第九章多元函数微分学xd98极值

第九章一、多元函数的极值二、条件极值三、最大（小）值问题第八节多元函数的极值及其求法机动目录上页下页返回结束2021/6/20为一元函数极值：设函数f

(x)在x

0

的某去心邻域内有就称 的极大值(或极小值)，

为的极大值点(或极小值点),

极大值与极小值统称为极值

，极大值点与极小值点统称为极值点

.一、二元函数的极值

1、定义:若就称函数在该点取得极大值(极小值).极大值点和极小值点统称为极值点.的某去心邻域内有极大值点（极小值点），极大值和极小值 统称为极值,称为zx

y例如:在点(0,0)

有极小值;在点(0,0)

有极大值;在点(0,0)

无极值.zx

yxyz机动目录上页下页返回结束2021/6/20，一元函数极值的必要条件：函数

可导且在该点取得极值

,

则有

f

¢(x0

)

=

0定理1

(极值存在的必要条件)设函数处可偏导，

且在该点取得极值, 则有证:f

x

(x0

,

y0

)

=

0

,

f

y

(x0

,

y0

)

=

0取得极大(小)值,取得极大(小)值；取得极大(小)值，故根据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.说明:使偏导数均为0

的点称为驻点或稳定点.例如,但驻点不一定是极值点.有驻点(0,

0),但在该点不取极值.2、必要条件机动目录上页下页返回结束2021/6/20一元函数极值的充分条件Ⅰ：设函数f

(x)在点x

0

的某邻域内连续，在其去心邻域内可导，(1)若

f

(x)

“左正右负”

,则

f

(x)

在x0

取极大值.(2)若

f

(x)

“左负右正”

,则

f

(x)

在x0

取极小值;的某空心邻域 内有一阶连续偏导数，处连续。且在点则⑴

如果对任意的 均有fx¢(x,y)(x

-x0

)+f

y¢(x,y)(y

-y0

)>0

(或<0),处取得极小值(极大值)点发出的射线⑵

如果存在自 使得则fx¢(x,

y)(x

-

x0

)

+

f

y¢(x,

y)(

y

-

y0

)

>

0,fx¢(x,

y)(x

-

x0

)

+

f

y¢(x,

y)(

y

-

y0

)<

0,处不取极值.（证明从略）3、充分条件定理2

*(极值存在的充分条件Ⅰ)设函数机动目录上页下页返回结束2021/6/20则 在点 取极大值

;则一元函数极值存在的充分条件Ⅱ：设函数f

(x)在点处二阶可导,且则的在点 取极小值

.在点 极值情况不定.定理3

(极值存在的充分条件Ⅱ)

设函数的某邻域内具有二阶连续偏导数,且fx¢(x0

,

y0

)

=

0

,

f

y¢(x0

,

y0

)

=

0令

A

=

fx¢x¢(x0

,

y0

)

,

B

=

fx¢y¢(x0

,

y0

)

,

C

=

f

y¢y¢(x0

,

y0

)则A<0

时取极大值;1)

当AC

-

B2

>

0

时,

取极值A>0

时取极小值.当AC

-

B2

<

0

时,

不取极值.当AC

-

B2

=

0

时,

不能确定是否取极值.证明从略机动目录上页下页返回结束例1.

求函数解:

第一步

求驻点.解方程组得驻点:

(1,

0)

, (1,

2)

,

(–3,

0)

, (–3,

2)

.ABC的极值.第二步 判别.求二阶偏导数fx¢¢x(x,

y)

=

6x

+

6

,fx¢¢y

(x,

y)

=

0

,f

y¢¢y

(x,

y)

=

-6

y

+

6机动目录上页下页返回结束列表计算驻点(1,

0)(1,

2)(–3,

0)(–3,

2)A1212-12-12B0000C6-66-6AC

-

B

272>0-72<0-72<072>0极值情况极小值不取极值不取极值极大值驻点: (1,

0)

, (1,

2)

,

(–3,

0)

, (–3,

2)

.fyy¢¢(x,

y)

=

-6

y

+

6fxx¢¢(x,

yA)

=

6x

+

6

,

fxy¢¢(x,By)

=

0

,

C所以的极小值为极大值为第三步 计算.机动目录上页下页返回结束在(0,0)点任意邻域内的取值因此>

z

(0,0)

=

0为极小值.xyzo例2.

讨论函数

及 在点(0,0)是否取得极值.解:显然，(0,0)

都是它们的驻点,并且在(0,0)

都有可能为正,负,0,（比如取路径因此

z(0,0)

不是极值.当x2

+

y2

„

0

时,

z

=

(x2

+

y2

)2）机动目录上页下页返回结束条件极值:二、条件极值(无条件)极值:

自变量在定义域内取值；极值问题自变量在定义域内取值外,还有其它条件限制。转化条件极值的两种求法:方法1

化为无条件极值法.

例如

,在条件j

(x,y)=0下,求函数z

=f

(x,y)的极值从条件j

(x,y)=0中解出y

=y

(x)求一元函数z

=f

(x,y

(x))的无条件极值问题。机动目录上页下页返回结束极值点必满足记方法2

拉格朗日乘数法（通用方法）.例如,在条件j

(x,y)=0下,求函数z

=f

(x,y)的极值.如方法1

所述,设j

(x,y)=0

可确定隐函数y

=y

(x),则问题等价于一元函数

z

=

f

(x,y

(x))

的极值问题,

故x

yd

z

d

yd

x

d

x¢

¢=

f

+

f=

0d

yd

xjx¢j¢y因

=

-

,xyjx¢¢

¢f

-

f=

0,j¢yfx¢=jx¢

j¢y故有f

y¢

=-

lzxy机动目录上页下页返回结束极值点必满足fx¢+

ljx¢=

0f

y¢+

lj¢y

=

0则极值点满足:j

=

0引入辅助函数

F

(x,

y,

l)

=

f

(x,

y)

+

lj

(x,

y)①辅助函数F

称为拉格朗日(

Lagrange

)函数.

利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.l

称为拉格朗日乘数，方程组①的解

(x0

,

y0

,

l0

)

或(x0

,y0

)称为拉格朗日稳定点或拉格朗日驻点.机动目录上页下页返回结束2021/6/20*条件极值存在的充分条件拉格朗日稳定点为可能的条件极值点.拉格朗日稳定点是否为条件极值点，还需要进一步判断.在本教材中，给出了一些判定条件极值存在性的方法，但由于内容比较复杂，故在此不再介绍.特别是拉格朗日稳定点唯一时，往往根据实际问题，判断条件极值存在，故在唯一的拉格朗日稳定点处取得条件极值.机动目录上页下页返回结束2021/6/20拉格朗日乘数法解题步骤：第一步：设F

(x,

y,

l)

=

f

(x,

y)

+

lj

(x,

y)第二步：建立方程组并求出所有拉格朗日稳定点(x0

,y0

)第三步：由实际问题判断条件极值的存在性，并求出条件极值.机动目录上页下页返回结束解方程组解法1（化为无条件极值法）:例3.

求f

(x,

y)

=

x

y

在条件

x

+

y

=1

下的条件极值.由x

+y

=1

解得y

=1-

x,

故

f

(x,

y)

=

f

(x,1-

x)

=

x(1-

x)

=

1

-(x

-

1

)2

,所以当x

=1

,y

=1

时，2

24

12f

(x,

y)

取得条件极大值

.4解法2（拉格朗日乘数法）:

令F

(x,

y,

l)

=

xy

+

l(x

+

y

-1)1

1解得唯一驻点

(

,

).

z

=

x

y由于x

+

y

=12

2表示一条开口向下的抛物线，故f

(x,y)=x

y

在条件x

+y

=1

下的条件极1

1

12

2

4大值为

f

(, )

=

.机动目录上页下页返回结束例4.

要设计一个容量为V0解方程组2z

+

y

+

lyz

=

02z

+

x

+

lxz

=

02(x

+

y)

+

lxy

=

0xyz

-V0

=

0的长方体开口水箱,试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？解:

设

x

,

y

,

z

分别表示长,宽,高,

则问题为求x

,

y

,

z使在条件

xyz

=V0下水箱表面积S

=

2(xz

+

yz)

+

xy

最小.令

F

(x,

y,

z,l)

=

2(xz

+

yz)

+

xy

+

l(xyz

-V0

)zyx得惟一驻点03

330

0).4V(

2V

,

2V

,43

V0

,长、宽均为由题意可知，合理的设计是存在的,

因此

,

当高为时，所用材料最省.03

2V

,机动目录上页下页返回结束三、最值问题函数f

在有界闭域上连续函数f

在有界闭域上可达到最值最值可疑点

内部可能极值点点

边界上的条件极值点依据机动目录上页下页返回结束求最值得步骤：1、求出z=f(P)在定义域D内部的所有可能极值点；2、求出z=f(P)在D边界上的所有条件极值点；3、计算出各点处的函数值，其中最大（小）的即为最大（小）值.特别地,1、当区域内部最值存在,且只有一个极值点P

时,f

(P)

为极小(大)

值f

(P)为最小(大)值.2、上述方法适用于二元及以上的函数.机动目录上页下页返回结束2021/6/20例5.求函数z

=f(x,y)=x2

-y2

+2

y

在由上半椭圆24y2x

+=1(y

‡0)与x轴所围成的平面闭区域D

上的最大值和最小值．解.：⑴在D

的内部ìï

¶

z=

2x

=

0,ïï

¶

x令ïí

¶

z=

- 2

y

+

2

=

0,ïïîï

¶

y得f

(x,y)的驻点(0,1)．机动目录上页下页返回结束2021/6/20⑵在D

的边界上2y2②

在上半椭圆

x

+=

14(

y

³

0)上，记①

在

y

=

0,-

1＃x1

上，

z

=

x2

，故最大值点为(±1,0)

，最小值点为(0,0)．222y

2F

(

x,

y,

l

)

=

x

-y

+ 2

y

+

l

(

x

+

-

1)4

，224ylFx¢=

2x

+

2lx

=

0,F

¢=

-2

y

+

2

+y

=

0,令

yx2

+ -1

=

0,得驻点(0,2)，(-21

,

4)

，5

521

4(

, )

．5

5机动目录上页下页返回结束2021/6/20⑶计算函数值，并比较大小f

(0,1)

=

1，f

(?

1,

0)

1,

f

(0,

0)

=

0

，f

(0,

2)

= 0

，

f

(?21

,

4)

9

，5

5

59由上可知，f

(x,y)在D

上的最大值为5

，最小值为0

．机动目录上页下页返回结束推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.解方程组可得到拉格朗日稳定点.例如,

求函数

u

=

f

(x,

y,

z)

在条件

j

(x,

y,

z)

=

0,y

(x,y,z)=0下的极值.设F

(x,y,z,l,m)=f

(x,y,z)+lj

(x,y,z)+my

(x,y,z)机动目录上页下页返回结束2021/6/20例6.旋转抛物面z

=x2

+y2

被平面x

+y

+z

=1

截成一个椭圆，求此椭圆到坐标原点的最长距离与最短距离．解.设所求点为(x,y,z)，则(x,y,z)满足z

=x2

+y2

和x

+y

+z

=1

，它到原点的距离为d

=x2

+

y2

+

z

2，将其转化为d

2

=

x2

+

y2

+

z

2

求解.作拉格朗日函数F

(x,

y,

z,

l,

m)

=

x2

+

y2

+

z2

+

l

(x2

+

y2

-

z

+

m

(x

+

y

+

z

-1机动目录上页下页返回结束2021/6/20解方程组yzF

¢=

2x

+

2lx

+

m

=

0,xF

¢=

2

y

+

2ly

+

m

=

0,F

¢=

2z

-

l

+

m

=

0,z

=

x2

+

y2

,x

+

y

+

z

=1,解得驻点为,2

-1+

3

-1+

32,

2

-

3

,22-1-

3

-1-

3,

2

+

3

，

，d

=

x2

+

y2

+

z2将两个驻点分别代入，得d1

=

9

-

5 3

或d2

=

9

+

5 3

。由实际意义知，最长距离和最短距离均存在，故最长9

-

5距离为

9

+

5 3

，最短距离为

3

．机动目录上页下页返回结束内容小结y

f

¢(x,

y)

=

01.函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.如对二元函数z

=f

(x,y),即解方程组

fx¢(x,

y)

=

0第二步 利用充分条件

判别驻点是否为极值点

.函数的条件极值问题化为无条件极值法拉格朗日乘数法机动目录上页下页返回结束解方程组第二步 判别

比较内部的驻点及边界上可能极值点处的函数值大小根据问题的实际意义确定最值3.

函数的最值问题第一步 建立目标函数,

确定定义域

(

及约束条件)求驻点.求二元函数

z

=

f

(x,

y)在条件j

(x,

y)

=

0下的极值,设拉格朗日函数

F

=

f

(x,

y)

+

lj

(x,

y)机动目录上页下页返回结束综合题.设方程2

x3

-6

xy

+3

y2

+e-1z

ln

z

=0确定了函数z

=z(x,y)，求z(x,y)的极值.解：1、先求z(x,y)的驻点在方程的两边分别关于x和y求偏导，有xy-6

x

+

6

y

+

e-1

(ln

z

+

1)z¢=

06

x2

-

6

y

+

e-1

(ln

z

+

1)z¢=

0

（1）（2）并令

z¢x

=

0,

z¢y

=