河南周口市2024学年数学高二上期末综合测试试题含解析

河南周口市2024学年数学高二上期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，都是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2．若直线l的倾斜角是钝角，则l的方程可能是（）A. B.C. D.3．已知向量是两两垂直的单位向量，且，则（）A.5 B.1C.-1 D.74．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（）A. B.C. D.5．直线过双曲线：的右焦点，在第一、第四象限交双曲线两条渐近线分别于P，Q两点，若∠OPQ＝90°（O为坐标原点），则OPQ内切圆的半径为（）A. B.C.1 D.6．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A.3 B.2C.1 D.07．已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（）A. B.2C. D.8．与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（）A. B.C. D.9．设，直线与直线平行，则（）A. B.C. D.10．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）A. B.C. D.11．已知，，若，则实数（）A. B.C.2 D.12．“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若一个球表面积为，则该球的半径为____________14．定义在R上的函数满足，其中为自然对数的底数，，则满足的a的取值范围是__________.15．若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为______.16．由曲线围成的图形的面积为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，△ABC中，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体（1）求该几何体中间一个空心球表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积18．（12分）如图，在四棱锥中，，，，，为中点，且平面.（1）求点到平面的距离；（2）线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值.19．（12分）已知直线.（1）若，求直线与直线的交点坐标；（2）若直线与直线垂直，求a的值.20．（12分）已知几何体中，平面平面，是边长为4的菱形，，是直角梯形，，，且（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值21．（12分）设数列的前项和为，为等比数列，且，（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和22．（10分）已知抛物线的焦点为F，其中P为E的准线上一点，O是坐标原点，且（1）求抛物线E的方程；（2）过的直线与E交于C，D两点，在x轴上是否存在定点，使得x轴平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项.【题目详解】若，则，可得，所以，可得，故充分性成立，取，，满足，但，无意义得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.2、A【解题分析】根据直线方程，求得直线斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，即可判断和选择.【题目详解】若直线的倾斜角为，则，当时，为钝角，当，，当，为锐角；当不存在时，倾斜角为，对A：，显然倾斜角为钝角；对B：，倾斜角为锐角；对C：，倾斜角为锐角；对D：不存在，此时倾斜角为直角.故选：A.3、B【解题分析】根据单位向量的定义和向量的乘法运算计算即可.【题目详解】因为向量是两两垂直的单位向量，且所以.故选：B4、A【解题分析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式.【题目详解】设，则，故为上的增函数，而可化为即，故即，所以不等式的解集为，故选：A.5、B【解题分析】根据渐近线的对称性，结合锐角三角函数定义、正切的二倍角公式、直角三角形内切圆半径公式进行求解即可.【题目详解】由双曲线标准方程可知：，双曲线的渐近线方程为：，因此，因为∠OPQ＝90°，所以三角形是直角三角形，，而，解得：，由双曲线渐近线的对称性可知：，于是有，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，设OPQ内切圆的半径为，于是有：，即，故选：B【题目点拨】关键点睛：利用三角形内切圆的性质是解题的关键.6、C【解题分析】若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限，原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；其逆命题为：若函数的图象不过第四象限，则函数是幂函数是假命题，所以原命题的否命题也是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．选C7、A【解题分析】根据双曲线的几何性质和平面几何性质，建立关于a,b,c的方程，从而可求得双曲线的离心率得选项.【题目详解】由题意可设右焦点为，因为，且圆：，所以点在以焦距为直径的圆上，则，设的中点为点，则为的中位线，所以，则，又点在渐近线上，所以，且，则，，所以，所以，则在中，可得，，即，解得，所以，故选：A【题目点拨】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量8、C【解题分析】由直线平行及直线所过的点，应用点斜式写出直线方程即可.【题目详解】与直线平行，且经过点（2，3）的直线的方程为，整理得故选：C9、C【解题分析】根据直线平行求解即可.【题目详解】因为直线与直线平行，所以，即，经检验，满足题意.故选：C10、B【解题分析】设等比数列的公比为，则，由可得，可得出，利用基本不等式可求得结果.【题目详解】设等比数列的公比为，则，因为，则，所以，，则，当且仅当时，等号成立.故选：B.11、D【解题分析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示计算作答.【题目详解】因，，又，则，解得，所以实数.故选：D12、A【解题分析】由正切函数性质，应用定义法判断条件间充分、必要关系.【题目详解】当，，则，当时，，.∴“，”是“”的充分不必要条件.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】设球的半径为，代入球的表面积公式得答案【题目详解】解：设球的半径为，则，得，即或（舍去）故答案为：14、【解题分析】设，求出其导数结合条件得出在上单调递减，将问题转化为求解，由的单调性可得答案.【题目详解】设，则由，则所以在上单调递减.又由，即，即，所以故答案为：15、【解题分析】设圆锥的高为，可得出圆锥的母线长为，以及圆锥的底面半径为，利用圆锥的侧面积公式求出的值，再利用锥体的体积公式可求得结果.【题目详解】设圆锥的高为，由于圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，则轴截面三角形的底角为，故该圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥的侧面积为，可得，因此，该圆锥的体积为.故答案为：.16、【解题分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.【题目详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.当，时，曲线可化为：，在第一象限为弓形，其面积为，故.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】根据旋转体的轴截面图，根据已知条件求球的半径与长，再利用球体、圆锥的面积、体积公式计算即可.【小问1详解】连接，则，设，在中，，；【小问2详解】，∴圆锥球.18、（1）（2）线段上存在一点，当时，平面.【解题分析】（1）设点到平面的距离为，则由，由体积法可得答案.（2）由（1）连接,可得则从而平面，过点作交于点，连接，可证明平面平面，从而可得出答案.【小问1详解】由，，为中点，则由平面，平面,则又，且,则平面又，则平面,且都在平面内所以所以,取的中点，连接，则,所以,所以所以所以则设点到平面的距离为，则由即,即【小问2详解】线段上是否存在一点，使平面.由（1）连接,则四边形为平行四边形，则过点作交于，则为中点，则为的中点,即又平面，则平面过点作交于点，连接，则,即又平面,所以平面又，所以平面平面又平面,所以平面所以线段上存在一点，当时，平面.19、（1）（2）【解题分析】（1）联立两直线方程，解方程组即可得解；（2）根据两直线垂直列出方程，解之即可得出答案.【小问1详解】解：当时，直线，联立，解得，即交点坐标为；【小问2详解】解：直线与直线垂直，则，解得.20、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）根据菱形的性质，结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.【题目详解】（1）证明：连接，交于点，∵四边形是菱形，∴，∵平面平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴，又，、平面，∴平面，∵平面，∴（2）解：取的中点，连接，∵是边长为4的菱形，，∴，，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，∴，同理可得，平面的一个法向量为，∴，由图知，平面与平面所成角为锐角，故平面与平面所成角余弦值为21、（1），；（2）【解题分析】（1）由已知利用递推公式，可得，代入分别可求数列的首项，公比，从而可求.（2）由（1）可得，利用乘“公比”错位相减法求和【题目详解】解：(1)当时，，当时，满足上式，故的通项式为设的公比为，由已知条件知，，，所以，，即(2)，两式相减得：【题目点拨】本题考查等差数列、等比数列的求法，错位相减法求数列通项，属于中档题