2024届辽宁省六校协作体高二数学第一学期期末统考试题含解析

2024届辽宁省六校协作体高二数学第一学期期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．两条平行直线与之间的距离为（）A. B.C. D.2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定3．直线经过两点，那么其斜率为（）A. B.C. D.4．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，的面积为，则（）A. B.C. D.5．若点，在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为，则该抛物线的方程是（）A. B.C. D.6．在等差数列中，，，则的值是（）A.130 B.260C.156 D.1687．下列说法正确的是（）A.“若，则，全为0”的否命题为“若，则，全不为0”B.“若方程有实根，则”的逆命题是假命题C.命题“，”的否定是“，”D.“”是“直线与直线平行”的充要条件8．设命题，则为A. B.C. D.9．在数列中，，，则（）A.985 B.1035C.2020 D.207010．已知函数，当时，函数在，上均为增函数，则的取值范围是A. B.C. D.11．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.12．已知直线：和：，若，则实数的值为（）A. B.3C.-1或3 D.-1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．下图是个几何体的展开图，图①是由个边长为的正三角形组成；图②是由四个边长为的正三角形和一个边长为的正方形组成；图③是由个边长为的正三角形组成；图④是由个边长为的正方形组成.若几何体能够穿过直径为的圆，则该几何体的展开图可以是______（填所有正确结论的序号）.14．已知数列的前的前n项和为，数列的的前n项和为，则满足的最小n的值为______15．如图，SD是球O的直径，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，，当三棱锥的底面是边长为3的正三角形时，则球O的半径为______.16．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知p：关于x的方程至多有一个实数解，.（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.18．（12分）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.19．（12分）已知为等差数列，是各项均为正数的等比数列的前n项和，，，，在①；②；③．这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择的第一个解答计分）（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和.20．（12分）已知点，圆（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆相交于A，两点，弦的长为，求的值21．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且过点，（1）求圆C的方程；（2）过点作圆C的切线，求切线的方程22．（10分）已知命题p：点在椭圆内；命题q：函数在R上单调递增（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若为假命题，求实数m的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】由已知有，所以直线可化为，利用两平行直线距离公式有，选D.点睛：本题主要考查两平行直线间的距离公式，属于易错题．在用两平行直线距离公式时，两直线中的系数要相同，不然不能用此公式计算2、B【解题分析】建立空间直角坐标系，求得平面BB1C1C的法向量和直线MN的方向向量，利用两向量垂直，得到线面平行.【题目详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由图可知平面BB1C1C的法向量.∵A1M=AN=，∴M，N，∴.∵，∴MN∥平面BB1C1C，故选：B.【题目点拨】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利于空间向量判断线面平行，属于简单题目.3、B【解题分析】由两点的斜率公式可得答案.【题目详解】直线经过两点，则故选：B4、C【解题分析】利用面积公式，求出，进而求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出【题目详解】由面积公式得：，因为的面积为，所以，求得：因，所以由余弦定理得：所以由正弦定理得：，即，解得：故选：C5、A【解题分析】根据等边三角形的面积求得边长，根据角度求得点的坐标，代入抛物线方程求得的值.【题目详解】设等边三角形的边长为，则，解得根据抛物线的对称性可知，且，设点在轴上方，则点的坐标为，即，将代入抛物线方程得，解得，故抛物线方程为故选：A6、A【解题分析】由等差数列的性质计算得到，进而利用求和公式，变形求出答案.【题目详解】由题意得：，故故选：A7、D【解题分析】A选项，全为0的否定是不全为0；B选项，先写出逆命题，再判断出真假；C选项，命题“，”的否定是“，”，D选项，根据直线平行，列出方程和不等式，求出，进而判断出充要条件.【题目详解】“若，则，全为0”的否命题为“若，则，不全为0”，A错误；若方程有实根，则的逆命题是若，则方程有实根，由得：，其中，所以若，则方程有实根是真命题，故B错误；命题“，”的否定是“，”，C错误；直线与直线平行，需要满足且，解得：，所以“”是“直线与直线平行”的充要条件，D正确；故选：D8、C【解题分析】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.9、A【解题分析】根据累加法得，，进而得.【题目详解】解：因为所以，当时，，，……，，所以，将以上式子相加得，所以，，.当时，，满足；所以，.所以.故选：A10、A【解题分析】由，函数在上均为增函数，恒成立，,设，则，又设，则满足线性约束条件，画出可行域如图所示，由图象可知在点取最大值为，在点取最小值.则的取值范围是，故答案选A考点：利用导数研究函数的性质，简单的线性规划11、D【解题分析】对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.【题目详解】若，则可得：，故选项A错误；若，则可得：，故选项B错误；若，则可得：，故选项C错误；不妨设的首项为，公差为，则有：则有：，故选项D正确故选：D12、D【解题分析】利用两直线平行列式求出a值，再验证即可判断作答.【题目详解】因，则，解得或，当时，与重合，不符合题意，当时，，符合题意，所以实数的值为-1.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①【解题分析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体，进而求其外接球半径，并与比较大小，即可确定答案.【题目详解】①由题设，几何体为棱长为的正四面体，该正四面体可放入一个正方体中，且正方体的棱长为，该正四面体的外接球半径为，满足要求；②由题设，几何体为棱长为的正四棱锥，如下图所示：设，连接，则为、的中点，因为四边形是边长为的正方形，则，所以，，所以，，所以，，，所以点为正四棱锥的外接球球心，且该球的半径为，不满足要求；③由题设，几何体为棱长为的正八面体，该正八面体可由两个共底面，且棱长均为的正四棱锥拼接而成，由②可知，该正八面体的外接球半径为，不满足要求；④由题设，几何体为棱长为的正方体，其外接球半径为，不满足要求；故答案为：①.14、9【解题分析】由数列的前项和为，则当时，，所以，所以数列的前和为，当时，，当时，，所以满足的最小的值为.点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项与的关系，推导数列的通项公式，以及等差、等比数列的前项和公式的应用，熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.15、【解题分析】由三棱锥是正三棱锥，利用正弦定理得出三角形外接圆的半径，进而求出，再由余弦定理得出球O的半径.【题目详解】因为，所以平面，三棱锥是正三棱锥，设为三角形外接圆的圆心，则在上，连接，，由得出，所以，在中，，即，解得，则球O的半径为.故答案为：16、2【解题分析】由，可两平面的法向量也平行，从而可求出，进而可求得答案【题目详解】因为平面的法向量为，平面的法向量为，，所以∥，所以存实数使，所以，所以，解得，所以，故答案为：2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）根据命题p为真命题，可得，解之即可得解；（2）若p是q的充分不必要条件，则，列出不等式组，解之即可得出答案.【小问1详解】解：命题p：关于x的方程至多有一个实数解，∴，解得，∴实数a的取值范围是；【小问2详解】解：命题，∵p是q的充分不必要条件，∴，∴，且两式等号不能同时取得，解得，∴实数m的取值范围是.18、（1）（2）【解题分析】（1）根据所求双曲线与有共同的渐近线可设出所求双曲线方程为，在根据点在双曲线上，代入双曲线方程中即可求解.（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，利用韦达定理得出的关系，再根据中点坐标公式求出线段的中点的坐标，代入圆方程即可求解.【小问1详解】由题意，设双曲线的方程为，则又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：【小问2详解】由，消去整理，得，设，则因为直线与双曲线交于不同的两点，所以，解得.，所以则中点坐标为，代入圆得，解得.实数的值为19、（1）无论选择哪个条件答案均为；（2）.【解题分析】（1）先根据题设条件求解，然后根据选择的条件求解；（2）先求，然后利用分组求和的方法求解.【小问1详解】设的公差为，因为，；所以，解得，所以.选①：设的公比为，则；由题意得，因为，所以，解得或（舍）；所以.选②：由，当时，，因为，所以；当时，，整理得；即是首项和公比均为2的等比数列，所以.选③：因为，，所以，解得；所以.【小问2详解】由（1）得；所以.20、（1）或；（2）【解题分析】（1）分直线斜率存在和不存在两种情况分析，当当过点的直线存在斜率时，设方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求得k，即可得出答案；（2）求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得出答案.【题目详解】解：（1）由题意知圆心的坐标为，半径，当过点的直线斜率不存在时，方程为，由圆心到直线的距离知，直线与圆相切，当过点的直线存在斜率时，设方程为，即由题意知，解得，直线的方程为故过点的圆的切线方程为或（2）圆心到直线的距离为，，解得21、（1）（2）或【解题分析】(1)由圆心在直线上，设，由点在圆上，列方程求，由此求出圆心坐标及半径，确定圆的方程；(2)当切线的斜率存在时，设其方程为，由切线的性质列方程求，再检验直线是否为切线，由此确定答案.小问1详解】因为圆