电路第八章演示文稿

电路第八章演示文稿第一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一§8.1复数

1.复数的表示形式+1+j0FbaFb+1+ja0θ|F|代数形式：F=a+jb三角形式：向量形式：一个复数F在复平面上可以用一条从原点O指向F对应坐标点的有向线段表示。取复数的实部和虚部分别表示为：Re[F]

=a，Im[F]=bab

|F|:称为复数的模θ:

称为复数的辐角第二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一指数形式：

极坐标形式是复数的三角形式和指数形式的简写利用欧拉公式：Fb+1+ja0θ|F|极坐标形式：第三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一在正弦电路的分析中，常常涉及到复数的代数形式与极坐标形式之间的相互转换1）F=a+jb

2）F=a+jb

*两种转换中均要注意所在的象限，从而确定的大小第四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例：将以下复数转换为极坐标形式

F1=3+j4；F2=3–j4；F3=-3+j4；F4=-3–

j4

解：有F1=3+j4=5∠53.13ºF2=3-

j4=5∠-53.13ºF3=–3+

j4F4=–3-

j4=-(3+j4)=-5∠53.13º=5∠-126.87º由=5∠126.87º=-(3-j4)

=-5∠-53.13º+1+j03+4F3θ=126.87º4F4θ=126.87º第五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一a.复数相加和相减的代数运算必须用代数形式进行b.复数的加减运算也可用四边形法则在复平面上进行F=F1+F2+1+j0F1F22.复数的运算

复数的加减运算例如：设F1=a1+jb1,F2=a2+jb2,则第六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一复数的乘除运算a.复数的乘除运算可以用代数形式进行例如：设F1=a1+jb1,F2=a2+jb2,则第七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一b.复数的乘除运算也可以用指数形式和极坐标进行两个复数的相乘，用指数形式进行,有两个复数的相除，用极坐标形式有用极坐标形式表示,有模相乘辐角相加第八页，共四十二页，编辑于2023年，星期一复数ejF逆时针旋转一个角度

，模不变Fej

旋转因子另有F=|F|∠,Fej

Fej

'Fj+10=cos

+jsin=1∠则=|F|∠1∠=|F|∠+

第九页，共四十二页，编辑于2023年，星期一+j、-j、-1都可以看成旋转因子由于所以=/2j,

=-/2-j,

=-

1,

ej

=

Fj+10jF第十页，共四十二页，编辑于2023年，星期一§8.2正弦量

凡按正弦（余弦）规律变化的电压、电流都称正弦量。*本书用余弦函数表示正旋量正弦量的优点：i)正弦量易于用旋转电机获得，为世界各国电力系统采用。ii)在线性电路中，只要激励是同频率的正弦量，则响应亦是同频率的正弦量，这为应用相量法提供了可能。iii)正弦量是周期量的特例，是分析其他周期量的基础。第十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一Ri1.正弦量的三要素(1)Im—幅值(振幅、最大值)(3)i=(t+i

)|t=0—初相位(初相)(t+i

):称为i(t)相位角或相位(2)—角频率，单位：弧度/秒(rad/s)

以电流为例正弦量的三要素

T=2，

=2/T=2f,f的单位为赫兹—Hz(1/s)与正弦量的周期T和频率f的关系：

i与计时零点选择有关，通常|i

|

，即在主值范围取值。第十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一i(t)=Imcos(wt+y

i)ImΨi=0ti2itiImΨi<0tiImΨi>0i第十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一2.同频率正弦量的相位差(phasedifference)设u(t)=Umcos(wt+yu),i(t)=Imcos(wt+yi)

u与i的相位差j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yi＝常数j>0，u领先(超前)i，或i落后(滞后)uj<0，i领先(超前)u，或u落后(滞后)i*不同频率正弦量无固定的相位关系tu,iu

iyuyij0第十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一规定：||(180°)特殊相位关系：j=0，同相：tu,iu

i0j=(180o)

，反相：tu,iu

i0tu,iu

i0

j=90°，称为正交u领先i90°或i落后u90°

第十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一3.正弦量的有效值(effectivevalue)i）周期量的有效值：是一个在效应（如热效应）上与周期量在一个周期内的平均效应相等的直流量。令设周期电流i通过电阻R，电阻一周期内吸收的能量为：Ri设直流电流I通过电阻R，电阻在时间T内吸收的能量为：RI解得：此即有效值的定义，又称为均方根值电压有效值为第十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一设i(t)=Imcos(t+yi

)，ii）正弦电流、电压的有效值即有因此，I可以替代Im作为正弦量的一个要素，即工程中一般说正弦电压、电流的大小都指有效值。如测量仪表上的刻度，设备名牌上的额定电压、电流均指有效值。但电器设备的绝缘水平—耐压值按最大值考虑。注意:

只适用正弦量，其他周期量的最大值与有效值之间无倍的关系。又所以第十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一§8.3相量法的基础1.相量法的理论基础

在线性电路中，若激励是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是同频率的正弦量；若电路中有多个同频率激励源时，根据线性电路的叠加定理，则电路的全部稳态响应都将是同频率的正弦量—这是一个基本的结果。从电路分析中常涉及到的计算看：有正弦量乘常数（欧姆定律），正弦量的微分、积分（电感、电容电路的电压电流约束关系），同频率正弦量的代数和（KCL和KVL）等运算，其结果仍是一个同频率的正弦量。基于以上原因，在同频正弦量的电路计算中，ω是已知的常数，正弦量的三要素已退化成两个要素，有效值（最大值）和初相，注意到一个复数（相量）也有两个要素：模和辐角，这使得可用复数表征一个正弦量的信息（要素）。电工技术中的非正弦周期函数，可以分解成频率为整数倍的正弦函数的无穷级数，最终归结为这里讨论的正弦稳态分析。第十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期一2.正弦量的相量复函数则由i的有效值和初相角构成的复常数即i与构成了一一对应关系称称为正弦量i(t)的相量,并记为第十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期一解：已知例1.试用相量表示i,u。i=141.4cos(314t+300)Au=311.1cos(314t-600)V正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位对于正弦电压解：例2.试写出电流的瞬时值表达式。总之,由正弦量与它相应相量之间的一一对应关系,给出一个正弦量,就可以写出它相应的相量;反之,知道一个正弦量的相量,则该正弦量也就被确定。第二十页，共四十二页，编辑于2023年，星期一3.相量图yiyu相量图:相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。第二十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一4.正弦量运算转换为相应相量运算

(1)同频率正弦量的代数和而所以：上对任何t都成立，所以总有：第二十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一拓展到n个同频率正弦量的代数和，有：即，正弦量的加减运算对应着其相应相量的加减运算。第二十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一i2i1i解：1）由KCL，有：例1：电路如图，求电流i。解：2）由已知，有：则i的相量为：所以第二十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。+1

+j+1＋j例2：求u=u1+u2。解：有：第二十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一（2）正弦量的微分证明：∴的相量为：问题：已知正弦电流i（它的相量为）,di/dt是与i同频率的正弦量，求di/dt的相量。

结论：di/dt的相量为

则第二十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一(3)正弦量得积分证明：设问题：已知正弦电流i（它的相量为）,正弦量，求是与i同频率的的相量。

结论：的相量为

即：

第二十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一小结①正弦量相量时域复数域②同频正弦量的运算转化为相应相量的运算

di/dt的相量为

的相量为

第二十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例3：已知：求电流i。解：由KCL:i=i1+i2，故ii2i1LCR+j+10平行四边形法则第二十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期一§8.4电路定律的相量形式1.KCL、KVL的相量形式2.R、L、C电路元件电压电流关系的相量形式

电阻元件已知：则故U+-u(t)i(t)R第三十页，共四十二页，编辑于2023年，星期一即电阻的电压与电流同相位相量模形+R第三十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一

电感元件电压超前电流90º相量图Ui(t)u

(t)L+-时域模型+-相量模型jL第三十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一

电容元件U=I/C电压滞后电流90º相量图-时域模型i

(t)u(t)C+-+相量模型第三十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一线性受控源亦可用相量法处理

时域：uk=µuj相量形式：小结：在关联参考方向下相量形式的欧姆定律以VCVS为例电压与电流同相位电压超前电流90º电压滞后电流90ºR:

L:

C:

第三十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例1.电路如图，已知求稳态解i

。解：由KVL，有从数学方法上，可用待定系数法求它的特解，即稳态解i。现用相量法：对上面的方程取相量，有则

L+

iRCus+–uR–

+

ucuL

–

+

–

+

R+–jL–+

+

––第三十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一解：例2.电路如图，已知R=3，L=1H，C=1F，=314rad/s，求uad、ubd。i+buLL–aisRcd+C+

–

uR

–ucb+–aRcd++

–

–jL第三十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例3.电路如图，各电流表的读数（有效值）分别为A1：5A、

A2：20A、A3：25A，求电流表A、A4的读数。令则由K