得d=2,d=0(舍去)，

故％=1+2(n-1)=2n—1；

由<J2n-i<i2n+i=-(-4-n----3-)-(-4-n--4---1-)=-4(-k4n----3---4--n-+--1)，'

设S„为数列｛---)的前n项和，

®2n-l«2n+l

所以品4("$+g_3+哈一点+…+(总一说3)】=扣一曰)=舟.

O

所以$8=2.

故选：B.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查等比数列求和，利用等差数列的性质求解参数问题，分类讨论，属于较难题.

根据4=£»—S"-i求出｛厮｝通项公式，利用ai=&可求出&=]求出a，利用等差数列的

性质，分类讨论确定a的范围即可得到选项.

【解答】

解：因为等比数列｛而｝的前n项和&=-b,

当九=1时，例=Si=g_b,

则当？222时,an=Sn-Sn-1-Qy+ft=-1xQ)”,

2/1\n2

而等比数列｛M｝,n=l满足an=FX鼻，则句=一万，

J\o/y

所以&=q,

J

则(而)"=俘T，即｛(而)"｝是以J为首项，*为公比的等比数列，

\O/JJ

若£=1时，则a=3,T=n,因为｛a｝是等差数列，所以a=3满足题意.

On

若时，则,则7_缸虹-⑶7_&G__⑶WX,

o上打一aaa

1——1——1-~~

333

因为｛△｝是等差数列，所以Z=4_1+4+1,n^2,neN*,

即a?—6a+9=0，解得a=3,与a#矛盾，

综上所述：a=3，

故选：。.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的通项公式及前71项和，等差数列的性质，考查了利用基本不等式求最值，是

中档题.

由数列｛an｝是等比数列，且首项ai=l,2s2+$4=3$3,结合等比数列的前几项和可得。=2.

得到%=2"-1.再由mn,"叼成等差数列，得到2mn=mOj+naj=m-2'T+TPN-I,整

理可得mn)(上I)mM，再由1<4<人得i=2,J=3满足条件，使得nm》［=8,则答案

可求.

【解答】

解：•.•数列｛厮｝是等比数列，且首项的=1,2s2+$4=3&，

则2♦(1+q)+(1+q+g2+消=3•(1+q+g2),

化简得：q3=2q2,

；q外,.'.q=2.

则an=2"T.

又•.•moj,mn,几叼成等差数列，2mn=men+naj=m-2*-14-n-25-1,

上式两边同时除以学，得4==+2》2.J2.兰，当且仅当当=多时，取等号，

2nmVnmnm

整理可得加.，

05

又1<4<九i=2,J=3满足条件，使得mn》一=8，此时7n=4,n=2.

4

故选：c.

9.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质，递推关系，不等式的性质，属于中档题.

根据题意分析可得：a2020>1，0<a202i<1.0<q<l,逐一分析各选项即可

【解答】

解：依题意等比数列｛厮｝满足条件：ai>1>02020,02021>1>(02020-1),(G2021-1)<0;

若q>1,则02020=,产I。>1,02021=,产20>1,

则口2020-1>0，G2021—1>0,则他2020—1)。2021-1)>0,与已知条件矛盾，

所以。>1不符合题意，故A选项错误；

由于ai>1,02020,02021>1,(02020-1),(02021-1)<0,

结合上述分析可得

所以O2020>1，0<02021<1>On>0,

8021—$2020=例021>0,。被。,。2022=(@2021)2<1，所以B,。选项正确；

因此，前2020项都大于1,从第2021项开始起都小于1,因此外⑼的值是｛累｝中最大的项，所

以。选项正确.

故选BCD.

10.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题主要考查等比等差数列的通项，前n项和公式，属于中档题.

由等差数列定义判断A，C-,由等比数列通项和基本不等式判断B；由等比数列定义判断D.

【解答】

解：对于4,Sn=nai+不1/,—=ai+(n-1)，,

2n2

所以袅：一号=的+S+1).-ai-ST)U，

n4-in222

所以数列©｝为等差数列，故A正确；

对于B，唾+年+2=(瓦q"T)2+但十+乎=非产-2(1+q4)>2M产-2q2=2埠+1,

当且仅当l=q2时等号成成立，故3正确；

“工八cc小小(2n+2)(2n+l)d_2n(2n—l)d,

对于。，§20+2—S2n=(2九+2)Q1H------------------27Mli-------------=2(21+(Z4j九+l)d,

2tA

S^n+2~—(S2n—>?2n-2)=2al+(4n+l)d—｛2ai+[4(n—1)+l]d｝=4d,故C正确；

对于D,当*1时，

瓦(l—q2n+2)&i(l-g2n)

-瑞=

A+2Z1_q-Z1—q

bi，

=z---卢(1-/)=瓦(i刊)卢

1-Q

当。=-1时，瑞+2-3=0,所以｛森+2—小｝不是等比数列，故。错误.

故选ABC.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查数列递推式，等比数列的通项公式及求和公式，考查转化思想与运算求解能力，属于难

题.

已知％=厮_1+20n_2,两边同时加上4-1,即可判断选项A,两边同时减去2%_1,即可判断

选项B,由A，B中等比数列的通项公式即可求得〃，从而判断选项C,利用分组求和及等比数

列的前n项和公式即可求解碗，从而判断选项。.

【解答】

解：痴=fln-i+20n_2,On+On-i=2a„_i+2a”_2=2（%_i+a„_2）（n》3）,

因为％=做=1,所以a?=蚀+2即=3,

+<12=4=2（02+G1）,

所以数列｛每+an+l｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以0n+a计I=2・2"T=2"，故选项A正确；

0n=On-1+2-2,

%-2On_i=20n-2一的-1=一(斯-1-2^_2)，

。3—202=3—2=1,02—2al=1—2=-1,

所以｛an+1-2aJ是首项为一1,公比为一1的等比数歹U,

0n+1—20n=-1・(一1产1=(—11，故选项3正确;

%+1+<Zn=2n

所以0n=2二舁眩，故选项C错误;

n

%+1-20n=(-l)

»§20=«1+02+•--+On

2-(-1),2*2-34(-1)2,,220一(一以。

―-3—十一3一十一•十3

_(2+22+...+220)—[(-1)+(一1尸+…+(一1>0]

=3

X[1-(一以0]

—J

=3(220-1)=341°-1),故选项D正确.

3o

故选：ABD.

12.【答案】2

【解析】

【分析】

本题主要考查对数列抽出的项构成等差、等比数列的综合问题的研究.

先由$5=204+05,09=034-04^,d=2,9=3;

先对n进行分类（正奇数与正偶数），分别求通项公式，对小进行分类（正奇数与正偶数），利用

求得的通项公式分别求满足题意的m即可.

【解答】

4+d=2q

解：因为$5=204+。5，。9=的十。4,所以。1+。2+。3=。4,。9=的+。4,即＜,

6Qa=2ng

解得d=2,q=3.

①当几为奇数时，设ri=2比一1,则“=d2k-i=ai+（fc—l）d=2k—1=n,

1

当几为偶数时，设九=2",则0n=出入=的才-'=2,

n,n=2k—l

综上斯=,,,keN*

2-3?5-1,n=2fc

②当m为奇数时,由amOm-i-i=%i+2。m•2•3号1=m+2，

即2,3¥=1+2,当m=l时，不合题；

m

当3时，右边小于2,左边大于2,等式不成立；

当m为偶数时，%An+i=%»+2=m+1=3,所以m=2.

综上，771=2;

故答案为2.

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项公式以及等比数列概念与的前n项和公式的应用，对逻辑推理和代数运

算能力有较高要求.

解答本题，首先要讨论数列｛厮｝的公差是否为0,当｛斯｝的公差为d=0时，易判断不合条件；

当｛a^的公差d/0时，利用等比数列的求和公式化简求出品=塞j•(2^-1),再根据ci+m,

Ci+m,C3+m求出m,然后对一般情况作出验证即可.

【解答】

解：由已知，数列｛｝是公差为的等差数列，

and

/.诙=ai+(n-l)d,

.2°n—2°l+(Ti_l)d_2aL好血.

于是，若存在常数使得数列｛册+m｝为等比数列，

•.•当d=0时，2%=2勾，

Cn=25+2磔+•••+2°»=n•2亚.

即y=拖为非零常数)，则生=也，且

(nt+m)2=[(n—l)t+m][(n+l)t+m],

解之，得t=0,不合条件;

当期0时，

q=2佝+2侬+♦••+2aB

_2aLd+d_|_2^i-d+2d+...+2aLd+nd

=2aLd（2"+22dd---F2nd）

2d—2d

l-2d

2nd-1

=2叽J~-

记矣J=蹉侬为非零常数），则金=〃（2•一1）,

ci=”（2d_l）,02="（2加一1）,。3="（/_1），

首先，由（⑦+m）2=（q+m）（cs+m）,

得：[t£（22"_l）+m]=[久（/_1）+7nl[〃（那_1）+m],

化间，得：TTl=U.

d

.「当m=u时，cn+m=u-2^,

这时Cn+l+m=U-2二）d=2d,

Cn+mu*2nd

2al

这说明，当且仅当m=u=k_r时，数列｛"+m｝成等比数列.

2al

故答案为：-7^.

14.【答案】98

(n-1)x2gl+2

【解析】

【分析】

本题考查等差数列和等比数列的实际应用，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，属于较难题.

根据题意用等差数列｛%｝表示第n年污染物排放量，用等比数列｛4卜表示第几年每单位修复费用,

用品=4,•比表示第n年修复总费用，则CI+C2+C3+C4表示4年后，该厂修复被污染水土的总

费用；再由错位相减法求出｛d｝的前n项和即可得兀年后，该厂修复被污染水土的总费用.

【解答】

解：由题意，用与表示第n年污染物排放量，｛&J是一个等差数列，

且a„=l+(n—l)xl=n,

用机表示第n年每单位修复费用，｛%｝是一个等比数列，且b=2-2"-1=2%

用d表示第n年修复总费用，则.=而•bn=n•2"，

所以4年后，该厂修复被污染水土的总费用为

n年后，该厂修复被污染水土的总费用：

123

Sn=Cl+C2+c3+...+Cn=1X24-2X2+3x2+...+n-2”①,

则2s“=1x22+2x妙+3xX+...+(ri-1)•2.+n•2"+】②,

①—②得一品=21+22+23+24+...+2n-d2n+i,

n+1n+1n+1n+1

-Sn=2(：一f)-n-2=2-2-n-2=2(l-n)-2.

n+1

Sn=(n-l)-2+2,即n年后，该厂修复被污染水土的总费用为(n—1)x2计i+2.

故答案为：98；(n—l)x2-i+2.

15.【答案】(1)证明：当n=l时，2O1=2Si=02-4+1,又做=5,

所以5=1,

当时，由2&,=*1—2"+1+1,得Z&Tuan-Zn+l,

两式相减得2an=a„+i—/一2",即0n+1=3a„+2”,

BFri'Jan+1i0n+*i3/33/an\

所以布+i=y+i+1=行+5=5(苏+?'

即篇+i=g(摄+i)，又3+1:4

」.数列｛:+D是以|为首项，g为公比的等比数列，

.总+1=(#，即加=3、2";

n

(2)由(1)可得%=log3(an+2")=log33=n,

当不等式&n(l+n)~入”(%+2)-6<0对于任意的n€N*恒成立时，即

(1-A)n2+(1-2A)n_6<0(nCM)恒成立，

令/(«)=(1—A)n2+(1—2A)n—6(nGN*),

当A=1时，j(n)=Ti-6<0(nwN*)恒成立，则A=1满足条件；

当入<1时，由二次函数的性质可知不等式/(n)<O(m€N*)不恒成立，则入<1不满足条件;

当A>1时，/5)的对称轴为"=加二^<0,则/(n)在［1,+oc)上单调递减，

所以7(n)W/(I)=-3A-4<0恒成立,则入>1满足条件,

综上所述，实数人的取值范围是［1,+8).

【解析】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的单调性，一元二次不等式恒成立，属于中

档题.

(1)由题意求2S“_i=an-2n+l,两式相减得20n=%+1—0n—2匕进而得到

需+1=*第+1)，即可求解；

(2)先求b*=n,代入得不等式(1-A)n2+(1-2A)n-6<0对任意的n€N*恒成立，构造函数

/(n)=(1-A)n2+(1-2A)n-6(nGN*),利用单调性解决.

16.【答案】解：(1)证明：因为j+1=5■浮7,所以二一=：+；,

2aH+1an+lJ3an

匚1

1I1A1

所以-----1=z----z，化为----=$，

Qn+130n3--i3

小

121

又因为一一1=5,所以一一l40(n€N*),

Q］O

所以［上一。是首项为京公比为:的等比数列；

)33

(2)由(1)可得工一1=。(J尸，所以L=2•(1)n+l,

Q丹OoG汴□

G111Jl1

OnCbn%\3323f7

11

c勺一环，i

=+2------—=n+1——,

1

1-33n

若&<100,则n+1-1<100,

J"

因为函数？=n+1-白单调增，

J”

m=99时，y=100-^<100,冗=100时，？=101一/>100,

所以最大正整数n的值为99；

⑶假设存在，则m+n=2s,(〜一1)(0n—1)=4一1产,

因为斯=而%,

化简得3"1+3"=2x3’，

因为3m+3n》2,3m+n=2•3‘，当且仅当仅="时等号，

又m,s,n互不相等，所以不存在.

【解析】本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质以及等比数列求和.

(1)根据题意整理项何=卷/+i=笄T，讲可*,可得二-=看+白，变形可得军一=1,

52(』+1。+1J3%___］3

又则［上一1］是首项为靠公比为：的等比数列，即证明［上一1)为等比数列；

的310nl33IanJ

(2)先由(1)得出数列｛2｝的通项公式，然后根据分组方法并结合等比数列前n项和公式求出S",

则不等式Sg<100可化简为外+1—2<100，又函数？=n+l—上单调递增，由此可得最大

V*

整数n的值；

(3)假设存在互不相等的正整数m、s、n,根据等差数列的性质及等比数列的性质得m+"=2s,

on

(%.—1)(0n—1)=(4—1)2,由⑵知斯=或一方，化简可得即+3"=2'38,又因为

J十Z

3m+3n22,3m+n=2,,当且仅当m="时等号成立，又m、s、几互不相等，所以

3团+3n>2x3,与假设矛盾，由此可得答案.

17.【答案】解：⑴由题意设数列｛%｝的公差为d(d和)，则Q2=Qi+d,a5=ai+4d,

/ai，©,恁成等比数列，

/.磅=•。5,即(ai+d)2=ai(ai+4d)，

整理得d2=2aid,解得d=0(舍去)或4=2Gl=2,

/.On=ai+(n-l)d=2n-1；

当71=1时，瓦=2,

当打》2时，bn=Sn-Sn-i

=2计1—2—(2n—2)

=2fl+i——2n

=2x2"-2n

验证：当n=l时，瓦=2满足上式，

n

数列他”｝的通项公式为bn=2;

2n1

⑵由(1)得，cn=2--n.

7；=(2-1)+(23—2)+Q5—3)+…+(2