电路(第七章)一阶电路和二阶电路

电路(第七章)一阶电路和二阶电路第一页，共六十一页，编辑于2023年，星期一与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解，通过设微分方程中的导数项等于0，可以求得；或在直流稳态条件下，把电感看成短路，电容看成开路再加以求解。即求变化规律由电路参数和结构决定全解uC

(0+)=A+US=0

A=－

US由起始条件uC

(0+)=0

定积分常数A的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解第二页，共六十一页，编辑于2023年，星期一-USuC‘uC“USti0tuc0（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）+第三页，共六十一页，编辑于2023年，星期一（2）响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；大，充电慢，小充电就快。（3）响应与外加激励成线性关系；（4）能量关系电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。第四页，共六十一页，编辑于2023年，星期一例t=0时,开关K闭合，已知

uC（0－）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC＝80V时的充电时间t。解50010F+-100VK+－uCi(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：（2）设经过t1秒，uC＝80V第五页，共六十一页，编辑于2023年，星期一2.RL电路的零状态响应iLK(t=0)US+–uRL+–uLR已知iL(0－)=0，电路方程为：tuLUStiL00第六页，共六十一页，编辑于2023年，星期一求解一阶电路零状态响应的步骤：由2.断开动态元件求一端口的等效电阻R，得时间常数

RC电路

=RC

,

RL电路

=L/R

R为从动态元件两端看去的一端口电路的等效电阻。计算R的方法与求戴维宁等效电阻的方法相同。3.把时的稳态电路求出稳态响应或4.再利用KCL和KVL或元件的VCR方程求出其它各支路的电压和电流。或和代入解的形式中进行求解：第七页，共六十一页，编辑于2023年，星期一例1t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的变化规律。解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：iLK+–uL2HR8010A200300iL+–uL2H10AReqt>0第八页，共六十一页，编辑于2023年，星期一例2t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端电压。解这是一个RL电路零状态响应问题，利用戴维宁定理化简电路，有：iLK+–uL2H102A105+–ut>0iL+–uL2HUSReq+－第九页，共六十一页，编辑于2023年，星期一7.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。iK(t=0)US+–uRC+–uCR解答为uC(t)=uC'+uC"uC

(0－)=U0以RC电路为例，非齐次方程=RC1.全响应全响应稳态解uC'=US暂态解uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由起始值定A第十页，共六十一页，编辑于2023年，星期一2.全响应的两种分解方式强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应

=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)（1）着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰第十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期一iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=U0iK(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0－)=0+uC(0－)=U0C+–

uCiK(t=0)+–uRR全响应=

零状态响应

+零输入响应零状态响应零输入响应(2).

着眼于因果关系便于叠加计算第十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期一零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0第十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期一例1t=0时,开关K打开，求t>0后的iL、uL解这是一个RL电路全响应问题，有：iLK(t=0)+–24V0.6H4+－uL8零输入响应：零状态响应：全响应：第十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期一或求出稳态分量：全响应：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压。解这是一个RC电路全响应问题，有：+–10V1A1+－uC1+－u1稳态分量：全响应：A=－10第十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期一+–24V1A1+－uC1+－u1第十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期一3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令t=0+其解答一般形式为：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用0+等效电路求解用t→的稳态电路求解第十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期一1A2例113F+-uC已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t)

。解tuc2(V)0.6670第十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期一例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素为：iL+–20V0.5H55+–10Vi2i1应用三要素公式第十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期一例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)

。2A410.1F+uC－+－4i12i18V+－12解三要素为：4+－4i12i1u+－第二十页，共六十一页，编辑于2023年，星期一例4i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)32已知：电感无初始储能

t=0

时合k1,t=0.2s时合k2

求两次换路后的电感电流i(t)。0<t<0.2st>0.2s解第二十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期一(0<t0.2s)(t

0.2s)it(s)0.25(A)1.262第二十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期一例4.脉冲序列分析1.RC电路在单个脉冲作用的响应RCusuRuci10Ttus(1)0<t<T第二十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期一(2)t>Tuc(t)uR(t)t0第二十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期一t0(a)<<T,

uR为输出uR输出近似为输入的微分(b)>>T,uc为输出t0输出近似为输入的积分RCusuRuciuCTT第二十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期一2.脉冲序列分析t0(a)<<TuRucRCusuRuci第二十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期一t0(b)>TU1U2ucuRRCusuRuci第二十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期一第七章一阶电路和二阶电路的时域分析2.一阶、二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应求解；重点

4.一阶、二阶电路的阶跃响应和冲激响应。3.稳态分量、暂态分量求解；1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；第二十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期一含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。特点：1.动态电路

7.1动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。例+-usR1R2（t=0）i0ti过渡期为零电阻电路第二十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期一K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi

(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCUsRCi

(t→)初始状态过渡状态新稳态t1USuct0?i有一过渡期电容电路第三十页，共六十一页，编辑于2023年，星期一K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL=0uL=0,i=Us/RK接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路初始状态过渡状态新稳态t1US/Rit0?UL有一过渡期K+–uLUsRLi

(t=0)+–uLUsRLi

(t→)电感电路第三十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期一过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件

L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化2.动态电路的方程+–uCUsRCi

(t>0)应用KVL和元件的VCA得：第三十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期一+–uLUsRLi

(t>0)有源电阻电路一个动态元件一阶电路+–uLUSRLi

(t>0)CuC＋－＋－二阶电路第三十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期一一阶电路描述电路的方程是一阶微分方程。一阶电路中只有一个动态元件。稳态分析和动态分析的区别稳态动态换路发生很长时间后状态微分方程的特解恒定或周期性激励换路发生后的整个过程微分方程的一般解任意激励（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；第三十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期一复频域分析法时域分析法动态电路的分析方法建立微分方程：经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用第三十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期一

(1)t=0＋与t=0－的概念认为换路在

t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为t=0＋时u，i

及其各阶导数的值0－0＋0tf(t)第三十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期一图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。例R－+CiuC(t=0)解特征根方程：得通解：代入初始条件得：说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。第三十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期一t=0+时刻当i()为有限值时iucC+-q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。

(2)电容的初始条件0q

=CuC电荷守恒结论第三十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期一当u为有限值时L

(0＋)=L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)iuL+-L

(3)电感的初始条件t=0+时刻0磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论第三十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期一L

(0+)=L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)（4）换路定律（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件注意:换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2）换路定律反映了能量不能跃变。第四十页，共六十一页，编辑于2023年，星期一5.电路初始值的确定(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路(1)由0－电路求uC(0－)或iL(0－)+-10V+uC-10k40kuC(0－)=8V(3)由0+等效电路求iC(0+)iC(0－-)=0iC(0+)例1求iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k电容开路电容用电压源替代第四十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期一iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0时闭合开关k,求uL(0+)iL+uL-L10VK14+uL-10V140+电路2A先求由换路定律:电感用电流源替代10V14解电感短路第四十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期一求初始值的步骤:1.由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向）。第四十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期一iL(0+)=iL(0－)=ISuC(0+)=uC(0－)=RISuL(0+)=-RIS求iC(0+),uL(0+)例3K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解0+电路uL+–iCRISRIS+–0－电路RIS由0－电路得：由0＋电路得：第四十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期一例3iL+uL-LK2+-48V32C求K闭合瞬间各支路电流和电感电压解由0－电路得：12A24V+-48V32+-iiC+-uL由0+电路得：iL2+-48V32+－uC第四十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期一例4求K闭合瞬间流过它的电流值。iL+200V-LK100+uC100100C－解（1）确定0－值（2）给出0＋等效电路1A+200V-100+100V100100－+uL－iC第四十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期一7.2一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。1.

RC电路的零输入响应已知uC

(0－)=U0iK(t=0)+–uRC+–uCR特征根特征方程RCp+1=0则

uR=Ri零输入响应第四十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期一代入初始值uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0第四十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期一tU0uC0I0ti0令=RC,称为一阶电路的时间常数（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：连续函数跃变（2）其衰减快慢与RC有关；第四十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期一时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短电压初值一定：R大（C一定）

i=u/R

放电电流小放电时间长U0tuc0小大C大（R一定）

W=Cu2/2

储能大物理含义第五十页，共六十一页，编辑于2023年，星期一工程上认为,经过3－5,过渡过程结束。：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。＝t2－t1

t1时刻曲线的斜率等于U0tuc0t1t2U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

次切距的长度第五十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期一（3）能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+－C第五十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期一2.

RL电路的零输入响应特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值i(0+)=I0A=i(0+)=I0iK(t=0)USL+–uLRR1t>0iL+–uLR第五十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期一-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：连续函数跃变（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；（2）其衰减快慢与L/R有关；第五十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期一

=L/R

,称为一阶RL电路时间常数。大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=L/R第五十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期一（3）能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.设iL(0+)=I0电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+–uLR第五十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期一小结一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常