等式性质与不等式性质（第一课时课件） 【核心知识精讲精研】 高一数学 课件（人教A版2019必修第一册）

第二章

一元二次函数、方程、不等式

2.1.1不等关系与比较大小高中数学/人教A版/必修一知识篇素养篇思维篇

2.1.1不等关系与比较大小

在现实世界和日常生活中，存在着大量相等关系和不等关系.

例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．

现实世界的相等和不等关系长短轻重高矮大小

三个臭皮匠，顶个诸葛亮

语言文字里的相等和不等关系

人类的语言文字对相等和不等关系也有各种描述．

雷声大，雨点小

捡了芝麻，丢了西瓜

道高一尺，魔高一丈

欲穷千里目，更上一层楼

七上八下

半斤八两

数学里的相等和不等关系

大小

数学研究对象的相等和不等关系．ABdＯ

长短请用数学符号语言翻译以下交通限制标志信息：v≤40km/h用数学研究相等和不等关系1m≤10th≤3.5m8:00≤t≤20:001.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f

应不少于2.5％，蛋白质的含量p应不少于2.3％，

写成不等式组为

.2.购买一批“六一”儿童节礼品，买笔记本每本18元，买钢笔每支25元，现有礼品预算300元，设笔记本买x本，钢笔买y支，则礼品数满足的关系式是

.18x＋25y≤300f≥2.5%p≥2.3%数学抽象用数学研究相等和不等关系1数学抽象用数学研究相等和不等关系13.某杂志以每本2.5元的价格发行时，发行量为8万册．经过调查，若价格每提高0.1元，发行量就减少2000册．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？

(要知道如何定价，还得解该不等式)实际问题：不等关系数学问题：不等式抽

象刻

画用数学研究相等和不等关系1研究模型

将实际的不等关系翻译成对应的不等式时，常见的关键性文字语言与对应数学符号：文字语言大于小于大于等于小于等于数学符号＞＜≥≤文字语言至多至少不少于不多于≤数学符号≥≥≤用数学研究相等和不等关系17℃≤t≤13℃练一练(1)今天的天气预报说：明天早晨的最低温度为7℃，明天白

天的最高温度为13℃．(2)汽车站检票口有规定：儿童身高达到或超过120厘米的，

要买半票．写出满足下列条件的不等式:

如果a-b是正数，那么a>b；

如果a-b等于零，那么a=b；

如果a-b是负数，那么a<b.

反过来也对.两个实数比大小2

要研究量与量之间的相等或不等关系，首先要解决的是两个实数之间比大小.baa<baba>b两个实数比大小2例题：比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．∵(a＋3)(a－5)-(a＋2)(a－4)

=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7

∴(a＋3)(a－5)-(a＋2)(a－4)<0

∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)解：作差变形定符号定大小

作差比较法

练一练知识篇素养篇思维篇

2.1.1不等关系与比较大小方法总结核心素养之

数学运算+逻辑推理

问题

（1）∵(x2+y2+3x-3y)

-

(x-y-6)

=x2+y2+2x+4y+6

=(x+1)2+(y+2)2+1>0

∴

x2+y2+3x+3y>x-y-6

作差之后为多项式结构，常用分组因式分解或分组配方来确定正负.解答方法总结

核心素养之

数据分析+逻辑推理问题

作差之后的变形环节，用到了分子有理化和通分的化归技巧；对于根式的差，分子有理化是常用的变形技术.解答

核心素养之

数学运算+逻辑推理

方法总结

问题解答

作差之后通分，接着分子部分配方.利用完全平方的非负性确定正负号；由于有相等的可能，故结论分开交待.

核心素养之

数学抽象+数学建模数学抽象过程正方形内含四个全等的直角三角形(中间留一小正方形空档)

图形语言：S大正方形>4S直角三角形

a2+b2≥2ab

(a=b时取等号)

符号化量化逻辑推理

？

符号语言：

数学模型：

论证模型：

设直角三角形的两条直角边的长为a，b

(a≠b)核心素养之

逻辑推理问题求证：

a2+b2≥2ab(当a=b时取等号)

证明：∵

a2+b2-2ab=(a-b)2≥0

∴

a2+b2≥2ab(当a=b时取等号)

论证方法总结

不等式就是用不等号连结两个数（式）得到的式子；故证明不等式，本质上就是比较两个数的大小.这里用了作差比较法，今后会学习别的证明方法.核心素养之

数学抽象+数学建模数学抽象过程为什么糖水中加的糖越多越甜？

生活问题：a克糖水中含有b(a>b>0)克糖，再加入m(m>0)克糖，糖水更甜了，为什么？

(定性描述)

(定量描述)量化符号化逻辑推理

？

数学问题：

数学模型：

论证模型：核心素养之

逻辑推理问题

论证方法总结

对于两个分数(式)比大小，作差后往往通分，对分子部分进行分组因式分解.知识篇素养篇思维篇

2.1.1不等关系与比较大小数学思想之

主元思想+配方法1.

比较

a2-2ab+2b2

与2a-3

(a,b∈R)的大小.

问题

解法一：∵(

a2-2ab+2b2

)-(2a-3)=a2-2(b+1)a+2b2+3

=[a2-2(b+1)a+(b+1)2]+b2-2b+2

=[a-(b+1)]2+(b-1)2+1>0

∴

a2-2ab+2b2

>2a-3

方法总结

第一部分以a为主元配方，其余部分以b为主元配方，利用完全平方的非负性定正负符号.解答1.

比较

a2-2ab+2b2

与2a-3

(a,b∈R)的大小.

问题

方法总结

第一部分以b为主元配方，其余部分以a为主元配方，利用完全平方的非负性定正负符号.解答数学思想之

主元思想+配方法数学思想之

函数思想+方程思想1.

比较

a2-2ab+2b2

与2a-3

(a,b∈R)的大小.

问题

解法三：(

a2-2ab+2b2

)-(2a-3)=a2-2(b+1)a+2b2+3

①

视①式为变量a的二次函数.其判别式为

△=4(b+1)2-8b2-12=-4b2+8b-8

=-4(b-1)2-4

<0

∴a2-2(b+1)a+2b2+3

>0恒成立，

∴a2-2ab+2b2

>2a-3

方法总结

作差后，以函数的眼光看待①式，并利用一元二次方程判别式的正负来判断①式的正负.解答数学思想之

分类讨论

问题

0-12

判断多个因式的积或商的正负，往往辅助以数轴，用序轴标根确定各部分的正负.解答方法总结数学思想之

转化与化归问题

解答对于两个同号的数比大小，还可以考虑作商比较.方法总结

课堂小结一、本节课学习的新知识

相等与不等关系

从问题中抽象出不等式

比较两个数的大小二、本节课提升的核心素养

逻辑推理数据分析课堂小结数学运算三、本节课训练的数学思想方法

函数结合

转化与化归

方程思想课堂小结

分类讨论