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文档简介
第三章
微分中值定理与导数的应用习题课一、主要内容二、典型例题洛必达法则Lagrange中值定理常用的泰勒公式00
,1¥
,¥
0
型¥-¥
型型型00¥¥Cauchy中值定理Taylor中值定理F
(
x)
=
xf
(a)
=
f
(b)
Rolle定理n
=
0f1
g
1
ff
-
g
=
1
g
-
1
f令y
=f
g取对数0
¥
型f g
=
1
g导数的应用单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数
图形的描绘;曲率;求根方法.一、主要内容4、洛必达法则型及
型未定式0
¥0
¥10.定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.20.
0
¥
,¥-¥
,00
,1¥
,¥
0型未定式关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型
(
0
),
(
¥
)
.0
¥注意：洛必达法则的使用条件.常用函数的麦克劳林公式(2n
+
1)!x
3
x
5
x
2n+1sin
x
=
x
-
+
-
+
(-1)n
+
o(
x
2n+2
)2!
4!
6!(2n)!cos
x
=
1
-x
2n3!
5!x
2
x4
x6+
- +
+
(-1)n
+
o(
x
2n)n+1+
o(
x
)n2
3
n
+
1xn+1x2
x3ln(1
+
x)
=
x
-
+
-
+
(-1)=
1
+
x
+
x
2
+
+
xn
+
o(
xn
)1
-
x12!+
m(m
-
1)(m
-
n
+
1)
xn
+
o(
xn
)n!(1
+
x)m
=
1
+
mx
+
m(m
-
1)
x
2
+(1)如果x
˛
(
x0
-
d
,
x0
),有
f
(
x)
>
0;而x
˛
(
x0
,
x0
+
d
)
,定理(第一充分条件)'有
f
'(
x)
<
0，则
f
(
x)在x
处取得极大值.0如果x
˛
(
x0
-
d
,
x0
),有
f
(
x)
<
0;而x
˛
(
x0
,
x0
+
d
)'有
f
'(
x)
>
0，则
f
(
x)在x
处取得极小值.0如果当x
˛
(
x0
-
d
,
x0
)及x
˛
(
x0
,
x0
+
d
)
时,
f
(
x)
符'号相同,则f
(x)在x0
处无极值.定理(第二充分条件)设
f
(
x)在x0
处具有二阶导数,且
f
'(
x
)
=
0,
f
''
(
x
)
„
0
,
那末0
0当
f
''
(
x
)
<
0
时,
函数
f
(
x)在x
处取得极大值;0
0当
f
''
(
x
)
>
0
时,
函数
f
(
x)在x
处取得极小值.0
0求极值的步骤:求导数
f
(
x);求驻点，即方程
f
(
x)
=
0
的根;检查
f
(
x)
在驻点左右的正负号或
f
(
x)
在该点的符号,判断极值点;求极值.步骤:求驻点和不可导点;求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)(3)
最大值、最小值问题实际问题求最值应注意:建立目标函数;求最值;若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大（或最小）值．定理1如果f
(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,若在(a,b)内f
¢(x)>0,则f
(x)在[a,b]上的图形是凹的;f
¢(x)<0,则f
(x)在[a,b]上的图形是凸的;连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.定理
2
如果
f
(
x)在(
x0
-
d
,
x0
+
d
)内存在二阶导数
,
则
点
(x0
,
f
(
x0
))
是
拐
点
的
必
要
条
件
是f
"(
x
)
=
0.0方法1:且f
¢(x0
)=0,x0两近旁f
(
x)变号,点(
x0
,
f
(
x0
))即为拐点;x0两近旁f
(
x)不变号,点(
x0
,
f
(
x0
))不是拐点.方法2:设函数f
(x)在x0的邻域内三阶可导,且f
¢(x0
)=0,
而f
¢(x0
)„0,那末(x0
,f
(x0
))是曲线y
=f
(x)的拐点.设函数f
(x)在x0的邻域内二阶可导,(6)
弧微分曲率曲率圆10.弧微分ds
=1
+y¢2
dx.20.曲率Dsfi
0
dsK
=
lim
da
.3
.(1
+
y¢2
)2yk
=曲率的计算公式二、典型例题例1
limsin
x422-
ln(1
+
x
)x
fi
0
x22x4x
fi
0
x解：原极限=lim2
x-
ln(1
+
x
)4
x3=
limx
fi
0
2
x
-x
fi
01
+
x2=
lim
2（1
+
x2）
=
2例2.xfi
0
5
1
+
5
x
-
(1
+
x)求极限
limx2解
分子关于x
的次数为2.1\
5
1
+
5
x
=
(1
+
5
x)5=
1
+
1
(5
x)
+
1 1
(1
-
1)
(5
x)2
+
o(
x2
)5
2!
5
5=
1
+
x
-
2
x2
+
o(
x2
)2
2xfi
0
[1
+
x
-
2
x
+
o(
x
)]
-
(1
+
x)原式=limx221=
-
.例3
设f
(x)在[0，p
]上连续，在(0,p
)内可导，证明：存在一点
x
˛（0，p），使得
f
(x)
=
-
f
(x)cotx.证：令F
(
x)
=
sin
xf
(
x)
则
F
(0)
=
F
(p
)
=
0所以
F
(
x
)
在[
0，p
]上满足罗尔定理，故存在一点
x
˛（0，p），使得
F
(x)
=
0.即
f
(x)
=
-
f
(x)cotx例4
设F
(
x)
=
(
x
-
1)2
f
(
x),其中
f
(
x)
在[1，2
]上使
F
(x)
=
0
.证：
F
(
x)
在[1，2
]上满足罗尔定理，\
存在一点x1
˛（1，2），有F
(x1
)=0.又
F
¢(
x)
=
2(
x
-
1)
f
(
x)
+
(
x
-
1)2
f
¢(
x)\
F
(1)
=
0
.\
F
(x)在[1，x1
]上满足罗尔定理条件，故存在一点x
˛（1，x1）
（1，2），有F
(x)
=
0
.f
(2)=0,试证：存在x
˛（1，2）二阶可导，又知例5
设a
>0,
f
(x)在[a，b
]上连续，(a
,b
)内可导,且f
(a)=0,证明：存在一点x
˛（a，b），使得f
(x)=b
-
x
f
¢(x).a证：令
F
(
x)
=
(
x
-
b)a
f
(
x)
则F
(
x)
在[
a
,
b
]上连续,又因为F
(a)=F
(b)=0.所以F
(x
)在[a，b
]上满足罗尔定理，故存在一点x
˛（a，b），使得F
¢(x)=0.即
a(x
-
b)a
-1
f
(x)
+
(x
-
b)a
f
¢(x)=
0af
(x)
=
b
-
x
f
¢(x)例6
设f
(x)在x
=x0
的邻域内具有n阶连续导数,若f
¢(x0
)=f
¢(x0
)=
=f
(n-1)(x0
)=0,
f
(n)(x0
)„0,则有当n
为奇数时,x0
不是极值点，(x0
,f
(x0
))为拐点.当n
为偶数时,x0
是极值点，(x0
,f
(x0
))不为拐点.且:1¢、f
(n)(x0
)>0
时,x0
是极小值点;2¢、f
(n)(x0
)<0时,x0
是极大值点,证明：以n
=3和n
=4时为例当n
=
3时，即
f
(
x0
)
=
f
(
x0
)
=
0,
f
(
x0
)
„
0不妨设
f
(
x0
)
>
0¢0(
x)
<
0
fix
<x
时，f000=
limx
fi
x0
f
¢(
x
)x
-
xf
(
x)
-
f
(
x
)f
(
x)
>
000=
limx
-
xf
¢(
x)
flf
(
x)
›
x
>
x0
时，
f
(
x)
>
0
fix
fi
x>
0
f
(
x)x
-
x0\（x0
,
f
(
x0
)）为拐点f
(
x)
‡
0\
f
(
x)
›同理
f
(
x0
)
<
0
时,
可推出
f
(
x
)
单调增加
.\
f
(x)
>0
x
<x0
时，f
¢(x)<0
fi(2)当n
=4时，即f
¢(x0
)=f
¢(x0
)=f
¢(x0
)=0,f
(4)(x0
)„0不妨设
f
(4)(
x0
)
>
0x
-
x0f
(
x)
-
f
(
x0
)0(4)x
fi
x0
f
(
x
)
=
limx
-
x0(
x) =
lim
f
>
0x
fi
x0f
¢(
x)
flf
(
x)
›x
-
x0
f
(
x0
)
=
0,0
x
>
x
时，
f
(
x)
>
0
fi
f
(
x)
‡
0
fif
(
x)
›又
f
(
x0
)
=
0fi
x
<x0
时f
(
x)
<
0f
¢(
x)
>
00
x
>x
时0
f
(x
)为极小值.同理,f
(4)(x0
)<0时,f
(x0
)为极大值.)且f
¢(0)=0，则(设
f
(
x
)
满足关系式：
f
¢(x
)
+
[
f
¢(
x
)]2
=
x
,例7f
(0)是f
(x
)的极小值；f
(0)是f
(x)的极大值；点（0，f
(0)）是y
=f
(x)的拐点；f
(0)不是f
(x)极值，点（0，f
(0)）不是y
=f
(x)的拐点；C一、
选择题：它们都给出了ξ点的求法.它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法.它们都先肯定了x
点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值.它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法.1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（D）测验题2、若f
(x)在(a,b)可导且f
(a)=f
(b),则（D）至少存在一点x˛
(a,
b)，使
f
(x)
=
0；一定不存在点x
˛
(a,
b)，使
f
(x)
=
0；恰存在一点x
˛
(a,
b)，使
f
(x)
=
0；对任意的x
˛
(a,
b)，不一定能使
f
(x)
=
0
.3．已知f
(x)在[a,b]可导，且方程f(x)=0在(a,b)有两个不同的根a
与b
，那么（
A）x
˛
(a,b)使得
f
(
x
)
=
0
.必有；可能有；没有；无法确定.4、如果
f
(
x)在[a,
b]连续，在(a,
b)可导，
c
为介于x2
,x1，使f
(x2
)-f
(x1
)=(x2
-x1
)f
¢(c)成立.（A）必能；（C）不能；（B）可能；（D）无法确定能.a,b之间的任一点，那么在(a,b)（B）找到两点5、若f
(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且x
˛
(a,b)时，f
¢(x)>0，又f
(a)<0,则（D）.f
(x)在[a,b]上单调增加，且f
(b)>0；f
(x)在[a,b]上单调增加，且f
(b)<0；f
(x)在[a,b]上单调减少，且f
(b)<0；
f
(x)在[a,b]上单调增加，但f
(b)的正负号无法确定.6、
f
(
x0
)=
0
是可导函数
f
(
x)在x0
点处有极值的（B）.充分条件；必要条件充要条件；既非必要又非充分条件.7、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（C）.极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；极大值不一定是最大值，极小值也不一定是 最小值；极大值不一定大于极小值.8、若在(a,
b)内，函数
f
(
x)的一阶导数
f
(
x)
>
0
，).单调减少，曲线是凹的；单调减少，曲线是凸的；单调增加，曲线是凹的；单调增加，曲线是凸的.9、设lim
f
(x)=lim
F
(x)=0，且在点a
的某xfi
a
xfi
a邻域中（点
a
可除外），
f
(
x)
及F
(
x)
都存在，二阶导数
f
(
x)
<
0
,则函数
f
(
x)
在此区间内(
D且F
(x)„0
,则lim存在是lim'f
(
x)
f
'
(
x)xfi
a
F
(
x)
xfi
a
F
(
x)存在的（
B
）.（A）充分条件； （B）必要条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分也非必要条件.2x
fi
0
1
-
cos
x（A）0；
（B）-
1
；10、lim
chx
-
1
=
（C）.（C）1；1（D）
.2二、求极限：1、
lim
x
-
a
+
x
-
ax
2
-
a
2xfi
a
+（a
‡
0）；2、lim(1
+
sin
x1
+
tan
xxfi
01)
x
3
；xxfi
¥3、lim[
x-
x
2
ln(1
+
1
)]
；4、limxfi
01
-
cos
xsin
x；2三、一个半径为R
的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？四、设f
(x)=ax
3
+bx
2
+cx
+d
有拐点（1，2），并在该点有水平切线，f
(x)交x
轴于点（3，0），求f
(x).五、确定a,b,c
的值，使抛物线y
=ax
2
+bx
+cp与正弦曲线在点( ,1)相切，并有相同的曲率.六、设f
(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f
(0)=0,
f
(1)=1,试证：对任意给定的正数a,b
在(0,1)内存在不同的x,h
，使a
bf
'
(x)
f
'
(h
)+ =
a
+
b
.一、1、D；2、D；3、A；4、B；5、D；6、B；7、C；8、D；9、B；10、C.二、1、2a111； 2、e
2
； 3、
； 4、不存在.2三、2:1.4
4
4
4五、f
(x)=-1
x
3
+3x
2
-3
x
+9
.2p21
p六、
y
=
–
2
x
2
x
+
1
–
8
.测验题答案七、xy-
11oln
2例42x
ln
x
+
y
ln
y
>
(
x
+
y)ln
x
+
y
,
(
x
>
0,
y
>
0,
x
„
y).证明不等式证令f
(t
)=t
ln
t
(t
>0),则
f
(t
)
=
ln
t
+
1,1f
¢(t
)
=
t
>
0,\f
(t
)=t
ln
t
在(x,y)或(y,x),x
>0,y
>0
是凹的.于是
1[
f
(
x)
+
f
(
y)]
>
f
(
x
+
y
)2
2即
1[
x
ln
x
+
y
lny]
>
x
+
y
ln
x
+
y
,22
2
2即
x
ln
x
+
y
ln
y
>
(
x
+
y)ln
x
+
y
.例52f
(1),
f
¢(
x)
£
1,证明:
f
¢(
x)
£
1
(
x
˛
[0,1])若函数f
(x)在[0,1]上二阶可微,且f
(0)=证设x0
˛
[0,1],在x0
处把f
(x)展成一阶泰勒公式,有20f
(
x)
=
f
(
x0
)
+
f
¢(
x0
)(
x
-
x0
)
+令x
=0,x
=1,则有f
¢(x)(
x
-
x
)1221
0f
(0)
=
f
(
x0
)
-
f
¢(
x0
)
x0
+f
¢(x
)
x12202f
(1)
=
f
(
x0
)
+
f
¢(
x0
)(1
-
x0
)
+f
¢(x
)(1
-
x
)1222
021
00f
¢(x
)(1
-
x
)-
12f
¢(x
)
x12f
¢(
x
)
=注意到
f
(0)
=
f
(1),
则有
f
(
x)
£
1,220
0\
f
¢(
x0
)
£21x
+
(1
-
x
)121
12
420+=
(
x
-
)0又由
x
˛
[0,1]
知,2
20x
-
1
£
1
,20于是有
f
¢(
x
)
£
1由x0
的任意性,可知命题成立.
-
例6
求函数y
=x
+区间,拐点,渐近线,并作函数的图形.解
(1)
定义域:
x
„
–1,即(-¥
,-1)
(-1,1)
(1,+¥
),的单调区间,极值,凹凸x2
-
1xx2
-
1
f
(-
x)
=
-
x
+-
x=
-
f
(
x),奇函数(2)
y=
1
-
(
x2
-
1)2x2
+
1,=
(
x2
-
1)2x2
(
x2
-
3)令
y
=
0,得
x
=
-
3,
0,
3.y(
x2
-
1)22
x(
x2
+
3)==
1
+
1
,(
x
-
1)3
(
x
+
1)3令
y
=
0,得可能拐点的横坐标x
=0.(3)
lim
y
=¥
,
\没有水平渐近线;xfi
¥又
lim
y
=
-¥
,xfi
1-0lim
y
=
+¥
,xfi
1+0\x
=1
为曲线y
的铅直渐近线;lim
y
=
-¥
,
lim
y
=
+¥
,xfi
-1-0
xfi
-1+0\x
=-1
为曲线y
的铅直渐近线;
a
=
lim
y
=
lim
1
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