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文档简介
2024学年广东省汕头市金中南区学校高二上数学期末预测试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在四面体中,,,,且,,则等于()A. B.C. D.2.设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、,则由,可得.类比上述方法:设实系数一元三次方程在复数集C内的根为,则的值为A.﹣2 B.0C.2 D.43.曲线的离心率为()A. B.C. D.4.已知圆C的圆心在直线上,且与直线相切于点,则圆C方程为()A. B.C. D.5.已知三棱锥OABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且,用表示,则等于()A. B.C. D.6.已知,且,则的最大值为()A. B.C. D.7.双曲线的渐近线方程为()A. B.C. D.8.已知数列满足,,则()A. B.C.1 D.29.若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍,则等于A. B.1C. D.210.在等差数列{an}中,a1=1,,则a7=()A.13 B.14C.15 D.1611.已知函数在上是增函数,则实数的取值范围是()A. B.C. D.12.已知抛物线C:,则过抛物线C的焦点,弦长为整数且不超过2022的直线的条数是()A.4037 B.4044C.2019 D.2022二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年),大约100年后,阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质,比如:从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴:反之,平行于抛物线对称轴的光线,经抛物线反射后,反射光线经过抛物线的焦点.已知抛物线,经过点一束平行于C对称轴的光线,经C上点P反射后交C于点Q,则PQ的长度为______.14.已知、均为正实数,且,则的最小值为___________.15.如图所示,二面角为,是棱上的两点,分别在半平面内,且,,,,,则的长______16.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则实数m的值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图1,在△MBC中,,A,D分别为棱BM,MC的中点,将△MAD沿AD折起到△PAD的位置,使,如图2,连结PB,PC,BD(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;(2)若E为PC中点,求直线DE与平面PBD所成角的正弦值18.(12分)已知椭圆的左焦点为F,右顶点为,M是椭圆上一点.轴且(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线与椭圆C交于E,H两点,点G在椭圆C上,且四边形平行四边形(其中O为坐标原点),求19.(12分)设为数列的前n项和,且满足(1)求证:数列为等差数列;(2)若,且成等比数列,求数列的前项和20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,圆O以原点为圆心,且经过点.(1)求圆O的方程;(2)若直线与圆O交于两点A,B,求弦长.21.(12分)已知圆,直线过定点.(1)若与圆相切,求的方程;(2)若与圆相交于两点,且,求此时直线的方程.22.(10分)一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂,且只受重力的影响,这个链子形成的曲线形状被称为悬链线(如图所示).选择适当的坐标系后,悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数,其解析式可以为,其中,是常数.(1)当时,判断并证明的奇偶性;(2)当时,若最小值为,求的最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【题目详解】解:由题知,故选:B.2、A【解题分析】用类比推理得到,再用待定系数法得到,,再根据求解.【题目详解】,由对应系数相等得:,.故选:A.【题目点拨】本题主要考查合情推理以及待定系数法,还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力,属于中档题.3、C【解题分析】由曲线方程直接求离心率即可.【题目详解】由题设,,,∴离心率.故选:C.4、C【解题分析】设出圆心坐标,根据垂直直线的斜率关系求得圆心坐标,结合两点距离公式得半径,即可得圆方程【题目详解】设圆心为,则圆心与点的连线与直线l垂直,即,则点,所以圆心为,半径,所以方程为,故选:C5、D【解题分析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算可得结果.【题目详解】.故选:D6、A【解题分析】由基本不等式直接求解即可得到结果.【题目详解】由基本不等式知;(当且仅当时取等号),的最大值为.故选:A.7、A【解题分析】直接求出,,进而求出渐近线方程.【题目详解】中,,,所以渐近线方程为,故.故选:A8、C【解题分析】结合递推关系式依次求得的值.【题目详解】因为,,所以,得由,得.故选:C9、D【解题分析】根据抛物线的定义及题意可知3x0=x0+,得出x0求得p,即可得答案【题目详解】由题意,3x0=x0+,∴x0=∴∵p>0,∴p=2.故选D【题目点拨】本题主要考查了抛物线的定义和性质.考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用,属于基础题10、A【解题分析】利用等差数列的基本量,即可求解.【题目详解】设等差数列的公差为,,解得:,则.故选:A11、A【解题分析】由题意可知,对任意的恒成立,可得出对任意的恒成立,利用基本不等式可求得实数的取值范围.【题目详解】因为,则,由题意可知,对任意的恒成立,所以,对任意的恒成立,由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,所以,.故选:A.12、A【解题分析】根据已知条件,结合抛物线的性质,先求出过焦点的最短弦长,再结合抛物线的对称性,即可求解【题目详解】∵抛物线C:,即,由抛物线的性质可得,过抛物线焦点中,长度最短的为垂直于y轴的那条弦,则过抛物线C的焦点,长度最短的弦的长为,由抛物线的对称性可得,弦长在5到2022之间的有共有条,故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是故选:A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、####【解题分析】根据题意,求得点以及抛物线焦点的坐标,即可求得所在直线方程,联立其与抛物线方程,求得点的坐标,即可求得.【题目详解】因为经过点一束平行于C对称轴的光线交抛物线于点,故对,令,则可得,也即的坐标为,又抛物线的焦点的坐标为,故可得直线方程为,联立抛物线方程可得:,,解得或,将代入,可得,即的坐标为,则.故答案为:.14、【解题分析】由基本不等式可得出关于的不等式,即可解得的最小值.【题目详解】因、均为正实数,由基本不等式可得,整理可得,,,则,解得,当且仅当时,即当时,等号成立,故的最小值为.故答案为:.15、【解题分析】推导出,从而,结合,,,能求出的长【题目详解】二面角为,是棱上的两点,分别在半平面、内,且所以,所以,,,的长故答案为【题目点拨】本题主要考查空间向量的运算法则以及数量积的运算法则,意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,是中档题16、【解题分析】分别求出椭圆和抛物线的焦点坐标即可出值.【题目详解】由椭圆方程可知,,,则,即椭圆的右焦点的坐标为,抛物线的焦点坐标为,∵抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,∴,即,故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解题分析】(1)推导出,,利用线面垂直的判定定理可得平面,再利用面面垂直的判定定理即可证明;(2)以A为坐标原点,建立如图空间直角坐标系,利用向量法即可求出直线DE与平面所成角的正弦值.【小问1详解】由题意知,因为点A、D分别为MB、MC中点,所以,又,所以,所以.因为,所以,又,所以平面,又平面,所以平面平面;【小问2详解】因为,,,所以两两垂直,以A为坐标原点,建立如图空间直角坐标系,,则,设平面的一个法向量为,则,令,得,所以,设直线DE与平面所成角为,则,所以直线DE与平面所成角的正弦值为.18、(1)(2)【解题分析】(1)根据椭圆的简单几何性质即可求出;(2)设,联立与椭圆方程,求出,再根据平行四边形的性质求出点的坐标,然后由点G在椭圆C上,可求出,从而可得【小问1详解】∵椭圆C的右顶点为,∴,∵轴,且,∴,∴,所以椭圆C的标准方程为【小问2详解】设,将直线代入,消去y并整理得,由,得.(*)由根与系数的关系可得,∴,∵四边形为平行四边形,∴,得,将G点坐标代人椭圆C的方程得,满足(*)式∴19、(1)证明见解析;(2)答案见解析.【解题分析】(1)利用给定的递推公式,结合“当时,”变形,再利用等差中项的定义推理作答.(2)利用(1)的结论,利用等比中项的定义列式计算,再利用等差数列前n项和公式计算作答.【小问1详解】依题意,,当时,有,两式相减得:,同理可得,于是得,即,而当时,,所以数列为等差数列.【小问2详解】由(1)知数列为等差数列,设其首项为,公差为d,依题意,,解得或,当时,,当时,.20、(1)(2)【解题分析】(1)根据两点距离公式即可求半径,进而得圆方程;(2)根据直线与圆的弦长公式即可求解【小问1详解】由,所以圆O的方程为;【小问2详解】由点O到直线的距离为所以弦长21、(1)或;(2)或.【解题分析】(1)由圆的方程可得圆心和半径,当直线斜率不存在时,知与圆相切,满足题意;当直线斜率存在时,利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得,由此可得方程;(2)当直线斜率不存在时,知与圆相切,不合题意;当直线斜率存在时,利用垂径定理可构造方程求得,由此可得方程.【小问1详解】由圆的方程知:圆心,半径;当直线斜率不存在,即时,与圆相切,满足题意;当直线斜率存在时,设,即,圆心到直线距离,解得:,,即;综上所述:直线方程为或;【小问2详解】当直线斜率不存在,即时
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