湖南省长沙市宁乡县第六高级中学高三数学文上学期期末试题含解析

湖南省长沙市宁乡县第六高级中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B2.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣20 B．﹣10 C．10 D．20参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=，建立a的方程，解出a的值，然后再由规律求出常数项．【解答】解：∵（x+）（ax﹣1）5的展开式中各项系数的和为2，令x=，可得：（+）×1=2，解得a=2．设（2x﹣1）5的展开式的通项公式：Tr+1=C5r（﹣1）r25﹣rx5﹣r．分别令5﹣r=1，5﹣r=﹣1，解得r=6（舍去），r=4．∴该展开式中常数项为C54（﹣1）421=10．故选：C【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．3.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C4.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a2=l0，a3+a4=26，则过点P（n，an）和Q（n+2，an+2）（n∈N+）的直线的一个方向向量是(

) A．（﹣，﹣2） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣，﹣1） D．（2，）参考答案：A考点：直线的斜率；数列的函数特性．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设等差数列{an}的公差为d，则由题意可得2a1+d=10，2a1+5d=26，解得a1=3，d=4，由此求出过点P（n，an）和Q（n+2，an+2）（n∈N+）的直线的斜率，从而求得直线的一个方向向量．解答： 解：设等差数列{an}的公差为d，则由题意可得2a1+d=10，2a1+5d=26，解得a1=3，d=4．故过点P（n，an）和Q（n+2，an+2）（n∈N+）的直线的斜率等于==d=4，故过点P（n，an）和Q（n+2，an+2）（n∈N+）的直线的一个方向向量应和向量（1，4）平行，故选A．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，直线的斜率的求法，直线的方向向量，属于基础题．5.一质点运动时速度与时间的关系为，质点作直线运动，则此物体在时间内的位移为()A. B. C.

D.参考答案：A略6.若x=是f（x）=sinωx+cosωx的图象的一条对称轴，则ω可以是(

) A．4 B．8 C．2 D．1参考答案：C考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据x=是f（x）=2sin（ωx+）的图象的一条对称轴，可得ω?+=kπ+，k∈z，由此可得ω的值．解答： 解：∵x=是f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）的图象的一条对称轴，∴ω?+=kπ+，k∈z，∴ω可以是2，故选：C．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦函数的对称性，属于中档题．7.在等差数列{an}中，若a3+a4+a5＝3，a8＝8，则a12的值是

A．15

B．30

C．31

D．64参考答案：A8.则有A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.已知正数x,y满足，则的最小值为(

)

A．1

B．

C．

D．参考答案：C画出约束条件的可行域，又，令，由可行域知：函数过点（1,2）时有最小值，最小值为，所以的最小值为。10.已知x∈（，π），tanx=﹣，则cos（﹣x﹣）等于（）A． B．﹣ C．﹣ D．参考答案：C【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由tanx求出sinx的值，再利用诱导公式求出cos（﹣x﹣）的值．【解答】解：∵tanx==﹣，∴cosx=﹣sinx，∴sin2x+cos2x=sin2x+sin2x=sin2x=1，∴sin2x=；又x∈（，π），∴sinx=，∴cos（﹣x﹣）=cos（+x）=﹣sinx=﹣．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

.参考答案：712.(x-2)的展开式中的系数为

.（用数字作答）参考答案：-16013.一个四面体所有棱长都为,四个顶点在同一球面上，则此球表面积为

。参考答案：略14.某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则在80～90分数段应抽取人数为．参考答案：20人15.对于函数给出下列四个命题：

①该函数是以为最小正周期的周期函数

②当且仅当时，该函数取得最小值是-1

③该函数的图象关于直线对称

④当且仅当时，

其中正确命题的序号是

（请将所有正确命题的序号都填上）参考答案：【知识点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性．B4C3C7

【答案解析】③④解析：由题意函数f（x）=，画出f（x）在x∈[0，2π]上的图象．由图象知，函数f（x）的最小正周期为2π，在x=π+2kπ（k∈Z）和x=+2kπ（k∈Z）时，该函数都取得最小值﹣1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线x=+2kπ（k∈Z）对称，在2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤，故③④正确．故答案为

③④【思路点拨】由题意作出此分段函数的图象，由图象研究该函数的性质，依据这些性质判断四个命题的真假，此函数取自变量相同时函数值小的那一个，由此可顺利作出函数图象．16.在的二项展开式中，的系数等于_______.参考答案：180【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得x6的系数．【详解】在的二项展开式的通项公式公式为C10k（﹣2）kx10﹣2k，令10﹣2k＝6，解得k＝2，故x6的系数等于C102（﹣2）2＝180，故答案为：180．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．17.如图，AB是圆O的直径，CDAB于D，且AD=2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F．若CD=，则EF=

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆的左顶点为A,M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称。（1） 若点P的坐标为，求的值；（2） 若椭圆C上存在点M，使得,求的取值范围。参考答案：解：（1）因为,P，所以点M的坐标为，由点M在椭圆C上，所以，解得------------------------4分（2）设，则，且因为M是线段AP的中点，所以，因为，所以，又，所以所以（当且仅当时等号成立）所以的范围为-----------------------------------------------12分略19.（本小题满分12分）已知函数对任意的实数、都有,且当时,.(1)求证:函数在上是增函数；(2)若关于的不等式的解集为,求的值.（3）若，求的值.参考答案：（1)证明:设,则,从而,即.………………2分,故在上是增函数.………4分(2)设,于是不等式为.则,即.……………………6分∵不等式的解集为,∴方程的两根为和,……8分于是,解得………………10分(3)在已知等式中令,得所以累加可得，,故.………12分20.已知圆F1：（x+1）2+y2=8，点F2（1，0），点Q在圆F1上运动，QF2的垂直平分线交QF1于点P．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M、N分别是曲线C上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率；（3）过点的动直线l交曲线C于A、B两点，求证：以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）如图所示，|PF1|+|PF2|=|QF1|=R=2＞|F1F2|=2，可知：动点P的轨迹为椭圆，设标准方程为（a＞b＞0），可得a=，c=1，b2=a2﹣c2．即可得出椭圆C的方程．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），F1（﹣1，0）．由于，可得x1+2x2=﹣2，y1+2y2=0．代入椭圆方程可得=1，又，联立解出即可得出kMN=．（3）假设在y轴上存在定点T（0，t），使以AB为直径的圆恒过这个点．设直线AB的方程为y=kx﹣，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线与椭圆方程化为（1+2k2）x2﹣kx﹣=0，把根与系数的关系代入=0，解出即可．【解答】解：（1）如图所示，∵|PF1|+|PF2|=|QF1|=R=2＞|F1F2|=2，∴动点P的轨迹为椭圆，设标准方程为（a＞b＞0），a=，c=1，b2=1．∴方程C为=1．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），F1（﹣1，0）．∵，∴x1+2x2=﹣2，y1+2y2=0．∴x1=﹣2﹣2x2，y1=﹣2y2，代入椭圆方程可得=1，又，联立解得，∴．∴kMN==．（3）假设在y轴上存在定点T（0，t），使以AB为直径的圆恒过这个点．设直线AB的方程为y=kx﹣，A（x1，y1），B（x2，y2）．则=（x1，y1﹣t）?（x2，y2﹣t）=x1x2+（y1﹣t）（y2﹣t）=x1x2+﹣t+t2=（1+k2）x1x2﹣（k+kt）（x1+x2）（x1+x2）+++t2=0，联立，化为（1+2k2）x2﹣kx﹣=0，△＞0恒成立．∴x1+x2=，x1x2=﹣．代入上式可得：﹣﹣+++t2=0，化为（18t2﹣18）k2+（9t2+6t﹣15）=0，∴，解得t=1．满足△＞