高中数学第一章立体几何初步7.3球的表面积和体积讲义北师大版

7.3球的表面积和体积第一章

§7简单几何体的面积和体积学习目标1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.2.会求解组合体的体积与表面积.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一球的截面思考什么叫作球的大圆与小圆？答案

平面过球心与球面形成的截线是大圆.平面不过球心与球面形成的截线是小圆.梳理用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是

，有以下性质：(1)若平面α过球心O，则截线是以

为圆心的球的大圆.(2)若平面α不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足为O′，记OO′＝d，对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，则有O′P＝

，即此时截线是以

为圆心，以r＝

为半径的球的小圆.O圆O′知识点二球的切线(1)定义：与球只有

公共点的直线叫作球的切线.如图，l为球O的切线，M为切点.(2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径；②过球外一点的所有切线的长度都

.相等唯一前提条件球的半径为R表面积公式S＝______体积公式V＝_____知识点三球的表面积与体积公式πR34πR2[思考辨析判断正误]1.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.(

)2.两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.(

)3.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.(

)×√×题型探究例1

(1)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_____.类型一球的表面积与体积答案3π解析解析

由三视图知该几何体为半球，(2)已知球的表面积为64π，求它的体积.解答解

设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，反思与感悟

(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.此时要特别注意球的三视图都是直径相同的圆.跟踪训练1

(1)已知球的体积为π，则其表面积为______.解析答案100π解得R＝5，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.(2)某器物的三视图如图，根据图中数据可知该器物的体积是解析√答案解析由三视图可知，此几何体上部是直径为2的球，下部是底面直径为2，高为

的圆锥，类型二球的截面例2

在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.解答解

依题意知，△ABC是正三角形，所以球的表面积S＝4πR2＝16π.反思与感悟(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题.(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.跟踪训练2如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为解析√答案解析利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，解析

长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.类型三与球有关的组合体命题角度1球的内接或外切柱体问题例3

(1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_____.14π解析答案解析

由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为____.解析答案反思与感悟

(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r1＝.(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2＝.√答案解析解

如图所示，将正四面体补形成一个正方体.设正四面体的棱长为a.又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，命题角度2球的内接锥体问题例4若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积.解答解把正四面体放在正方体中，跟踪训练4球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________.解析答案解析

设球的半径为R，①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，过球心及内接圆锥的轴作轴截面如图，达标检测解析设圆柱的高为h，得h＝4R.1.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为A.R B.2R

C.3R D.4R√12345答案解析答案解析解析

如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，12345√233.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A.9π B.10πC.11π D.12π451答案√解析解析

由三视图可知，该几何体的上部分是半径为1的球，下部分是底面半径为1，高为3的圆柱.由面积公式可得该几何体的表面积S＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.4.两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为A.1 B.2 C.3 D.4解析

设两球半径分别为R1，R2，且R1>R2，所以R1－R2＝2.解析23451答案√表面积为S1＝4πR2，半径增加为2R后，表面积为S2＝4π(2R)2＝16πR2.即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.5.若球的半径由