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文档简介
2023届高考数学专项练习导数的同构思想
一、单选题
22
1.(2023-全国•高三专题练习)已知函数/(%)=--e'--1-lnT—Inx—kx-+1,对于任意的x]、x2
e(0,+oo),当为#g时,总有/⑻二"功>2成立,则k的取值范围是()
A.(_8,一曾B.C.(-8,_5]D.(-8,一表]
2.(2023-全国•高三专题练习)已知函数/(x)=—2NCOS4+}(a+1)力',对于任意的为,x2^(0,-y),
且为Vg都有W(^1)-刈/(电)>0成立,则实数a的取值范围是()
A.(―8,—3]B.(—8,3)C.(—oo,—l)D.(—oo,—i]
3.(2023-全国•高三专题练习)已知函数/(])=xln—+g(x)=—/+—当/£(0,+oo)时,f(1)>
CD
g(z)恒成立,则实数a的取值范围是()
A.[5+8)B.[±,+8)C.[1,+8)D.[e,+oo)
4.(2023-河南洛阳•洛宁县第一高级中学校联考一模)对任意xE(0,4-oo),不等式(a—1)宏+ln(ai)&
e」恒成立,则实数a的取值范围为()
A.(0,1]B.(0,e]C.(0,2e]D.(0,e2]
5.(2023-全国•高三专题练习)若关于x的不等式(a2—a)R+aln力<e“一2alna在(0,+8)上恒成立,
则实数。的最大值为()
A.VeB.eC.D.e2
6.(2023・上海•高三专题练习)若关于久的不等式左詈生一0警>0对VzC(0,1)恒成立,则实数a
的取值范围为()
A.(-8谭]B.[看+8)C[口)D.(0,-|-]
7.(2023-全国•高三专题练习)已知不等式]+aln/+;>z"对xG(1,+8)恒成立,则实数a的最小
值为()
A.-VeB.—C.-eD.-2e
8.(2023春・河南・高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习)已知函数/(%)=*~+-0/一1有两
e
个不同的零点,则实数a的取值范围是()
A.(0,5)B.(0,1)C.[0,1]D.(-8,9)
9.(2023.全国.安阳市第二中学校联考模拟预测)已知关于工的不等式俨mln>+'在(]看)
上恒成立,则正数m的最大值为()
A.—B.0C.cD.1
e
1().(2023春・河南洛陶・方三新安县第一方级中学校考开学考试)已知函数/3)=^—411(3-£1)+
a(a>0),若关于r的不等式/(工)>0恒成立,则实数a的取值范围()
A.(0,e2)B.(0,1)C.(4,1)D,(0,e)
11.(2023春•宁夏石嘴山•高三平罗中学校考阶及练习)已知函数/(*)=aln(±+l)+/,在区间(3,4)
内任取两个实数为,g且为15,若不等式"一一/一一°>1恒成立,则实数&的取值范围为
X\一"X2g
()
A.[-9,+oo)B.[-7,+«>)C.[9,4-oo)D.[7,+00)
12.(2023春・湖北•高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习)若不等式d-ln/-a恒成立,则实数a的取
值范围是()
A.[0,+℃))B.[—1,+<»)C.[-^-,4-co)D.[―e,+oo)
13.(2023春•置庆长寿•方三立庆市长寿中学校校考期中)已知函数/(x)=(x+a)-e",若对任意x,>g
>1都有双/1(电)一血/(为)V0,则实数a的取值范围是()
A.[-4,+oo)B.[—3,4-0°)C.[-2,4-co)D.[—1,+<»)
14.(2023春•宁夏•商三六叠山高级中学校考期中)已知不等式ae"+In(>0对cC(0,+~)恒成立,则
实数a的最小值为()
A.B.4C.—D.—
2eVeee
15.(2023年•辽宁・ili三辽宁实骏中学校考阶段练习)若关于I的不等式x2+x\na.~aer\nx>0对VxE
(0,1)恒成立,则实数a的取值范围为()
A.(一8,9]B,(0,-^]C.[pl)D.[9,+8)
16.(2023春•湖南祁阳•高三库相市第二中学校背阶&练习)对V/e(4,+8),不等式上—更磬
二0恒成立,则实数a的取值范围是()
A.[看,+8)B.,+8)
C.(一8,0)u[/,+8)D.(-8,0)U底,+8)
17.(2023春・格建福州・高三校联考期中)已知函数/3)=(^+4],对任意的实数皿口£(-8,+8),且
T,*g,不等式“司二〃与)>为+及恒成立,则实数a的取值范围是()
(371IjC?
A.[5,+8)B.序+8)C.(看,+8)D.仔,+8)
18.(2023春•江苏苏州•高三校联考阶段练习)已知a>0,若对任意的工C(皆,+8),不等式枭"“一
当之》()恒成立,则实数a的取值范围是()
A/看,+8)B./+8)C,[l.+oo)D.%,+8)
二、填空题
19.(2023-四川泸州•泸州老春天府中学校考模拟覆测)已知不等式x+alnx+1>工"对工C(1,+°o)
恒成立,则实数a的最小值为.
20.(2023-全国•高三阶段练习)已知不等式e'+alnx>岁+工对任意cC(1,+8)恒成立,则正实数a的
取值范围是.
21.(2023春・江苏南京・南三南京市中华中学校考阶段练习)若关于工的不等式/1(占+工)<6""+
mxm(x一Inrr)恒成立,则实数m的最小值为
22.(2023-全国•高三专题练习)已知aV0,不等式/+%“+alnz2()对任意的实数:力>1恒成立,则实数
a的最小值为:,.
23.(2023春•江西宜春•高三江西省丰城中学校考阶段练习)已知函数fQ)=axlnx-十/一a£(aW0).
L/~(21)一/(附)|
若V为,(l,e),且为Xg都有V3.则实数a的取值范围是
ki-x2\
24.(2023春•辽宁沈闲•高三沈阳市第十中学校考阶段练习)若关于X的不等式*一21nz-x2+ar>()
在(0,+8)上恒成立,则实数a的取值范围是.
x
25.(2023春•福建莆田•高二莆田一中校考期中)已知不等式e+(1-a)x-inx-Ina>0对任意TG
(0,+8)恒成立,则实数a的最大值是.
26.(2023春•天津河东•ili三天津市第七中学校考期中)若对任意x6((),+8),都有+2ax>
--L+21n以其中c为自然对数的底数)恒成立,则实数a的最小值为_________.
X
27.(2023春•河南•赤三校联考阶段练习)若cC(0,+8),不等式小一^-x2-x'm+mxinx+-y
(mxlnx)2>0(其中m>0)恒成立,则m的取值范围为.
28.(2023春・浙江杭州・方三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)已知对任意的/E(1,+8),不等式上・
(e&"+1)-(1+l)lnz>0恒成立,则k的取值范围是.
29.(2023秋•黑龙江•方二科博一中校考期末)已知函数/(c)=aei-皿土+Ina,若不等式/(工)>
1恒成立,则实数a的取值范围为.
30.(2023-湖北黄石•大治市第一中学校考模拟H测)已知关于T的不等式e“T+a>aln(ax-2a)(a>
0)恒成立,则实数a的取值范围为.
31.(2023秋•全国•南二期木)已知不等式alnz,-;+对任意NG((),1)恒成立,则实数a的最
小值为
32.(2023-全国-高三专题练习)完成下列各问
(1)已知函数/(1)=xel—a(x+Ine),若/(%))0恒成立,则实数a的取值范围是
(2)已知函数/(a;)a(i+ln1+1),若/(I)>()恒成立,则正数a的取值范围是
(3)已知函数/⑺=xeT+e—a(x+\nx+1),若/(力)>()恒成立,则正数a的取值范围是
(4)已知不等式xeJ—a(x+1)>In%对任意正数①恒成立,则实数a的取值范围是;
(5)已知函数/(力)=xbeT—a\nx—1—其中b>0,若/(x)>0恒成立,则实数a与b的大小
关系是___
(6)已知函数/(])=aer—\nx—1,若/(c)>0恒成立,则实数a的取值范围是—;
(7)已知函数/⑺=ae,T—]n2c—1,若/(Z)>()恒成立,则实数a的取值范围是
(8)已知不等式er—i^kx+Ini,对Vre6(0,+8)恒成立,则fc的最大值为
(9)若不等式a/+—Iru;—1>0对2>0恒成立,则实数a的取值范围是
33.(2023^9•方三专题练习)已知/(⑼=/冈.设实数馆>0,若对任意的正实数力,不等式/(记工))
/(喏)恒成立,则M的最小值为.
34.(2023-四川泸州•泸州者中天府中学校考模拟演潴)已知不等式T+minx+2""对xG(1,+«>)
恒成立,则实数m的最小值为
导数的同构思想
一、单选题
2
1.(2023*全国-高三专题练习)已知函数/(%)=会2'一ylnT—Inx—kx—卷。+1,对于任意的电、x2
e(0,+oo),当为wg时,总有3二"攻>2成立,则k的取值范围是()
A.(—8,一卷]B.(-8,一贵]C.(―8,—5]D.(_8,一蚩]
【答案】A
【解析】不妨设电>42,由>2可得出y(xt)—/(x2)>2^1-2X2,
即/(电)-2/>7(X2)-2g,
令g(*)=f(*)—2a;=+e汲一—In%—Ins—fcr—(2++1,其中z>0,
则g(xt)>g(a:2),所以,函数g(2)在(0,+co)上为增函数,
则g'Q)=e2"一炮三士1-fc-(2+-)>0,则-胆土1—口+工),
xexe
令贴)=*一士1—(2+看),其中力>0,"⑺=2。22+噜=生聿些,
令p(i)=2x2e2x+Imr,其中化>(),所以,p\x)=4x(x+l)e2®+J>。,
所以,函数p(c)在(0,+8)上单调递增,
因为P(_~)—2屋-2—1V,-1VO,p⑴=2e2>0,
所以,存在的€(―,1),使得p(g)=2xoe2x"4-Ing=0,则2xe2x<,=--—lna;=—In—,
e,斯o加。3n
令力(力)=%e],其中x>0,则t'(x)=Q+l)ex>0,故函数力(①)在(0,+8)上为增函数,
因为窃W(―,1),1<—Ve,所以,0<In—<1,
egx()
2l,,
由2a:()e=—In—可得£(2g)="ln~L),所以,2g=—Ing,可得&%=工,
gXg,的,x()
且当0ViVn()时,h\x)<0,此时函数九(出)单调递减,
当⑦>g时,"(c)>0,此时函数八(])单调递增,
所以,岫嬴=MM=e-»-塔土工一(2+卷)=匕(;2崛_(2+1)=-1,
所以,k4-"
故选:A.
2.(2023・全国・高三专题练习)已知函数/(i)=-2xcosx+-1-(a+l)z”,对于任意的,x2E(0,
且21Vg都有42f⑶)-^i/(^2)>0成立,则实数a的取值范围是()
A.(—8,-3]B.(-8,3)C.(―8,—1)D.(—oo,—l]
【答案】A
【解析】令gQ)=,则gQ)=-2cosx+J~(a+1)/,
Ju/
由题意知对于任意的Xi,(0,,且eVg都有X2/(X1)-xj(x2)>0成立,
即>";?,故g(刈))g(g),即9(乃=1/是(0,y)上的单调减函数;
故4(%)=2sinrr+(Q+l)cW0在/G(0,-y)时恒成立,
即亘詈《一号」在ce(0,y)时恒成立,
f
设《=sini-xyxE(0,号),则y=cosx—1<0,xE(0,,
故?/=sinx—x,x€(0,爰)单调递减,所以sin%—x<0,
即0cs•mx</x,xuG/(0八,-兀y、I,..-si-n—x<J11,
所以一旦>>1,即aW—3,
故选:A
3.(2023・全国・高三专题练习)已知函数/(1)=xln—+aer,g(力)=—"十%,当xE(0,+8)时,f(x))
g(±)恒成立,则实数a的取值范围是()
A.信会B.已,+8)C.U+8)D.[e,4-oo)
【答案】B
【解析】当1W(0,+oo)时,由/(①)>g(c),可得cln0+ae”>—
不等式两边同时除以力可得Ina—Ina+ex+,na-ln;r>-x+1,
即e"】ni+力+ma-Ini-1>0,
令力=0+Ina—InT,h(t)=e'+±—1,其中力GR,h!(t)=ef+1>0,
所以,函数以t)在R上为增函数,且九(0)=0,由九⑴二0,可得OO,
所以,对任意的土>0,x+Ina—hix>0,即Ina>\nx—x,
11—个
令p(c)=Inc—4,其中0,则p'Q)=——1=-,
当OCzVl时,p'(a;)>0,此时函数pQ)单调递增,
当立>1时,p'(x')V0,此时函数p(c)单调递减,
所以,lna>p(s)n)ax=p(l)=-1,解得2看.
故选:B.
4.(2023-河南洛沟•洛宁县第一高级中学校联考一模)对任意x6(0,+8),不等式(Q-l)x+ln(w)<
c“恒成立,则实数a的取值范围为()
A.(0,1]B.(O,e]C.(0,2c]D.(O.e2]
【答案】B
【解析】由(a—l)x+In(ax)We",则ax+In(ax)&e,+Ine1,
因为y=/+Ina;在(0,+8)上为增函数,所以a±We',即a4三对任意x6(0,+<»)恒成立,
JC
设函数九(%)=~9则"(1)=C;2",
由〃(£)vo可得ovivi,由WQ)>0可得名>1,
所以无(算)在(0,1)上为减函数,在(1,4-00)上为增函数,所以Q&九(a)min=MD=。>
因为ar>0对任意的xE(0,+8)恒成立,所以a>(),
所以0Va<e.
故选:B.
5.(2023-全国•高三专题练习)若关于x的不等式(a2—a)x+a\nx<e7—2alna在(0,+8)上恒成立,
则实数a的最大值为()
A.VeB.eC.V?D.e2
【答案】A
【解析】由已知可得a>0,c>0,由(a?-a)c+alnxWe"-2alna可得(a—1)步+lns^e:c_|na—
21na,
所以,,工一加0+4—Ina>ax+Ina?+Ina=eIni+Ino4-Inc+Ina,
构造函数/(©)=e*+c,其中c€R,则/⑸=ea:+l>0,
故函数/(c)在R上为增函数,由e1n0+x-\na>eIn^lna+\nx+Ina可得fQ-Ina)>
f(lnx+Ina),
所以,x-Ina>hix+Ina,即21IIQ4a一Inx,
令gQ)—x—\nx,其中力>0,则g\x)=1——=———
cZzx
当0<rc<l时,g\x)VO,此时函数g(i)单调递减,
当C>1时,"(0)>(),此时函数gQ)单调递增,则g(])min=g(l)=1,
21na&1,解得0VaW正\故实数Q的最大值为Ve.
故选:A
6.(2023-上海•南三专题练习)若关于立的不等式.“a_吟与>0对V劣e(0,1)恒成立,则实数a
的取值范围为()
A.(-8谓]B,[1,+oo)C.[^,1)D.((),5]
【答案】B
【解析】由题设可得3号>皿,令f(⑻=乎,则/(ae。>/(⑼在(0,1)上恒成立,
由/'(0=1,?力,在(0,e)上/'(⑼>0;在(e,+8)上/,(⑼<0;
所以/(土)在(0,e)上递增;在(e,+<»)上递减,且/(I)=0,
在(0,1)上/(立)<0,(!,+<»)Jzf(x)>0,而a>0,
所以,只需ae">a;在(0,1)上恒成立,即a>三恒成立,
令g3)=%,则成立)=1工①>0,即。㈤在(。」)上递增,故an⑴=卷
故a的取值范围为[《,+8).
故选:B
7.(2023>全国•商三专题练习)已知不等式;r+alna:+1>±"对x€(1,+8)恒成立,则实数a的最小
值为()
A.-VeBC.—cD.—2c
2
【答案】C
【解析】因为x4-a\nx+-^>xa,
i
所以nH-->xa-a\nx=xa—lnxrt,
即2Tn(2)>xa-\nxa,
构造函数/(7)=x—\nx,x>0
所以
小)=1制=得,
令r(a;)>0,解得:4>1,令f'Q)V0,解得:0Va;<l,
故/Q)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,
当4>1时,0<土<1,立。与1的大小不定,但当实数。最小时,只需考虑其为负数的情况,此时0<
xa<l
因为当OVrrVl时,/(。)单调递减,
故士V*
两边取对数得:—x<alnx(T>1)
・・。>一证,
令g(M=一焉,则9'⑸=方需',
令g,(c)>0得:1Va:Ve,令g,(c)V0得:e,
所以9(力)在(1,e)单调递增,在(e,+8)单调递减,
所以gQ)&g(e)=-e
故Q的最小值是一e.
故选:C
8.(2023春•河南•高三洛阳市第一方级中学校联考阶段练习)已知函数/(立)=?+Inrr—ac—1有两
e
个不同的零点,则实数。的取值范围是()
A.(0,!)B.(0,1)C.[0,1]D.(-8,:)
【答案】A
【解析】由题意得/(①)=~77+Inx—ax-1=^nx~ax+Inx—ax-l,rr>0,
令g(t)=e'+力-1,g'«)=ef+1>0,该函数在A上为单调增函数,且g(0)=0,
故函数/(力)=-77+Inx—Q/—1有两个不同的零点,即力=Inx-QC有两个不同的零点,
e
令1=\nx—arc=0,(%>0)即直线9=a与h(x)=(x>0)的图象有两个不同交点,
又"3)=^——维二当OVaVe时,hf(x)>O,/z(x)递增,当2>6时,h![x)<0,^(x)递减,
x
则无3)max=g当⑦>0,1—0时,”⑼=1^£一—8,
作出其图象如图:
由图象可知直线g=a与八3)=e",(%>0)的图象有两个不同交
点,需有aW(0,1),
故选:A.
9.(2023.全国•安也市第二中学校联考模(测)已知关于x的不等式①"i+1&mln:+d在。君)
上恒成立,则正数小的最大值为()
A.—B.0C.eD.1
e
【答案】C
【解析】xtn~]+1变形为xtn+x^m\nx+ex,
x。
即xm-\nxm<e”-Ine”,
其中M>0,oE(l,e3),故l,ex>1,
令/«)=t-lnt(t>1),则有/(力刃&f©),
因为r⑴=1—y=与工>0在1上恒成立,故/⑴=±-In力在方>1上单调递增,
故力"'We,两边取对数得:minxx,则^―,
X772
令。3)=4二,则。'⑸=1一严,故当立C(l,e)时,g'®>0,
当⑦€(e,+oo)时,g\x)<0,
故g(c)=鱼丝在%e(i,e)上单调递增,在(e,+<»)上单调递减,
g(c)=尘3在a?=e处取得极大值,也是最大值,g3)max=1,
所以《解得:0<m<e,故正数7n的最大值为e.
故选:C
10.(2023春•河南洛用•方三新安县第一高级中学校考开学考■试)已知函数/Q)=屋一aln(a,-a)+
a(a>0),若关于:r的不等式/(0>0恒成立,则实数a的取值范围()
A.(O,e2)B.(0,1)C.(-j-,1)D.(0,e)
【答案】A
【解析】因为a>0,由/(i)=ex—aln(ax-a)+a>0,可得兀—Ina—ln(x—1)+1>0,
所以,eI-Ina+x—Ina>x—1+ln(x—1),
令gQ)=e*+其中①£R,则g'Q)=ex+1>0,所以,函数g(c)在R上单调递增,
由ex-lntt+x-\na>x-l+ln(x-1)可得g(x-Ina)>g[ln(c-1)],
所以,c—Ina>ln(x—1),所以,InaV%—ln(c—1),其中夕>1,
令九(化)=x—ln(i—1),其中1,则”Q)=1-----j-=——j-.
当1<工<2时,"(z)<0,此时函数九(为单调递减,
当工>2时,M(c)>0,此时函数单调递增,
所以,h(x)min=九(2)=2,所以,InaV2,解得0VaVe?.
故选:A.
IL(2023春•宁夏石嘴山•高三平罗中学校考阶段练习)已知函数/(二)=alnQ+1)+/,在区间(3,4)
内任取两个实数:5,g且4若不等式人为一))—〃)—D>1恒成立,则实数a的取值范围为
X\一X2
()
A.[―9,+8)B.[—7,4-oo)C.[9,4-oo)D.[7,+8)
【答案】A
【解析】不妨设3V力]<①2V4,
则/(的一1)一/(电-1)V〉一如
即/(为-1)一①1</(电-1)一力2,
令g(%)=f(x—1)-x=alnx+(力—I)2—x
=a\nx+x2—3x+l,
则gQi)vg(g),
・・・g(c)在(3,4)单调递增,
g'(%)=1+2%—3>0对/£(3,4)恒成立,
而,(3—2x)恒成立,
令九(%)=/(3—2]),xG(3,4),
则Mr)在(3,4)单调递减,
h(x)<九(3)=—9,
/.Q2—9,
a的取值范围是[-9,+8).
故选:A
12.(2023春•湖北・高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习)若不等式ci>Inc-a恒成立,则实数a的取
值范围是()
A.[0,+oo)B.[—l,+oo)C.[—~D.[―e,+8)
【答案】B
【解析】构造/(⑦)=ex+x,
则/(⑼在H上显然递增,
由e"a>lmr-a得
ex+a+a+%>Inc+x,
即ex+a+a+c>elnx+Ina;,
,c+Q>Inx,
a^lnx—xy
令g{x}=\nx—x{x>0),
则"3)=!-1=与二
由g'Q)>0得OVuVl,g(rc)递增,
由g'(x)V0得c>1,g(x)递减,
・••gQ)max=g(i)=-1,
(1—1.
故选:B.
13.(2023春•置庆长寿•高三重庆市长寿中学校校考期中)已知函数/㈤=(I+a)•e“,若对任意为>g
>1都有//(双)一GJ(刈)VO,则实数a的取值范围是()
A.[—4,+oo)B.[-3,+«>)C.[-2,4-00)D.[-1,+°°)
【答案】A
【解析】由条件对任意为>的>1都有电/(g)-g/(珀vo,化为,
X]2/2
构造g(a:)=①,则y=<y(x)在(l,+8)上单调递增,
.R-—加
>0在(1,+8)上恒成立,
x
X2
。>o,即一aW在(1,+8)上恒成立,
X—1
/(i)22(a;-1)+1
令h(x)=x+=(工-1)+Jy+2,
x—1x—1
>1,x-1>0,
/.(3;-1)+彩万+2>4,当且仅当力=2时取等号,
八(工)=(X—1)+L+2>4,当且仅当rr=2时取等号,
aW4,a>—4,故3,。,£>错误.
故选:A.
14.(2023春•宁夏•高三六叠山商级中学校考期中)已知不等式ae,+In|>0对;rC(0,+8)恒成立,则
实数a的最小值为()
A.4B.4-C.—D.—
2eVeee
【答案】C
【解析】丁ae"+In羡>0,/.ae*+Ina—lnx>0,aex-klna+x>x+Inx,即aex+}n(aex)+
hire,
令/(%)=i+lnc(宏>0),则不等式化为f(aex)>/(支),
•./⑺=1+5=小,
当x>0时J'Q)>0,"(6)在(0,+oo)上单调递增,
:.aex^x,即三,
令gQ)=今,则。'(乃=+产,
令g'(c)=0,解得2=1,
当0VuV1时,g'(x)>0,gQ)单调递增;当人>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
所以9⑸max=9⑴=9,
所以
实数a的最小值为
故选:C
r
15.(2023春•辽宁•高三辽宁实贬中学校考阶秋练习)若关于x的不等式/+x\na-ae\nx>0对V,C
(0,1)恒成立,则实数a的取值范围为()
A.(―8,十]B.(0,1]C.[卷1)D.已,+8)
【答案】D
【解析】由x~+x\na-aerAnx>0,可得x\n(ae")—aex\nx>0,
即>等,令f(0=等,则〃ae')>〃⑼在(0,1)上恒成立,
所以/'(re)=1一严,由f⑸>0可得工e(0,e),由f(x)V0可得;re(e,+8),
X
所以/(7)在(0,e)上递增,在(e,+8)上递减,且/(I)=0,
在(0,1)上,㈤<0,(1,+℃>)上/(工)>0,而a>0,
所以,必须且只需ae,>2;在(0,1)上恒成立,即a>三恒成立,
令*)=今,则g'(I)=,^>。,即在(°」)上递增,
故a\g⑴=9,
故a的取值范围为[卷,+8).
故选:D.
16.(2023春•湖南邳阳•高三邳相市第二中学校考阶段练习)对Vxe(4,+8),不等式—史磬
)0恒成立,则实数a的取值范围是()
A.[看,+8)B.[5+8)
C.(一8,())u[;,+8)D.(-8,0川[白+8)
【答案】C
【解析】当a<0时,Va;e(1,+8),.e">0,"(叫<0,故]_小一4一⑼)()显然成立.
当a>0时,不等式Je*-ln(2T■-0恒成立,即-yeaI>里也1成立,即ae">21n(20,进而转化为
arre">2cln(2/)=成止)・ln(2rr)恒成立.
令g(2)=xex,则g'(c)={x+l)eT,当工>0时,g'(c)>0,所以g(c)在(0,+°0)上单调递增,则不等式
1⑻ln(2c)
>0恒成立等价于g[ax)>g(ln(20)恒成立.
Te-----a---
因为a>0,力W(子,+8),所以Q%>0,ln(2%)>0,所以ln2z对任意的x€(},+8[恒成立,所
以盖磬恒成立.
设h(t)=毕(t>1),可得h\t)=1一叫当1<tVe时,h'(t)>0,h(t)单调递增;当t>e时,h'(t)
工L
<0,h(t)单调递减.所以当t=e时,函数九⑴取得最大值,最大值为h(e)=卷,此时2工=e,所以当
>_1_,解得<1>_|_,即实数<2的取值范围是[看+8).
综上实数a的取值范围是(-8,o)u[看,+8).
故选:C
17.(2023春•福建温州•高三校联考期中)已知函数/Q)=ae"+4c,对任意的实数sbx2G(-oo,+oo),fi
为#6,不等式“"ID>为+g恒成立,则实数a的取值范围是()
£C]272
A.[看,+8)B.[看,+8)C.(!,+8)D.信,+8)
【答案】B
【解析】不妨设C|>g,由—~>电+6,得f(g)一/(g)>x'i-x'2,
X\—X2
即/(如一/〉/3)一成
令g(c)=/(/)一比2,所以对任意的实数如gw(-8,+8)仍>g时,都有g(皿)>g(g),
即g{x}在(—oo,+oo)上单调递增,所以g'(c)=aex—2x+4>0在0G(―8,+8)上恒成立,
即Q>2、a.在1G(—8,-|-oo)上恒成立.
ex
令从工)=组三生.则“3)=显笠,
ee
令”(力)>0,解得力V3,令"(c)<0,解得x>3,
所以九(①)在(-8,3)上单调递增,在(3,+8)上单调递减,
99
所以62),皿="3)=菽,所以a>/,
即实数a的取值范围是[詈,+8).
故选:B.
18.(2023春•江苏苏州•方三校联考阶段练习)已知a>0,若对任意的工e层,+8),不等式
色詈■》()恒成立,则实数a的取值范围是()
A/看,+8)B.号,+8)C.[1,+(»)D.[+,+8)
【答案】A
【解析】因为a>0,不等式^^如一色/2>0恒成立,即--eax^成立,即aeax^21n(2c),进而
转化为axem>2x\n(2x)=eln(2x)-ln(2x)恒成立.
令g(rc)=xex,则gf(x)=(。+l)ex,当2>0时,g\x)>0,所以g(c)在(0,+o°)上单调递增,则不等式
-^-eax-色>0恒成立等价于g(QN)>g(ln(2i))恒成立.
因为Q>0,力€(今+8),所以Qi>0,山(26)>0,所以Q2>ln2%对任意的x€(g,+8[叵成立,所
以万•>一^—恒成工
设九⑴=1),可得"⑴=J~察^.当1VtVe时,”⑴>0,h(t)单调递增;当方>e时,hr(t)
。t
<0,/z(i)单调递减.所以当t=e时,函数八⑴取得最大值,最大值为/z(e)='|■,此时2;r=e,所以等
>5,解得&>看,即实数a的取值范围是+°°).
故选:A
二、填空题
19.(2023•四川泸州•泸州者*天府中学校考模拟演浏)已知不等式x+a\nx+2>对工e(1,+8)
恒成立,则实数a的最小值为.
【答案】-e
【解析】因为ic+alna:对ce(1,+8)恒成立,
e,
1
所以id—^^/一Qlne=o:a—In1”对1G(1,+oo)恒成立,
即HIn/。对出E(1,4-oo)恒成立,
构造函数/(c)=%—Inc,①>0,
所以/(誉)>/(/),
又因为(3)=1一工=三二工
令J'3)>0,解得:x>l,令尸⑸V0,解得:0<x<l,
故/Q)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,
1
当立>1时,ovvia与1的大小不定,
但当实数a最小时,只需考虑其为负数的情况,
此时0
因为当ova:VI时,/Q)单调递减,
故士V*
ex
两边取对数得:—x<alnT(T>1),
所以此一麻
令9(±)=一高,
则。,㈤=1二喙
」9⑺Qn。,
令g,(c)>0,得:1VcVe,令g,(c)<(),得:4>6,
所以gQ)在(1,e)单调递增,在(e,+°o)单调递减,
所以g(z)&g(e)=-e,
故Q的最小值是一e.
故答案为:一e
20.(2023-全国•方三阶段练习)已知不等式+alnrr>%"+1对任意xE(1,+8)恒成立,则正实数。的
取值范围是.
【答案】(0,e]
【解析】不等式e”+a\nx>①“+c可变形为一%>力。一alnc=ealnT-a\nx.
因为a>0且力>1,所以a\nx>0.
令/(〃)=eu—u[u>0),则/'(a)=ew—1>0.
所以函教/(〃)在(0,+8)上单调递增.
不等式e”—泗11'—a\nx等价于/(i)^f(ahix),所以alnc.
因为劣>1,所以a&卷.
设g(°)=>0>则g'S)=隔帚,
当zW(l,e)时,g'Q)<0,函数g(c)在(l,e)上单调递减;
当笛C(e,+8)时,g'(x')>0,函数g(c)在(e,+oo)上单调递增.
所以g(E)min=g(e)=e,所以OVa&e.
故正实数a的取值范围是(0,e].
21.(2023春•江苏南京•南三南京市中华中学校考阶段练习)若关于,的不等式2m(e,+c)&e”"+
7m(工一ln±)恒成立,则实数m的最小值为.
【答案】曰
[解析]:勺>0,不等式两边同时除以①m,得:ex+T<——+m(x—\nx)
x
:.ex+x<+m(x-Inx);.e,+1&enM-mlnx+m(x-Inx)
x
...e+x<e'M'TnG+^(立一inx)①
令/(6)—e"+6,可知/(①)单调递增.
①式等价于/(力)—Inc))恒成立
x^m(x—Inx)恒成立.
构造8(①)=力一lna(£>0),则((){x)=」&।,故当xG(0,1)时夕'(/)<0,
当/G(1,+8)时夕'(0)>0,所以夕(。)=x—lnx(x>0)在i=1时取得最小值.
Fp(p(x)=x—Inx>^)(0)=l>0,:.x-\nx>0
m>----1----恒成立
x—inx
令。(乃二区奇启侬,。)
T-lncc-x(l-Yi_i
•±-)—-i1口n—T—
"(x—lnx)2(x-lnx)2
当①e(0,e)时,gr{x}>0,9(x)单调递增;当②€(e,+8)时,gr(x)<0
Jg(力)单调递减;
・・.g(c)的最大值为g(e)=不三],《三「故实数m的最小值为.
故答案为:鼻
22.(2023-全国•南三专题练习)已知aV(),不等式心小靖+alnx>0对任意的实数x>1恒成立,则实数
Q的最小值为:.
【答案】-e
【解析】力"k'+alni>0,I.xeT>—=—a\nx•e~a}nx
xa9
构造函数/(%)=比],显然/(c)在(0,+8)上单调递增,
故/(1)>/(—alnx)等价于力>—aln①,即一任意的实数c>l恒成立,.
令93)=卷,,>1则9'㈤
6
故g(c)在(1,C)上单调递减,在(e,+oo)上单调递增,gQ)min=C,得(—j^)rnax=-・
故答案为:一e
23.(2023春•江西宜春•高三江西霍丰城中学校考阶段练习)已知函数f(x)=axlnx--r2-ax(aW0).
若V⑻,z,€(l,e),且⑻#勿都有火:)一,(7)1<3.则实数a的取值范围是
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