福建省宁德市高中同心顺联盟校2024年高二上数学期末学业质量监测试题含解析

福建省宁德市高中同心顺联盟校2024年高二上数学期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A.5800 B.6000C.6200 D.64002．已知椭圆的左，右焦点分别为，，直线与C交于点M，N，若四边形的面积为且，则C的离心率为（）A. B.C. D.3．已知点、是双曲线C：的左、右焦点，P是C左支上一点，若直线的斜率为2，且为直角三角形，则双曲线C的离心率为()A.2 B.C. D.4．观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是A.B.C.D.5．若复数z满足（其中为虚数单位），则（）A. B.C. D.6．已知直线与直线，若，则（）A.6 B.C.2 D.7．设双曲线的实轴长为8，一条渐近线为，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.8．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为A若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥α，n∥α，则m∥n D.若m⊥α，n⊥α，则m∥n9．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.10．如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（）A.在上是增函数 B.当时，取得最小值C.当时，取得极大值 D.在上是增函数，在上是减函数11．已知为等差数列，且，，则（）A. B.C. D.12．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．2021年7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金．已知杨倩其中5次射击命中的环数如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，则这组数据的方差为______14．日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为.则净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率的___________倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越___________（填“快”或“慢”）.15．抛物线的准线方程是___________.16．“直线和直线垂直”的充要条件是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值18．（12分）记为数列的前项和，且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和19．（12分）已知，以点为圆心圆被轴截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程.20．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且.（1）求C；（2）若D是BC的中点，，，求AB的长.21．（12分）已知直线经过点，且满足下列条件，求相应的方程.（1）过点；（2）与直线垂直.22．（10分）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时,中位数为(5300+5500)÷2=5400，当另外两名员工的工资都大于5300时,中位数为(6100+6500)÷2=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.本题选择D选项.2、A【解题分析】根据题意可知四边形为平行四边形，设，进而得，根据四边形面积求出点M的坐标，再代入椭圆方程得出关于e的方程，解方程即可.【题目详解】如图，不妨设点在第一象限，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，设点，由，得，因为四边形的面积为，所以，得，由，得，解得，所以，即点，代入椭圆方程，得，整理得，由，得，解得，由，得.故选：A3、B【解题分析】根据双曲线的定义和勾股定理利用即可得离心率.【题目详解】∵直线的斜率为2，为直角三角形，∴，又，∴，.∵，即，∴故选：B.4、C【解题分析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n-1项，且第一项为n，则最后一项为3n-2右边均为2n-1的平方故选C点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）5、B【解题分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【题目详解】，因此，.故选：B6、A【解题分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；【题目详解】解：因为直线与直线，且，所以，解得；故选：A7、D【解题分析】双曲线的实轴长为，渐近线方程为，代入解析式即可得到结果.【题目详解】双曲线的实轴长为8，即，，渐近线方程为，进而得到双曲线方程为.故选：D.8、D【解题分析】根据空间线面、面面的平行，垂直关系，结合线面、面面的平行，垂直的判定定理、性质定理解决【题目详解】∵α⊥γ，β⊥γ，α与β的位置关系是相交或平行，故A不正确；∵m∥α，m∥β，α与β的位置关系是相交或平行，故B不正确；∵m∥α，n∥α，m与n的位置关系是相交、平行或异面∴故C不正确；∵垂直于同一平面的两条直线平行，∴D正确；故答案D【题目点拨】本题考查线面平行关系判定，要注意直线、平面的不确定情况9、B【解题分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.【题目详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B10、D【解题分析】根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项.【题目详解】根据图象知：当，时，函数单调递减；当，时，函数单调递增.所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；故当时，取得极小值，选项C不正确；当时，不是取得最小值，选项B不正确；故选：D.11、B【解题分析】由已知条件求出等差数列的公差，从而可求出【题目详解】设等差数列的公差为，由，，得，解得，所以，故选：B12、B【解题分析】由空间向量的线性运算求解【题目详解】由题意，又，，，∴,故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、128【解题分析】先求均值，再由方差公式计算【题目详解】由已知，所以，故答案为：14、①.②.快【解题分析】根据导数的概念可知净化所需费用的瞬时变化率即为函数的一阶导数，即先对函数求导，然后将和代入进行计算，再求，即可得到结果，进而能够判断水的纯净度越高，净化费用增加的速度的快慢【题目详解】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为，所以，，所以，所以净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率的倍；因为，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快.故答案为：，快.15、【解题分析】先根据抛物线方程求出，进而求出准线方程.【题目详解】抛物线为，则，解得：，准线方程为：.故答案为：16、或【解题分析】利用直线一般式方程表示垂直的方法求解.【题目详解】因为直线和直线垂直，所以，解得或；故答案为：或.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）;（2）.【解题分析】（1）根据题意得到关于的方程，解之即可求出结果;（2）联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果.【小问1详解】因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而所以椭圆的标准方程【小问2详解】因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为联立直线的方程与椭圆方程，消去，得，其中设，，则，因为，所以因此的值是18、（1）（2）【解题分析】（1）利用，再结合等比数列的概念，即可求出结果；（2）由（1）可知数列是以为首项，公差为的等差数列，根据等差数列的前项和公式，即可求出结果.【小问1详解】解：当时，，解得；当且时，所以所以是以为首项，为公比的等比数列所以；【小问2详解】解：由（1）可知，所以，又,所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以数列的前项和.19、（1）（2）或【解题分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为的直线满足题意，斜率存在时，利用直线与圆相切，即到直线的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.【小问1详解】不妨设圆的半径为，根据垂径定理，可得：解得：则圆的方程为：【小问2详解】当直线的斜率不存在时，则有：故此时直线与圆相切，满足题意当直线的斜率存在时，不妨设直线的斜率为，点的直线的距离为直线的方程为：则有：解得：，此时直线的方程为：综上可得，直线的方程为：或20、（1）（2）【解题分析】（1）根据正弦定理化边为角，结合三角变换可求答案；（2）根据余弦定理先求，再用余弦定理求解.【小问1详解】∵，∴由正弦定理可得，∴，∴.∵，∴，即.∵，∴.【小问2详解】设，则，即，解得或（舍去），∴.∵，∴.21、（1）（2）【解题分析】（1）直接利用两点式写出直线的方程；（2）先求出直线的斜率，由点斜式写出直线的方程.【小问1详解】直线经过，两点，由两点式得直线的方程为.【小问2详解】与直线垂直直线的斜率为由点斜式得直线的方程为.22、（1）；（2）证明见解