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2.3.2抛物线的几何性质第1课时抛物线的几何性质

图形标准方程焦点坐标准线方程

类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？【思考】

抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标准方程研究它的一些简单几何性质.探究点

抛物线的简单几何性质1.范围

因为p＞0，由方程（1）可知，对于抛物线（1）上的点M(x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同;

当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，y∈R.2.对称性

以－y代y，方程（1）不变，所以这条抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3.顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程（1）中，当y=0时，x=0，因此抛物线（1）的顶点就是坐标原点．4.离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．还记得椭圆、双曲线的离心率的范围吗？方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）e=1抛物线的几何性质(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)抛物线的离心率e是确定的，为１;【总结提升】解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），所以，可设它的标准方程为因为点M在抛物线上，所以因此,所求抛物线的标准方程是

【例１】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.即p=2.分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A,B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出∣AB｜.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.xyOFABBA''题点线lxyOFABBA''还可以如何求x1+x2?设而不求分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．

如上题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线相切．【变式练习】

所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜

=2｜EH｜范围抛物线只位于半个坐标平面内，虽然

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