浙江省杭州十四中2024届高二上数学期末联考模拟试题含解析

浙江省杭州十四中2024届高二上数学期末联考模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，则（）A.255 B.257C.127 D.1292．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△的顶点，，且，则△的欧拉线的方程为（）A. B.C. D.3．甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（）A.0.72 B.0.26C.0.7 D.0.984．椭圆（）的右顶点是抛物线的焦点，且短轴长为2，则该椭圆方程为（）A. B.C. D.5．已知椭圆：的离心率为，则实数（）A. B.C. D.6．在等比数列中，，是方程的两个实根，则（）A.-1 B.1C.-3 D.37．过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为（）A. B.2C. D.48．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.9．已知的三个顶点是，，，则边上的高所在的直线方程为（）A. B.C. D.10．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形，则的表达式为（）A. B.C. D.11．若直线a，b是异面直线，点O是空间中不在直线a，b上的任意一点，则（）A.不存在过点O且与直线a，b都相交的直线B.过点O一定可以作一条直线与直线a，b都相交C.过点O可以作无数多条直线与直线a，b都相交D.过点O至多可以作一条直线与直线a，b都相交12．直线的倾斜角为（）A.30° B.60°C.90° D.120°二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若两条直线与互相垂直，则a的值为______.14．已知，，则以AB为直径的圆的方程为___________.15．某校开展“读书月”朗诵比赛，9位评委为选手A给出的分数如右边茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后算得平均分为91，复核员在复核时发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是___________.选手A87899924x1516．已知是首项为，公差为1的等差数列，数列满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，.（1）证明：平面平面PAC；（2）求平面PCD与平面PAB夹角的余弦值.18．（12分）圆心在轴正半轴上、半径为2的圆与直线相交于两点且.（1）求圆的标准方程；（2）若直线，圆上仅有一个点到直线的距离为1，求直线的方程.19．（12分）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题20．（12分）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点.（1）将曲线的参数方程转化为普通方程；（2）求的长.21．（12分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E为AB中点，D为上一点（1）求证：；（2）当D为中点时，求平面ADC与平面所成角的正弦值22．（10分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，成等比数列且满足________.请在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】由题设可得，再由即可求值.【题目详解】由数列是公比为2的等比数列，且，∴，即，∴.故选：C.2、D【解题分析】由题设条件求出垂直平分线的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【题目详解】由题设，可得，且中点为，∴垂直平分线的斜率，故垂直平分线方程为，∵，则△的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△的欧拉线的方程为.故选：D3、D【解题分析】利用对立事件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.【题目详解】由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、，所以飞行目标被雷达发现的概率为.故选：D4、A【解题分析】求得抛物线的焦点从而求得，再结合题意求得，即可写出椭圆方程.【题目详解】因为抛物线的焦点坐标为，故可得；又短轴长为2，故可得，即；故椭圆方程为：.故选：.5、C【解题分析】根据题意，先求得的值，代入离心率公式，即可得答案.【题目详解】因为，所以所以，解得.故选：C6、B【解题分析】由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出.【题目详解】解：在等比数列中，由题意知：，，所以，，所以且，即.故选：B.7、A【解题分析】求出椭圆的通径，即可得到结果【题目详解】过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为椭圆的通径：故选：A8、C【解题分析】先求出椭圆的右焦点，从而可求抛物线的准线方程.【题目详解】，椭圆右焦点坐标为，故抛物线的准线方程为，故选：C.【题目点拨】本题考查抛物线的几何性质，一般地，如果抛物线的方程为，则抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，本题属于基础题.9、B【解题分析】求出边上的高所在的直线的斜率，再利用点斜式方程可得答案.【题目详解】因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即.故选：B.10、D【解题分析】先分别观察给出正方体的个数为：1，，，，总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解【题目详解】解：根据前面四个发现规律：，，，，，累加得：，，故选：【题目点拨】本题主要考查了归纳推理，属于中档题11、D【解题分析】设直线与点确定平面，由题意可得直线与平面相交或平行.分两种情形，画图说明即可.【题目详解】点是空间中不在直线，上的任意一点，设直线与点确定平面，由题意可得，故直线与平面相交或平行.(1)若直线与平面相交（如图1），记，①若，则不存在过点且与直线，都相交的直线；②若与不平行，则直线即为过点且与直线，都相交的直线.（2）若直线与平面平行（如图2），则不存在过点且与直线，都相交的直线.综上所述，过点至多有一条直线与直线，都相交.故选：D.12、B【解题分析】根据给定方程求出直线斜率，再利用斜率的定义列式计算得解.【题目详解】直线的斜率，设其倾斜角为，显然，则有，解得，直线的倾斜角为.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解题分析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于-1，据此即可求解.【题目详解】由题可知，.故答案为：4.14、【解题分析】求圆心及半径即可.【题目详解】由已知可得圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为：.故答案为：15、4【解题分析】根据题意分和两种情况讨论，再根据平均分公式计算即可得出答案.【题目详解】解：当时，则去掉的最低分数为87分，最高分数为95分，则，所以，当时，则去掉的最低分数为87分，最高分数为分，则平均分为，与题意矛盾，综上.故答案为：4.16、【解题分析】先求得，再得出，对于任意的，都有成立，说明是中的最小项【题目详解】由题意，∴，易知函数在和上都是减函数，且时，，即，时，，，由题意对于任意的，都有成立，则是最小项，∴，解得，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）过点C作于点H，由平面几何知识证明，然后由线面垂直的性质得线线垂直，从而得线面垂直，然后可得面面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角【小问1详解】在梯形ABCD中，过点C作于点H.由，，，，可知，，，.所以，即，①因为平面ABCD，平面ABCD，所以，②由①②及，平面PAC，得平面PAC.又由平面PCD，所以平面平面PAC.【小问2详解】因为AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，3），，.设平面PCD的法向量为，则，取，则，，则.平面PAB的一个法向量为，所以，所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为.18、（1）；（2）或.【解题分析】（1）根据圆的弦长公式进行求解即可；（2）根据平行线的性质，结合直线与圆的位置关系进行求解即可.小问1详解】因为圆的圆心在轴正半轴上、半径为2，所以设方程为：，圆心，设圆心到直线的距离为，因为，所以有，或舍去，所以圆的标准方程为；【小问2详解】由（1）可知：，圆的半径为，因为直线，所以设直线的方程为，因为圆上仅有一个点到直线的距离为1，所以直线与该圆相离，当两平行线间的距离为，于是有：，当时，圆心到直线的距离为：，符合题意；当时，圆心到直线的距离为：：，不符合题意，此时直线的方程为.当两平行线间的距离为，于是有：，当时，圆心到直线的距离为：，不符合题意；当时，圆心到直线的距离为：：，不符合题意，此时直线的方程为.故直线方程为或.19、（1）（2）【解题分析】首先用列举法，求得甲、乙两人各抽一题的所有可能情况.（1）根据上述分析，分别求得“甲抽到判断题，乙抽到选择题（2）根据上述分析，求得“甲、乙两人都抽到判断题”的概率，根据对立事件概率计算公司求得“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题【题目详解】把3个选择题因此基本事件的总数为.（1）记“甲抽到选择题（2）记“甲、乙两人至少有一人抽到选择题【题目点拨】本小题主要考查互斥事件概率计算，考查对立事件，属于基础题.20、（1）；（2）.【解题分析】（1）利用公式直接将椭圆的参数方程转化为普通方程即可.（2）首先求出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程得到，再利用直线参数方程的几何意义求弦长即可.【题目详解】（1）因为曲线（为参数），所以曲线的普通方程为：.（2）由题知：直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入，得.，.所以.21、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即证；（2）利用坐标法即求.【小问1详解】∵，E为AB中点，∴，∵平面ABC，平面ABC，∴，又，，∴平面，平面，∴；【小问2详解】以C点为坐标原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则平面的法向量为，设平面ADC法向量为，则，∴，