湖南省浏阳一中、醴陵一中2024年数学高二上期末监测试题含解析

湖南省浏阳一中、醴陵一中2024年数学高二上期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，且则的实轴长为A.1 B.2C.4 D.82．已知数列满足，且，，则（）A. B.C. D.3．将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列，，，…，则以下结论中正确的是（）A.第10个括号内的第一个数为1025 B.2021在第11个括号内C.前10个括号内一共有1025个数 D.第10个括号内的数字之和4．在等差数列中，为数列的前项和，，，则数列的公差为（）A. B.C.4 D.5．已知点分别是椭圆的左、右焦点,点P在此椭圆上,,则的面积等于A. B.C. D.6．在中，内角的对边分别为，若，则角为A. B.C. D.7．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为3，则输出的的值为（）A.3 B.6C.9 D.128．已知不等式的解集为，关于x的不等式的解集为B，且，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.9．已知数列满足，，则（）A. B.C.1 D.210．如图，已知直线AO垂直于平面，垂足为O，BC在平面内，AB与平面所成角的大小为，，，则异面直线AB与OC所成角的余弦值为（）A. B.C. D.11．已知直线过点，当直线与圆有两个不同的交点时，其斜率的取值范围是（）A. B.C. D.12．设函数在R上存在导数，对任意的有，若，则k的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知递增数列共有2021项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则的范围是________________，数列的所有项和________14．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f（1）＝3，且f(x)的导数在R上恒有<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为______.15．若、是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为________.16．在棱长为1的正方体中，___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间x/分101112131415等候人数y/人232526292831调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.（1）若选取的是中间4组数据，求y关于x的线性回归方程=x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”.（2）假设该起点站等候人数为24人，请你根据（1）中的结论预测车辆发车间隔多少时间合适?附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为18．（12分）球形物体天然萌，某食品厂沿袭老字号传统，独家制造并使用球形玻璃瓶用于售卖酸梅汤，其中瓶子的制造成本c（分）与瓶子的半径r（cm）的平方成正比，且当cm时，制造成本c为3.2π分，已知每出售1mL的酸梅汤，可获得0.2分，且制作的瓶子的最大半径为6cm（1）写出每瓶酸梅汤的利润y与r的关系式（提示：）；（2）瓶子半径多大时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大为多少？（结果用含π的式子表示）19．（12分）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.20．（12分）已知数列满足（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和21．（12分）已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.22．（10分）已知与定点，的距离比为的点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于M，N两点.（1）求曲线C的轨迹方程；（2）若，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】设等轴双曲线的方程为抛物线,抛物线准线方程为设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点,，则,将，代入，得等轴双曲线的方程为的实轴长为故选2、A【解题分析】由已知两个不等式，利用“两边夹”思想求得，然后利用累加法可求得【题目详解】∵，∴，∴，又，∴，即，∴故选：A【题目点拨】本题考查数列的递推式，由递推式的特征，采用累加法求得数列的项．解题关键是利用“两边夹”思想求解3、D【解题分析】由第10个括号内的第一个数为数列的第512项，最后一个数为数列的第1023项，进行分析求解即可【题目详解】由题意可得，第个括号内有个数，对于A，由题意得前9个括号内共有个数，所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，所以第10个括号内的第一个数为，所以A错误，对于C，前10个括号内共有个数，所以C错误，对于B，令，得，所以2021为数列的第1011项，由AC选项的分析可得2021在第10个括号内，所以B错误，对于D，因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为，所以第10个括号内的数字之和为，所以D正确，故选：D【题目点拨】关键点点睛：此题考查数列的综合应用，解题的关键是由题意确定出第10个括号内第一个数和最后一个数分别对应数列的哪一项，考查分析问题的能力，属于较难题4、A【解题分析】由已知条件列方程组求解即可【题目详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，故选：A5、B【解题分析】根据椭圆标准方程，可得，结合定义及余弦定理可求得值，由及三角形面积公式即可求解.【题目详解】椭圆则，所以，则由余弦定理可知代入化简可得，则，故选：B.【题目点拨】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质的简单应用，正弦定理与余弦定理的简单应用，三角形面积公式的用法，属于基础题.6、A【解题分析】因为，那么结合，所以cosA==，所以A=，故答案为A考点：正弦定理与余弦定理点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题.7、A【解题分析】模拟执行程序框图，根据输入数据，即可求得输出数据.【题目详解】当时，不满足，故，即输出的的值为.故选：.8、B【解题分析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分离参数求解即可.【题目详解】由得，，解得，因为，所以所以可得在上恒成立，即在上恒成立，故只需，，当时，，故故选：B9、C【解题分析】结合递推关系式依次求得的值.【题目详解】因为，，所以，得由，得.故选：C10、B【解题分析】建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出向量的坐标，再利用向量的夹角公式计算即可.【题目详解】如图，以O为坐标原点，过点O作OB的垂线为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，，，，设的夹角为，则，所以异面直线AB与OC所成角的余弦值为，故选：B.11、A【解题分析】设直线方程，利用圆与直线的关系，确定圆心到直线的距离小于半径，即可求得斜率范围.【题目详解】如下图：设直线l的方程为即圆心为，半径是1又直线与圆有两个不同的交点故选：A12、C【解题分析】构造函数，求导后利用单调性，对题干条件变形后得到不等关系，求出答案.【题目详解】令，则恒成立，故单调递增，变形为，即，从而，解得：，故k的取值范围是故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.1011【解题分析】根据题意得到，得到，，，，进而得到，从而即可求得的值.【题目详解】由题意，递增数列共有项，各项均不为零，且，所以，所以的范围是，因为时，仍是数列中的项，即，且上述的每一项均在数列中，所以，，，，即，所以，所以.故答案为：；.14、【解题分析】构造函数g(x)＝f(x)－2x－1，则原不等式可化为.利用导数判断出g(x)在R上为减函数，直接利用单调性解不等式即可【题目详解】令g(x)＝f(x)－2x－1，则g（1）＝f（1）－2－1＝0.所以原不等式可化为.因为，所以g(x)在R上为减函数.由解得：x>1.故答案为：.15、【解题分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.【题目详解】因为△ABF2为等边三角形，可知，A为双曲线上一点，，B为双曲线上一点，则，即，∴由，则，已知，在△F1AF2中应用余弦定理得：，得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝故答案为：【题目点拨】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将或视为一个整体，把关系式转化为关于或的方程，从而得到离心率的值.16、1【解题分析】根据向量的加法及向量数量积的运算性质求解.【题目详解】如图，在正方体中，，故答案为：1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），是“恰当回归方程”；（2）10分钟较合适.【解题分析】（1）应用最小二乘法求出回归直线方程，再分别估计、时的值，结合“恰当回归方程”的定义判断是否为“恰当回归方程”.（2）根据（1）所得回归直线方程，将代入求x值即可.【小问1详解】中间4组数据是：间隔时间（分钟）11121314等候人数（人）25262928因为，所以，故，又，所以，当时，，而；当时，，而；所以所求的线性回归方程是“恰当回归方程”；【小问2详解】由（1）知：当时，，所以预测车辆发车间隔时间10分钟较合适.18、（1），（2）当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π【解题分析】（1）直接由条件写出关系式即可；（2）直接求导确定单调性后，求出最大值即可.【小问1详解】设瓶子的制造成本c与瓶子的半径r的平方成正比的比例系数等于k，则瓶子的制造成本，由题意，当时，∴，即瓶子的制造成本∴每瓶酸梅汤的利润是，∴每瓶酸梅汤的利润关于r的函数关系式为：，【小问2详解】由（1）知，则，令，则，当时，；当时，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π.19、（1）；（2）【解题分析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程；（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值【题目详解】（1），所以，即抛物线C的方程.（2）设，由得所以，所以.【题目点拨】方法点睛：计算抛物线弦长方法，(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解20、（1）证明见解析，；（2）.【解题分析】（1）由得是公差为2的等差数列，再由可得答案.（2）,分为奇数、偶数，分组求和即可求解.【小问1详解】由，得，故是公差为2的等差数列，故，由，故，于是.【小问2详解】依题意，，当为偶数时，故，当为奇数时，，综上，.21、（1）（2）【解题分析】（1）根据，再结合等比数列的定义，即可求出结果；（2）由（1）可知，再利用错位相减法，即可求出结果.【小问1详解】解：因为，当时，，解得当时，，所以，即.所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.故.【小问2详解】解：由（1）知，则，所以①②，①-②得.所以数列的前项和22、（1）（2）或【解题分析】（1）设曲线上的任意一点，由题意可得，化简即可得出（