高等数学教程　上册　第4版 习题及答案 P102 第4章 导数的应用

第四章导数的应用习题4.11.用洛必达法则计算下列极限：(1)解:(2)解:(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：(8)解：(9)解：(10)解：(11)解：(12)解：当时，，所以(13)解：(14)解：

=limx→（15）解：（16）解：

=elimx→+∞xln2.确定常数，使得．解：因为又所以，从而。3．求下列解法是否正确?若有错,请给予修改.(1)(2)因不存在,故原极限不存在.解：（1）错。因为该极限不是未定式。直接用极限运算法则得（2）错。应用罗比达法则后得到的极限不存在不能推断原极限不存在。事实上，习题4.2对函数在区间验证罗尔定理的正确性。证明：函数在区间连续，在内可导，，而由，有对函数在区间验证拉格朗日中值定理的正确性。证明:函数在区间[0,1]连续，在(0,1)内可导，令有设，试证，存在，使得（1）（2）证明：（1）令，则，作辅助函数，满足罗尔定理的条件，利用罗尔定理，存在，使得，即，故得（2）令，则，作辅助函数，满足罗尔定理的条件，利用罗尔定理，存在，使得，即，即，故4.证明：当时，有.证令当时，有故（为常数）.令，得，即.5.证明下列不等式:(1)，证明：函数在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理，存在使得即(2)证明：函数在连续，在可导，由拉格朗日中值定理，存在，使得即习题4.3单调性与凹凸性1.下列函数的单调区间:(1)解：函数的定义域，计算函数的一阶导数令一阶导数，得到，列表如下：0+0单调增加极大值单调减少所以，函数的单调减少区间是，单调增加区间为。(2)解：函数的定义域，一阶导数所以函数在上单调增加。（3）解：函数的定义域，计算函数的一阶导数令一阶导数，得到，列表如下10+单调减少极小值单调增加所以，函数的单调减少区间是，单调增加区间为。（4）解：函数的定义域，计算函数的一阶导数令一阶导数，得到和，列表如下1+00+单调增加极大值单调减少极小值单调增加所以，函数的单调减少区间是，单调增加区间为和。2.证明不等式：（1）证明：令，则因此，函数当时单调增加，故即有：（2）证明：令，则因此，函数当时单调增加，故即有：（3）证明：当时，.【证】令，则在上可导，且所以，在上单调递增，有于是，在上单调递增，故有即3.求下列函数的极值:(1)解：函数的定义域，令，得驻点为。列表如下：00+单调减少极小值0单调增加函数极小值是。(2)解：函数的定义域，令得驻点为和。列表如下：01+00+单调增加极大值-2单调减少单调减少极小值2单调增加函数的极大值是，极小值是。(3)解：函数的定义域，令，得驻点为和。列表如下：010+0单调减少极小值6单调增加极大值7单调减少函数的极大值是，极小值是。(4)解：函数的定义域，令一阶导数，得驻点为，（舍去）。列表如下：20+单调减少极小值单调增加函数的极小值是。(5)解：函数的定义域[0,+∞),一阶导数，得到驻点。列表如下：10+单调减少极小值单调增加函数的极小值是。（6）解：函数的定义域，令得驻点为。列表如下：20+单调减少极小值单调增加函数的极小值是。4.当若为何值时，函数在处取得极小值。解：因为函数在处取得极小值，所以是函数的驻点。而由可得，再由，即得，将代入得。5.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值。(1)解：计算函数的一阶导数令一阶导数，得驻点计算函数在驻点及两个端点处的函数值,,比较这些函数值的大小，得到最大者，最小者。所以，函数在闭区间的最大值为，最小值为。(2)解:计算函数的一阶导数令一阶导数，得驻点，计算函数在驻点及两个端点处的函数值,,,比较这些函数值的大小，得到最大者，最小者。所以，函数在闭区间的最大值为，最小值为。(3)解：计算函数的一阶导数令一阶导数，得驻点且函数在处不可导。计算函数在驻点，不可导的点及两个端点处的函数值,,比较这些函数值的大小，得到最大者，最小者。所以，函数在闭区间的最大值为，最小值为。(4)解：计算函数的一阶导数令一阶导数，得驻点，计算函数在驻点及两个端点处的函数值,,,比较这些函数值的大小，得到最大者，最小者。所以函数在闭区间的最大值为，最小值为。6．有一个边长为48厘米的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四边折起做成一个方形的无盖容器，问截去的小正方形的边长为多大时，所得容器的容积最大？解：设截下的小正方形的边长为厘米，则方形容器的底边为，高为，于是容积等于,令，得驻点，由于不在定义域内，故舍去。只需考察驻点。当时，，当时，，所以函数在处取得极大值（立方厘米）。是函数在内的惟一极大值点，所以是在上的最大值。因此，当被截去的小正方形的边长等于8（厘米）时，容器容积最大，最大容积为（立方厘米）。7.某产品总成本（单位：万元）为年产量（单位：吨）的函数其中味待定常数。已知固定成本为400万元，且当年产量时，总成本，问年产量为多少时，才能使得平均单位成本最低？最低单位成本值为多少？解：由于总成本，从而当产量时的总成本，说明常数项为固定成本，因此将已知条件：时，代入到总成本函数中，得到从而可确定常数所以，总成本函数表达式为于是，平均单位成本函数为计算一阶导数令一阶导数，得到惟一驻点，再计算二阶导数于是，惟一驻点为极小值点，也是最小值点。此时所以，当年产量为200时，才能使得平均单位成本最低，为每吨4万元。8.某产品总成本（单位：元）为日产量（单位：千克）的函数产品销售价格为每千克元。它与日产量的关系为问日产量为多少时，才能使得每日产量全部销售后获得的总利润最大，最大利润值为多少?解：生产产品，以每千克元价格销售，总收益为又已知生产产品的总成本为于是，每日产量全部销售后得到的总利润为由于产量；又由于销售价格，即，得到，因此，总利润函数的定义域为。

计算一阶导数令一阶导数，得到惟一驻点为惟一极大值点，也是最大值点，此时所以，当日产量为45时，才能使得每日产量全部销售后获得的总利润最大，最大利润为800元。习题4.41.求下列曲线的凹凸区间和拐点：(1)解：函数的定义域，计算函数的一阶导数、二阶导数，令二阶导数，得到根，列表如下00+拐点所以，函数曲线的上凸区间为，下凸区间为，拐点为。(2)解：函数的定义域，计算函数的一阶导数、二阶导数，令二阶导数，得到根和。列表如下：10+0拐点拐点所以，函数曲线的上凸区间为和，下凸区间为，拐点为和。(3)解：函数的定义域，计算函数的一阶导数、二阶导数，令二阶导数，得到根，列表如下：00+拐点所以函数曲线的上凸区间为，下凸区间为，拐点为。（4）解：函数的定义域，计算函数的一阶导数、二阶导数，令二阶导数，得到根，列表如下：1+0拐点:所以函数曲线的下凸区间为，上凸区间为，拐点为。2．求下列曲线的渐近线：(1)解：由，可知是曲线的一条铅垂渐近线。又可知曲线的一条斜渐近线。(2)解：由，可知是曲线的一条铅垂渐近线。又，可知是曲线的一条水平渐近线。(3)解：由，且，可知及是曲线的两条铅垂渐近线。3.描绘下列函数的图形：(1)解：函数的定义域：；函数的单调性、凹凸性和拐点：令，得和。列表如下:000+曲线曲线间断曲线0曲线渐近线：由本节习题5.(1)知是曲线的一条铅垂渐近线。曲线的一条斜渐近线。描几个点：最后作出函数的图形如下：(2)解：定义域：函数的单调性、凹凸性和拐点：令，有，即。当时，，曲线上凸；当时，，曲线下凸；当时，，点为曲线的拐点。渐近线：因为所以和为两条水平渐近线。曲线称为逻辑斯蒂曲线，它是实际应用中的一条重要的曲线。习题4.5柯西中值定理与泰勒公式求函数在处的泰勒公式。解：，，，，，函数在处的泰勒公式是写出下列函数的麦克劳林公式：(1)解：(2)解：(3)解：3.设函数，求的带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式。解：，求函数处的带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式，并求。解：，因为所以利用泰勒公式求下列极限：（1）解：，(2)解：，(3)解：，(4)解：令，则当时，。6.试问下列函数当时是的几阶无穷小。(1);(2)(3)(4)解：（1），（一阶）（2），（三阶）（3），（三阶）（4），（四阶）综合习题4:一、填空选择题：1.设函数在开区间内二阶可导，且，，则函数曲线在开区间内（C）。（A）上升且是下凸的（B）下降且是下凸的（C）上升且是上凸的（D）下降且是上凸的2.若点为函数曲线的拐点，则常数的值为（A）。（A）（B）（C）（D）3.函数满足拉格朗日中值定理条件的区间是（D）。（A）（B）（C）（D）4.如果函数与对于区间内每一点都有，则在内必有（D）（A）（B）（为常数）（C）（D）（为常数）5.，则方程有（B）。（A）一个实根（B）二个实根（C）三个实根（D）无实根6.当时，，当时，，则必定为函数的（D）。（A）驻点（B）极大值点（C）极小值点（D）以上都不正确二．计算或证明题1.求下列函数的单调区间与极值:（1）解：函数的定义域，计算函数的一阶导数所以，函数在定义域上单调增加，无极值。（2）解：函数的定义域，计算函数的一阶导数令得驻点为且函数在点导数不存在。列表如下：0+不存在0+单调增加极值：单调减少单调增加所以，函数的单调减少区间是，单调增加区间为和，极大值是。2.计算下列函数的极限：(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：3.证明下列不等式：（1）。证明：令，则所以函数当时单调增加，故既有：（2）证明：令，则所以函数当时单调减少，由，故既有：3.证明：设，则当时，，则单调增加，，即又由于，所以是偶函数，当时，也有故4.设在上可导，证明：至少存在一点，使得证明：利用常数法构造辅助函数。设，则，令则，在上满足罗尔定理条件，故存在，使得，由，即得5.某工厂生产某型号的车床，年产量为台，分若干批进行生产，每批生产准备费为元