第一章 弹性力学的基本理论

第一章弹性力学的基本理论第一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四课程研究对象研究的主要内容弹性力学弹性体梁、柱、坝体、板、壳等受力体的应力、应变和位移的精确分析材料力学杆状构件梁、柱等杆件在拉、压、弯、扭、剪状态下的应力和位移理论力学刚体刚体的静、动力学（约束力、速度、加速度）分析结构力学杆系结构桁架、刚架等杆系结构的约束力、内力与位移的计算塑性力学弹塑性体结构的弹塑性分析表1不同力学课程主要研究对象和内容的比较第二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四弹性力学的基本假设与基本定律连续性假设完全弹性假设

无初应力假设

基本假设匀质和各向同性假设小变形假设第三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四基本定律

牛顿定律几何连续性定律物性定律⇨应力和应变之间的关系(物理方程)动量平衡原理⇨平衡(运动)微分方程动量矩平衡原理⇨应力张量的对称性作用与反作用定律⇨

⇨位移和变形的关系(几何方程)⇨

位移边界条件第四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四弹性力学的基本方法从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用边界条件确定解中的常数。按照方程中保留的未知量，求解方法可分为

应力法（以应力为未知量）位移法（以位移为未知量）混合法（同时以应力和位移为未知量）精确解法：采用数学分析的手段求得精确解近似解法：最有效的是基于能量原理的变分方法数值方法：有限元法，有限差分法，边界元法等第五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

学习弹性力学的目的理解和掌握弹性力学的基本理论、基本概念、基本方程、基本解法。能够阅读弹性力学相关文献，并应用已有解法为工程服务。能够将所学的弹性力学知识应用于近似解法－变分法、差分法和有限单元法的理解。为进一步学习固体力学的其它分支学科打下基础。第六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四弹性力学的发展史自学第七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四弹性力学中的几个基本概念

外力体积力：分布在物体体积内的力，如重力和惯性力表面力：作用在物体表面的力，可以是分布力，也可以是集中力第八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四物体在外力的作用下，伴随变形而同时在物体内产生抵抗变形的力，称为内力。F1F2ⅡⅠF1—Ⅱ部分物体对Ⅰ部分物体的作用力F2

—Ⅰ部分物体对Ⅱ部分物体的作用力F1

和F2

大小相等，方向相反。

内力、应力及应力张量截面单位面积上的内力称为应力。第九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四应力及应力张量（续）

t

称为作用在P

点处以n

为外法线的截面上的应力向量。应力向量t

不仅依赖于P

点的坐标，而且还依赖于截面的法线方向n

。在物体内的同一点P，不同截面上的应力向量是不同的。如果已知过某点三个相互垂直截面上的三个应力向量，则过该点任何其他方向截面上的应力向量均可求出。即这三个相互垂直的应力向量完全确定了该点的应力状态。第十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四正应力用表示。为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个坐标角码。剪应力用表示，并加上两个坐标角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。应力的表示及正负号的规定正应力－垂直于作用面的分量剪应力－在作用面内的切向分量第十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四剪应力互等定理：

作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力，是互等的（大小相等，正负号也相同）。证明：

a、b分别为前后两个面的中心。连线ab，并以之为矩轴，列出力矩平衡方程，得到同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出第十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四应力张量

是对称的二阶张量过一点任意截面上的应力分量，完全由该点的应力张量唯一地确定。即一点的应力状态是用该点的应力张量表示的。第十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四等效应力—Von－Mises应力第十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四应变

正应变：线段每单位长度的伸缩，用表示。伸长为正，缩短为负。剪应变：线段之间直角的改变，用表示。直角变小时为正，反之为负。如果这6个量在P点是已知的，则该点的变形可以完全确定。位移

物体内任意一点的位移，用它在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w

来表示。以沿坐标轴正方向的为正，沿坐标轴负方向的为负。第十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四弹性力学问题的分类杆件长度远大于横向尺寸的构件。几何要素为横截面与轴线。板壳厚度方向的尺寸远小于其它两个方向尺寸的构件。块体长、宽、高三个方向尺寸为同一量级的构件。

§1-2弹性力学的基本方程第十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四空间问题的数学描述

已知的几何参数和载荷（表面力和体积力），一般都与三个坐标参数x、y、z有关；

15个未知函数—

6个应力分量：

6个应变分量:

3个位移分量：u、v、w，一般都是三个坐标参数x、y、z的函数；基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为已知时，维数可相应减少。

各类问题的基本方程及基本未知量

第十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

平面问题的数学描述

已知的几何参数和载荷（表面力和体积力）只与两个坐标，例如x、y有关，而与z无关；

15个未知函数中只存在有oxy平面内的分量，且只是x、y的函数，其余分量或不存在，或可以用oxy平面内的分量表示；基本方程式是二维的。第十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。

平面应力问题几何形状特征：物体在一个坐标方向（例如z）的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸，如图所示的薄板。载荷特征：在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面，体积力亦平行于板面且沿厚度不变。第十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四平面应变问题几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很长，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等直柱体；位移约束条件或支承条件沿z方向也相同。载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于z轴，且分布规律不随z变化。o第二十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

由于对称（任一横截面都可以看作是对称面），所有各点都只会沿x和y方向移动，而不会有z方向的位移，即。因为所有各点的位移矢量都平行于oxy面，所以称之为平面位移问题，习惯上称为平面应变问题。第二十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四在弹性力学里分析问题，要从三个方面来考虑：

静力学方面、几何学方面和物理学方面。首先考虑平面问题的静力学方面，根据平衡条件来导出应力分量与体积力分量之间的关系式，也就是平面问题的平衡微分方程。一、平衡微分方程第二十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四连续性假设小变形假设略去二阶以及二阶以上的微量假设AD面处的正应力为σx，由于BC面相对于AD面x坐标有dx的增量，应力也将有相应的增量，BC面处的正应力可以用泰勒级数表示为第二十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四根据微元体处于平衡的条件，可以得到三个平衡微分方程。（一）作用于体心M的合力矩为零，即略去微量，整理，得出证明了剪应力互等定理。第二十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四（二）x方向的合力为零，即整理后，得（三）y方向的合力为零，即类似于上式，可得平面问题的平衡微分方程第二十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四x方向PA的正应变y方向PB的正应变几何方程表明了应变分量与位移分量之间的关系。二、几何方程第二十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

PA与PB所夹直角的改变，即剪应变由两部分组成：x方向线素PA向y方向的转角，记为，和y方向线素PB向x方向的转角，记为，即由上图可知，在小变形下，，所以同理，所以第二十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四综合以上所列各式，得出平面问题的几何方程式要保证物体的位移是连续的，则应变分量之间必须满足一定的条件，即变形协调方程，或相容方程。第二十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四应变分量与应力分量之间的关系，即物理方程，也称为本构方程。在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系由虎克定律导出

E

是弹性模量，G

是剪切弹性模量，

是侧向收缩系数，又称为泊松比。三、物理方程第二十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

位移边界条件

应力边界条件设平面弹性体在Su边界上给定位移和，它们是边界坐标的已知函数。则在Su边界上，位移分量必须等于该点的给定位移，即设平面弹性体在边界上给定表面力分量和，它们是边界坐标的已知函数。则在边界上，应力分量与给定表面力之间的关系，可由边界上微元体的平衡条件得出。§1-3边界条件第三十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四在物体的边界上，取一微元三角形ABC，其斜边BC与物体的边界面重合。N表示边界的外法线方向，N的方向余弦为cos=l，sin=m，则dx=mds,dy=lds由微元体平衡条件，得略去高阶小量，整理后得同理，由，得由略去高阶小量后，得第三十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四所以，平面问题的应力边界条件在上当边界面垂直于坐标轴时，应力边界条件将简化：

边界垂直于x轴，l=1,m=0

边界垂直于y

轴，l=0

,m=1在上在上第三十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

混合边界条件物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分具有已知表面力，因而具有应力边界条件。按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：

位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是Su边界

应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是边界。这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。

混合边界问题：既有Su

边界，又有边界。二者可以分别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。第三十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四试列出下图所示弹性体的边界条件q1q2ρgyaOxyx=ax=0y=0y=bb第三十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四§1-4求解平面问题的基本方法在弹性力学里求解问题，有三种基本方法：按位移求解，按应力求解和混合求解。

按位移求解时，以位移分量为基本未知函数，由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量以后，再用几何方程求出应变分量，从而用物理方程求出应力分量。

按应力求解时，以应力分量为基本未知函数，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出应变分量，从而用几何方程求出位移分量。在混合求解时，同时以某些位移分量和应力分量为基本未知函数，由一些只包含这些基本未知函数的微分方程和边界条件求出这些基本未知函数以后，再用适当的方程求出其它的未知函数。第三十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四弹性力学的一些普遍原理圣维南原理叠加原理

在线弹性和小变形条件下，同一物体上若干组外力分别作用下的叠加，等于这若干组外力同时作用于该物体上。解的唯一性定律

利用应变能定律可以证明，受已知体力作用的弹性体，其表面或者面力已知，或者位移已知，或者一部分面力已知而另外一部分位移已知，则弹性体在平衡时，体内各点的应力分量与应变分量是唯一的，对于后两种情况，位移分量也是唯一的。

把物体一小部分上的面力变换成分布不同但静力等效的面力，只影响近处的应力分布，而不影响远处的应力。该原理又称为局部性原理。换言之，若一小部分边界作用有平衡力系（即主矢量和主矩为零），则此平衡力系只在近处产生显著应力，而对远处的影响可以忽略不计。第三十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四表2平面问题基本方程名称基本方程表达式基本方程平衡微分方程几何方程物理方程平面应力问题平面应变问题基本未知量注：第三十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四表3平面问题的三类边界条件位移边界条件应力边界条件混合边界条件在边界上在边界上或，在边界上或在边界上第三十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四弹性力学的主要解法解析法应用数学分析方法求解微分方程，得出精确的函数解。变分法（能量法）根据能量极值原理，导出变分方程，求解。得出近似解答。差分法将微分方程和边界条件化为差分方程（代数方程）进行求解。有限单元法将连续体变换为离散体结构，再将变分原理应用于离散化结构，将微分方程化为线性代数方程组，用计算机求解。第三十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四位移法－－按位移求解在平面应力问题中，物理方程是求得应力分量位移法，应力法－－直接解题法第四十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四将几何方程代入，得再将上式代入平衡微分方程简化后，得到用位移表示的平衡微分方程第四十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四代入应力边界条件简化后，得到用位移表示的应力边界条件

对于平面应变问题，须在上面的各个方程中将E换为，将

换为第四十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四如图所示悬挂板，在o点固定，下端自由，材料比重为，试求该板的应力分量和位移分量。一维问题v=0,u=u(x),泊松比μ＝0g代入用位移表示的平衡微分方程解出利用边界条件得出所以第四十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四