第一节对弧长和曲线积分

第一节对弧长和曲线积分第一页，共二十五页，编辑于2023年，星期四第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分

第十章第二页，共二十五页，编辑于2023年，星期四一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”

可得为计算此构件的质量,1.引例:

曲线形构件的质量采用第三页，共二十五页，编辑于2023年，星期四设是空间中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，

称为积分弧段.曲线形构件的质量和对第四页，共二十五页，编辑于2023年，星期四如果L是xoy

面上的曲线弧,如果L是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx

可能为负.第五页，共二十五页，编辑于2023年，星期四3.性质（k为常数)(

由组成)(l为曲线弧

的长度)第六页，共二十五页，编辑于2023年，星期四二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义第七页，共二十五页，编辑于2023年，星期四点设各分点对应参数为对应参数为则第八页，共二十五页，编辑于2023年，星期四说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.因此第九页，共二十五页，编辑于2023年，星期四如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:

设空间曲线弧的参数方程为则第十页，共二十五页，编辑于2023年，星期四例1.

计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)第十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期四例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解:

建立坐标系如图,则第十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期四例3.计算其中L为双纽线解:

在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得第十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期四例4.计算曲线积分

其中为螺旋的一段弧.解:

线第十四页，共二十五页，编辑于2023年，星期四例5.

计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知第十五页，共二十五页，编辑于2023年，星期四思考:例5中改为计算解:

令,则圆的形心在原点,故,如何第十六页，共二十五页，编辑于2023年，星期四例6.计算其中为球面解:化为参数方程则第十七页，共二十五页，编辑于2023年，星期四例7.有一半圆弧其线密度解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.第十八页，共二十五页，编辑于2023年，星期四内容小结1.定义2.性质(l

曲线弧

的长度)第十九页，共二十五页，编辑于2023年，星期四3.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧第二十页，共二十五页，编辑于2023年，星期四思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:第二十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期四2.

设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z

轴的转动惯量(2)求它的质心.解:设其密度为

ρ(常数).(2)L的质量而(1)第二十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期四故重心坐标为第二十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期四备用题1.

设

C

是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:

分段积分第二十四页，共二十五页，编辑