高中数学北师大版必修函数4函数的奇偶性与简单的幂函数函数的奇偶性【全国一等奖】

第2课时函数奇偶性的应用已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，你能结合奇函数与偶函数的性质将下图补充完整吗？1.掌握函数奇偶性的简单应用.2.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件.通过函数奇偶性的应用，熟悉掌握转化、对称等思想方法（逻辑推理）会求函数图象的对称轴、对称中心，解决求值问题（直观想象）探究一

根据函数奇偶性画函数图象

偶函数的图象关于y轴对称，如果能够画出偶函数在y轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在y轴另一侧的图象.

奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在原点另一侧的图象.例1.画出下列函数的图象（1）（2）提示：（1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶函数，这样只要画出了在x≥0时的函数图象就可以根据对称性画出函数在x<0时的图象.（2）函数是奇函数，同样根据对称性解决.【解析】（1）当时，其图象是以点(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线，与x轴的交点坐标是(0,0)(2,0).此时函数图象在y轴右半部分如图所示：根据函数图象的对称性得到整个函数的图象，如图.（2）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（0，1]上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，且在（0，+∞）上函数值都是正值，函数在（0，+∞）上的最小值为2.（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）根据函数在（0，+∞）上的性质，作出函数的图象，如图第一象限内部分.根据奇函数图象关于坐标原点对称画出这整个函数的图象，如图。设奇函数f(x)的定义域为［-5,5]，当x∈［0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，（1）作出函数在［-5,0]上的图象.（2）求使函数y＜0的x的取值范围.【变式练习】利用奇函数图象的性质，画出函数在[－5,0]上的图象，直接从图象中读出信息．由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，知它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值范围为(－2,0)∪(2,5)．【解析】探究二

根据函数的奇偶性求函数解析式例2.已知函数f(x)在（0,+∞）上的解析式是f(x)=2x+1，根据下列条件求函数在（-∞，0）上的解析式.（1）f(x)是偶函数；（2）f(x)是奇函数.分析：求函数f(x)在(-∞，0）上的解析式，就是求当时，如何用含x的表达式表示f(x).能够利用的已知条件是函数在（0，+∞）上的函数解析式，这样就要把（-∞，0）上的自变量转化到（0，+∞）上的自变量.根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函数就是f(x)=f(-x)，这样当时，，而在（0，+∞）上的函数解析式是已知的.对奇函数同样处理.（1）当函数f(x)是偶函数时，满足f(x)=f(-x)，当时，，所以，当时，(2)当函数f(x)是奇函数时，满足f(x)=-f(-x).当时，，所以，当时，【解析】探究三

利用函数的奇偶性研究函数的单调性回顾例1中两个函数的图象从第（1）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律.从第（2）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律.例3.已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，证明函数在（-∞，0）上也是减函数.分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-∞，0)上取值，然后作差，通过函数是奇函数，把函数在(-∞，0)上的函数值转化到（0，+∞）上的函数值，再根据函数在（0，+∞）上是减函数，确定所作的差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的结论.所以-f(x1)+f(x2)<0，即f(x1)-f(x2)>0.证明：在（-∞，0）上任取x1<x2，则-x1>-x2>0因为函数在（0，+∞）上是减函数，所以由于函数f(x)是奇函数，所以根据减函数的定义，函数f(x)在（-∞，0）上是减函数.函数的单调性与奇偶性的关系(1)若f(x)是奇函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性相反.(2)奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反,且互为相反数;偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等.【规律方法】例4：若f(x)是偶函数，其定义域为(-∞,+∞)，且在[0,+∞)上是减函数，则与的大小关系是________________.提示：要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小.

因为又因为f(x)在［0,+∞)上是减函数,所以又因为f(x)是偶函数，所以所以【解析】函数奇偶性的应用核心知识方法总结易错提醒核心素养利用奇偶性求分段函数求解析式，求谁令谁比大小时注意利用奇偶性将变量转化到同一区间绘制补全函数图像培养直观想象，比大小解不等式培养逻辑推理的核心素养利用定义法证明函数奇偶性一定要注意先求定义域利用奇偶性求分段函数解析式，注意灵活运用定义利用奇偶性求函数解析式奇偶性的运算性质利用奇偶性求参数值比大小、解不等式奇偶性与单调性的关系1.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=2,且f(x+1)=f(x+6),那么f(10)+f(4)的值为_____.因为f(x)为奇函数，f(1)=2,f(x+1)=f(x+6),所以f(0)=0,f(-1)=-2,f(10)=f(5)=f(0)=0,f(4)=f(-1)=-2,故f(10)+f(4)=-2.-2【解析】2.函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上为增函数，试比较f(－2)与f(1)的大小．【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(1)＝f(－1),又因为f(x)在(－∞，0]上为增函数，－2＜－1，所以f(－2)＜f(－1)＝f(1)，即f(－2)＜f(1).3.已知函数f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，且在[-4，4]上单调递增．若f（a+1）+f（a-3）＜0，求实数a的取值范围．【解析】因为函数f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，且在[-4，4]上单调递增．若f（a+1）+f（a-3）＜0，则f（a+1）＜f（3-a），解得-1＜a＜1.4.定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则(

) A.f(3)<f(－4)<f(－π) B.f(－π)<f(－4)<f(3) C.f(3)<f(－π)<f(－4) D.f(4)<f(－π)<f(3)C【解析】选C.因为f(x)是定义在R上的偶