瞬时变化率导数（苏教版选修）

一、填空题（每题4分，共24分）1.(2010·天津高二检测）已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行，则f′(2)等于____.【解析】由导数的几何意义知在点(2,1)处的切线的斜率为f′(2),又切线与直线3x-y-2=0平行,∴f′(2)=3.答案:32.任一作直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s(t)=3t-t2,则物体的初速度是____.

【解题提示】物体的初速度即为t=0时物体的瞬时速度,即函数s(t)在t=0处的导数,【解析】

答案:3.（2010·连云港高二检测）已知函数f(x)在区间［0,3］上的图象如图所示，记k1=f′(1)，k2=f′(2)，k3=f(2)-f(1)，则k1、k2、k3之间的大小关系为____.【解析】因为函数自左向右上升的速度越来越慢，即瞬时变化率越来越小，根据导数的几何意义可知对应点处的导数值也越来越小，故k1>k2又k3=f（2）-f（1）=表示过A、B两点的割线AB的斜率，结合图形可知，k1>k3>k2.答案:k1>k3>k24.(2010·绥化高二检测）曲线y=在点(1,-1)处的切线方程为____.【解析】设y=f(x),Δx无限趋近于0时,无限趋近于-2.∴f′(1)=-2.∴切线方程为y+1=-2(x-1),∴y=-2x+1.答案:y=-2x+15.若曲线y=2x2-4x+p与直线y=1相切，则p=____.【解析】设切点为(x0,1)，Δx→0时,=4x0-4+2Δx→4x0-4.由题意知4x0-4=0得x0=1，即切点坐标为(1,1),∴1=2×1-4+p,∴p=3.答案：36.(2010·杭州高二检测）如图所示，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f(5)=____,f′(5)=____.【解析】由导数的几何意义知，f′(5)=-1,由点P在切线y=-x+8上知yP=-5+8=3,∴点P的坐标为(5,3),∴f(5)=3.答案：3-1二、解答题（每题8分，共16分）7.（1）已知质点运动方程是s(t)=gt2+2t-1，求质点在t=4s时的瞬时速度（其中s的单位是m,t的单位是s）.（2）已知某质点的运动方程是s(t)=3t2-2t+1,求质点在t=10s时的瞬时速度.【解析】∵当Δt→0时，→4g+2,∴s′(4)=4g+2,即v(4)=4g+2,所以，质点在t=4s时的瞬时速度为(4g+2)m/s.8.已知曲线y=f(x)=上两点P(2,-1)，Q(-1,).求：（1）曲线在点P处、点Q处的切线的斜率；（2）曲线在点P、Q处的切线方程.

【解题提示】解答本题先求出函数的解析式,然后求出导函数,最后求在点P、Q处的斜率及切线方程.【解析】（1）曲线在点P处的切线斜率为f′(2)=曲线在点Q处的切线斜率为f′(-1)=（2）曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0;曲线在点Q处的切线方程为y-=［x-(-1)］,即x-4y+3=0.9.(10分）设f(x)是定义在R上的函数，且对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),若f(0)≠0,f′(0)=1.(1)求f(0）的值；(2)证明对任意x∈R,都有f(x)=f′(x).【解析】(1)∵f(x