2021年山西省忻州市求知中学高三数学文期末试题含解析

2021年山西省忻州市求知中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“直线与圆相切”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A2.在等差数列中，已知，则=（

）A．10

B．18

C．20

D．28参考答案：C3.若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦的长为【

】

A、2

B、4

C、6

D、8参考答案：C4.设，且为正实数，则2

1

0

参考答案：D5.已知圆的方程为，则圆心坐标为（A）（B）（C）（D）参考答案：C圆的标准方程为，所以圆心坐标为，选C.6.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，当最小时，（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的大小．【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，设，，则，0，，，1，，，0，，，1，，，1，，，0，，设平面的法向量，，，，取，得，，，平面的法向量，0，，平面与平面所成（锐二面角为，，解得，当|最小时，，，，．故选：．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.设f（x）=若f（x）=x+a有且仅有三个解，则实数a的取值范围是(

)A．[1，2] B．（﹣∞，2） C．[1，+∞） D．（﹣∞，1）参考答案：B【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】要求满足条件关于x的方程f（x）﹣x﹣a=0有三个实根时，实数a的取值范围，我们可以转化求函数y=f（x）与函数y=x+a的图象有三个交点时实数a的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察法可得出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，若的图象如图所示，（当x＞0时，函数的图象呈现周期性变化）由图可知：（1）当a≥3时，两个图象有且只有一个公共点；（2）当2≤a＜3时，两个图象有两个公共点；（3）当a＜2时，两个图象有三个公共点；即当a＜2时，f（x）=x+a有三个实解．故选B．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，根据方程的根即为对应函数零点，将本题转化为求函数零点个数，进而利用图象法进行解答是解答本题的关键．8.已知函数，则（

）A.在(0,+∞)上递增

B.在(0,+∞)上递减

C.在上递增

D.在上递减参考答案：D函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得x=,∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴在上递减,在上递增故选：D．

9.“”是“函数在上是增函数”的(

)（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A10.已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的周期求得ω=2，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2，可得：g（x）=cos2x，∴可得：f（x）=cos（2x+）=cos[2（x+）]，∴为了得到函数g（x）=cos2x的图象，只要将y=f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线是抛物线的一条切线，则

．参考答案：-412.一个几何体的三视图如图所示，其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是

．参考答案：13.若曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为，则___________.参考答案：2求导得，所以在点处的切线方程为.令得，令得，所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积，（舍去负值），.14.（本题18分）若函数存在反函数，由函数确定数列，，由函数确定数列，，则称数列是数列的“反数列”。（1）

若数列是函数确定数列的反数列，试求数列的前n项和；（2）

若函数确定数列的反数列为，求的通项公式；（3）

对（2）题中的，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围。参考答案：（1）得，所以，---------4分（2）得，所以------------------------8分（3）记，得>0，所以递增，故---14分由已知得，，解得∴实数的取值范围是--------------------------------18分15.设的反函数为，若函数的图像过点，且，

则

。参考答案：略16.设实数满足，则目标函数的最小值为

．参考答案：－217.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=

．参考答案：【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．【解答】解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用．考查对三角函数公式的记忆能力和综合运用能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在等差数列{}和等比数列中，成等比数列。（I）求数列{}、{}的通项公式：（II）设恒成立，求常数t的取值范围。参考答案：19.（本小题满分12分）甲袋中装有大小相同的红球1个，白球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．（Ⅰ）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；（Ⅱ）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量，求的分布列和数学期望．参考答案：（Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，分别记为事件A1、A2，且A1与A2互斥，则：，，

4分∴，故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为．·····································6分（Ⅱ）＝0、1、2．，，,（答对一个得1分）··············································9分∴的分布列为012P∴.(分布列1分,方差2分；分布列部分对给1分)

12分20.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A级的个数的分布列与数学期望.参考答案：（1）从条形图中可知这人中，有名学生成绩等级为，所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为，则该校高三年级学生获得成绩为的人数约有.（2）这名学生成绩的平均分为，因为，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取个学生样本，其中级个，级个，从而任意选取个，这个为级的个数的可能值为，，，.则，，，.因此可得的分布列为：则.21.设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|（Ⅰ）若f（0）≥1，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，2]上的最小值．参考答案：【考点】分段函数的应用；函数的值域．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）原不等式即为﹣a|a|≥1，考虑a＜0，解二次不等式求交集即可；（Ⅱ）将函数f（x）改写为分段函数，讨论当a≥0时，①﹣a≤﹣2，②﹣a＞﹣2，当a＜0时，①≤﹣2，②＞﹣2，运用二次函数的单调性，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1??a≤﹣1，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]；

（Ⅱ）函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|=，当a≥0时，①﹣a≤﹣2即a≥2时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣2）=4﹣4a﹣a2；

②﹣a＞﹣2即0≤a＜2时，f（x）在[﹣2，﹣a]上单调递减，在[﹣a，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣2a2；

当a＜0时，①≤﹣2即a≤﹣6时，f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以f（x）min=f（﹣2）=12+4a+a2；

②＞﹣2即﹣6＜a＜0时，f（x）在[﹣2，]上单调递减，在[，2]上单调递增，所以f（x）min=f（）=，综上可得，f（x）min=【点评】本题考查绝对值函数的运用，考查分类讨论的思想方法，考查二次函数在闭区间上的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．22.已知函数，g（x）=b（x+1），其中a≠0，b≠0（1）若a=b，讨论F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）已知函数f（x）的曲线与函数g（x）的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x1，x2，证明：．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可（2）问题转化为证，，只需证明成立，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）由