运用函数与方程思想解题的策略

第一节运用函数与方程思想解题的策略（文）九江市同文中学敖强【地位与作用】纵观近几年的高考数学试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想的考查，一直是高考的重点内容之一。高考试题中，既有灵活多变的客观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有易有难，可以说是贯穿了数学高考整份试卷。函数与方程思想是最重要的一种数学思想,高考中所占比重比较大，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，高考题对函数的思想方法的考查已经达到较高的层次，综合知识多、题型多、应用技巧多。函数与方程思想几乎渗透到高中数学教学的各个领域，在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。【高考要求】能力要求：逻辑思维能力、等价转换能力、空间想象能力、运算能力、识别能力、运用数学知识分析问题和解决问题能力。方法要求：函数思想主要有：（1）引入变量，确定函数关系；（2）选定主元，揭示函数关系；(3)选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数关系。方程思想主要有：（1）待定系数求解方程；（2）分类思想讨论方程；（2）变量代换构造方程。主要题型：（1）利用函数与方程的性质解题；（2）构造函数与方程解题；（3）函数、方程、不等式三者之间的相互转化；（4）函数与方程在立体几何中的应用；（5）函数与方程在解析几何中的应用；（6）函数与方程在导数中的应用；（7）函数与方程在数列中的应用；（8）应用函数与方程研究实际问题。【例题选讲】1.利用函数与方程的性质解题例1.(2009年山东卷文科第12题)已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,则()A.B.C.D.【点拨】首先由可得，再利用函数的奇偶性、周期性化简得，，，再利用单调性进行大小比较.【解答过程】:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数,则,,,又因为在上是奇函数，,得,,而由得,又因为在区间上是增函数,所以,所以,即,故选D.【易错点】不能由关系式判断出函数的周期性，不能由定义在上的奇函数得到，不能将自变量的值通过周期变换和奇偶性转化到区间上，进而利用增函数的性质比较大小。2.构造函数与方程解题例2.已知，（、、），则有（）A.B.C.D.【点拨】解法一通过化简，敏锐地抓住了数与式的特点：看作是方程的一个实根，再利用一元二次方程有根的充要条件求得；解法二转化为是、的函数，运用重要不等式解题．【解答过程】解法一：依题设有∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴∴故选B.解法二：去分母，移项，两边平方得：∴故选B.【易错点】不能合理地转化为是、的函数或构造来解题。3.函数、方程、不等式三者之间的相互转化例3.（2008年广东卷理科第14题）已知,若关于的方程有实根，则的取值范围是.【点拨】求参数的范围，可以先将分离出来，表示为的函数，求出函数的值域，进而得到参数的范围。【解答过程】方程即，即当时，变为，故无解当时，变为，故当当时，变为，故无解总之，的取值范围是【易错点】不能将方程问题转化为函数问题来解，解绝对值不等式时分类不清。4.函数与方程在立体几何中的应用ABCDA1B1C1D1EHFG图8-1例4.（2010年福建文科第20题）如图8-1，在长方体中，分别是棱,上的点（点ABCDA1B1C1D1EHFG图8-1（1）证明：平面；（2）设，在长方体内随机选取一点，记该点取自于几何体内的概率为.当点分别在棱,上运动且满足时，求的最小值.【点拨】（1）要证明线面平行只需证明线线平行，即（2）求的最小值，可以先将用体积来表示，再把体积表示为、的函数，最后运用重要不等式解出最小值.【解答过程】（1）证明：在长方体中，,又，平面,平面,平面(2)设，则长方体的体积几何体的体积当且仅当时等号成立。从而故，当且仅当时等号成立。所以，的最小值等于【易错点】不能将立体几何问题转化为运用函数、方程与不等式的思想来解决。5.函数与方程在解析几何中的应用例5.（2008高考全国Ⅱ卷文科第22题）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与相交于点，与椭圆相交于、两点．（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值．【点拨】（1）将直线方程和椭圆的方程联立，设出相关点的坐标，消去参数，解方程求；（2）由已知可得，四边形面积转化为两个三角形的面积的和，从而求点、分别到直线的距离，可以将面积表示为的函数，再利用均值不等式求最大值．图8-2【解答过程】（1）依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，．图8-2如图8-2，设，其中，且满足方程，故．①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．（2）根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．又，所以四边形的面积为，当且仅当，即时，上式取等号．所以的最大值为．【易错点】不知道如何表示四边形面积，从而不知如何下手．6.函数与方程在导数中的运用例6.（2010年福建文科第22题）已知函数的图像在点处的切线方程为.(1)求实数的值；(2)设是上的增函数.（i）求实数的最大值；(ii)当取最大值时，是否存在点，使得过点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。【点拨】（1）由在点处的切线方程为，可得，代入列方程可解得；（2）（i）首先由导数知识转化为在上恒成立，再把分离出来，表示为的不等式，最后求出函数的值域，进而得到参数的最大值.(ii)由两个封闭图形的面积相等,等价于求图像的对称中心.【解答过程】（1）由及题设得，即（2）（i）由，得是上的增函数，在上恒成立，即在上恒成立，设，即不等式在上恒成立令，因为，故(ii)由（i）得，其图像关于点成中心对称证明如下：故图像关于点成中心对称这也就表明，存在点,使得过点的直线能与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等。【易错点】不能准确判断函数是对称图形，并正确求出其对称中心。此类问题我们可以类比函数的对称问题，对称中心为。7.函数与方程在数列中的应用例7.（2009浙江文科第20题）设为数列的前项和，，，其中是常数．（1）求及；（2）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．【点拨】（1），求出，再利用求；（2）由成等比数列得出等式,由任意的都成立，从而求出.【解答过程】（1）解法一：当，（）经验，（）式成立，解法二：由可知，数列是等差数列，故，，（2）成等比数列，，即，整理得：，对任意的成立，【易错点】化为最简形式时，运算会发生错误；不能联想到等差数列前项和公式的特征。8.应用函数与方程研究实际问题例8.（2010年福建文科第21题）．某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。【点拨】(1)首先把表示为的函数，再利用函数的性质求最小值.(2)把表示为的函数，再利用函数的性质求最小值.(3)列出表示为的函数,由总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,把函数问题转化为一元二次方程的根的分布问题再去求解.O北O北南东西A2030tSBC图8-3（1）解法一：设相遇时小艇的航行距离为海里，如图8-3，则故当时，即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在处相遇。在中，此时，轮船航行时间即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。（2）设小艇与轮船在处相遇由题意可得：化简得:由于，即，所以当时，取得最小值即小艇航行速度的最小值海里/小时。（3）由（2）知，设于是小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程应有两个不等正根，即：，解得所以的取值范围是【易错点】（1）不能建立正确的函数关系以及；（2）对一元二次方程的根的分布不能做出正确判断。【点评】函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程的解就是函数的图象与轴的交点的横坐标，函数也可以看作二元方程通过方程进行研究.就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决.1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3.(1)函数和方程是密切相关的，对于函数，当时，就转化为方程，也可以把函数式看做二元方程.函数问题（例如求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程，就是求函数的零点.(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.(3)数列的通项或前项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要.(4)函数（）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题.(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论.(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.习题8-11.（2010年全国1文科第7题）已知函数.若且，，则的取值范围是()A.B.C.D.2.（2008年四川文科第9题）函数满足，若，则()Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.3.（2010年天津文科第16题）设函数,对任意恒成立，则实数的取值范围是________.4.（2010年江苏卷第14题）将边长为1正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则的最小值是________.5.已知，，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围．6.（2010年辽宁文科第20题）设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.（1）求椭圆的焦距；（2）如果,求椭圆的方程.习题8-1参考答案1.C解法一：因为,所以,所以或，即(舍去)，或，所以又，不妨设,所以，令，由“对勾”函数的性质知函数在上为减函数，所以,即的取值范围是，故选C.解法二：由，不妨设,且得，利用线性规划得，转化为求的取值范围问题.从图中可知的取值范围为，故选C.2.C是周期为4的周期函数，，故选C.3.由已知得为上的增函数且。若，由复合函数的单调性可知和均为增函数，此时不符合题意。故，有因为在上的最小值为2，所以，即,解得